試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省普通高中學業(yè)水平合格性考試（四）科目：數(shù)學注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號；2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔．時量：90分鐘滿分：100分一、選擇題：本大題共18小題，每小題3分，共54分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．2．已知集合，，若，則的值為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（

）A． B． C． D．4．已知一個彈簧振子的運動方程為，則該彈簧振子的振幅、初相分別是（

）A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是5．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，6．氣象局預報，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列說法不正確的是（

）A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能沒有降雨C．北京和上海都可能沒降雨D．北京降雨的可能性比上海大7．某中學七年級有人，八年級有人，九年級有人，若每人被抽到的可能性都為，用隨機數(shù)法在該學校抽取容量為的樣本，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)，是兩個不同的平面，則“內(nèi)有無數(shù)條直線與平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．函數(shù)的周期是（

）A． B． C．π D．2π10．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．11．如圖，AB為圓錐底面直徑，，若，則SA與圓錐底面所成角為（

）A． B． C． D．12．已知，則（

）A． B． C． D．13．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形14．已知，則A． B． C． D．15．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，與事件“至少有1個白球”相等的事件是（

）A．全是紅球 B．至少有1個紅球C．至多有1個紅球 D．1個紅球，1個白球16．已知，且，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．917．已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B． C． D．18．在某次演講比賽中，由兩個評委小組[分別為專業(yè)人士（記為小組A）和觀眾代表（記為小組B）]給參賽選手打分，根據(jù)兩個評委小組給同一名選手打分的分值繪制成下表，則下列結(jié)論錯誤的是（

）評委123456789A434746485047545047B553670667568686258A．小組A打分的分值的平均數(shù)為48B．小組B打分的分值的中位數(shù)為66C．小組A打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差D．小組A打分的分值的極差小于小組B打分的分值的極差二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．19．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么α=.20．若，則．21．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為．22．高斯，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家，是近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”之稱．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，當時，函數(shù)的值域為．三、解答題：本大題共3小題，共30分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．23．已知向量，．(1)當時，求向量的坐標；(2)若，求實數(shù)x的值；(3)求的最大值和最小值．24．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，邊長為1，，，O為AC的中點．

(1)求的體積；(2)證明：．25．已知函數(shù)，（，且）．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)當時，若有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】由共軛復數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】的共軛復數(shù).故選：C.2．B【分析】根據(jù)交集的定義可求得的值.【詳解】由，，且，則得.故選：B.3．A【分析】根據(jù)平面向量減法運算求解.【詳解】根據(jù)題意，.故選：A4．B【分析】根據(jù)給定條件，利用振動曲線的相關(guān)概念判斷即得.【詳解】由彈簧振子的運動方程為，得該彈簧振子的振幅是3、初相是.故選：B5．C【分析】全稱命題的否定是特稱命題.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，”的否定是，.故選：C【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.6．A【分析】由概率的定義，即可得到答案.【詳解】由概率的定義可知，“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”是指下雨的可能性，是隨機事件，故選項A錯誤.故選：A.7．C【分析】根據(jù)簡單隨機抽樣的概率公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】由簡單隨機抽樣的概率公式可得，解得.故選：C.8．B【分析】根據(jù)面面平行的定義以及判定定理，舉例即可得出答案.【詳解】如圖，長方體中，平面.在平面內(nèi)，除直線外，其他所有與平行的直線，都與平面平行，但是平面與平面不平行；若，根據(jù)面面平行的定義可知，平面內(nèi)的直線都與平面平行.所以，“內(nèi)有無數(shù)條直線與平行”是“”的必要不充分條件.故選：B.9．D【分析】根據(jù)的周期公式直接可求.【詳解】，所以，故選：D.10．B【分析】函數(shù)的奇偶性單調(diào)性判斷即可.【詳解】為偶函數(shù)，故A錯；為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故B正確；是奇函數(shù)，在和單調(diào)遞減，故C錯；是非奇非偶函數(shù)，故D錯誤；故選：B.11．A【分析】利用AB為圓錐底面直徑，，得就是SA與圓錐底面所成的角，再利用可得答案.【詳解】因為AB為圓錐底面直徑，，所以是底面圓圓心，所以就是SA與圓錐底面所成的角，因為，，所以，又因為，所以.故選：A.12．C【分析】運用誘導公式化簡計算即可.【詳解】.故選：C.13．B【分析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.14．B【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．15．C【分析】根據(jù)題意，寫出事件“至少有1個白球”所包含的基本事件，根據(jù)選項即可判斷和選擇.【詳解】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，若至少有1個白球，則其包含的基本事件是：個白球個紅球，個白球；又至多有1個紅球包含的基本事件也是：個白球個紅球，個白球.故選：.16．D【分析】應用基本不等式“1”的代換求最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，當且僅當時等號成立，故目標式的最小值為9.故選：D17．A【分析】計算，判斷B；取特值進行排除，一般地利用指數(shù)冪的運算可以證明A正確.【詳解】，所以，故B錯誤；，，所以，，故CD錯誤；，所以，A正確.故選：A18．C【分析】根據(jù)平均數(shù)公式判斷A，將小組打分從小到大排列，即可求出中位數(shù)，從而判斷B，求出極差判斷C，根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況判斷D.【詳解】由圖可知，小組打分的平均數(shù)為，故A正確；將小組打分從小到大排列為、、、、、、、、，所以中位數(shù)為，故B正確；小組打分的分值的極差為，小組打分的分值的極差為，故C錯誤；小組打分的分值相對更集中，所以小組打分的分值的方差小于小組打分的分值的方差，故D正確；故選：C19．3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，由求解.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得，故答案為：320．##0.5【分析】利用三角函數(shù)基本關(guān)系式，弦化切，求值計算.【詳解】.故答案為：21．##0.5【分析】根據(jù)古典概型可知總有16種情況，符合題意的有8種，即答案為.【詳解】從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中無放回地隨機抽取2張，共有：16種；2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有：8種；即概率為，故答案為：##0.5.22．【分析】根據(jù)高斯函數(shù)定義分類討論求函數(shù)值．【詳解】，則，當時，，當時，，當時，，∴值域為．故答案為：．【點睛】本題考查新定義函數(shù)，解題關(guān)鍵是理解新函數(shù)，利用新函數(shù)定義分類討論求解．23．(1)(2)，(3)，【分析】（1）由特殊角三角函數(shù)的計算和平面向量加法的坐標運算可得結(jié)果；（2）由向量平行的坐標關(guān)系列式求解；（3）先根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式化簡函數(shù)，再根據(jù)二倍角公式化簡，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得最值.【詳解】（1）當時，，，則．（2）若，則，即，所以，．（3）因為，，所以．因為，所以當時，取得最大值，，當時，取得最小值，．24．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用棱錐體積公式直接計算；（2）先證平面，從而可得．【詳解】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，平面ABCD，所以高，，．（2）如圖，連接OB，．

根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，平面ABCD，平面ABCD，所以．因為底面ABCD是菱形，所以．因為BD，平面，，所以平面，又平面，所以．25．(1)(2)偶函數(shù)，理