專(zhuān)題10.4橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).新高考近3年考題題號(hào)考點(diǎn)直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2024(Ⅰ)卷16橢圓的離心率2024(Ⅱ)卷5橢圓的定義2023(Ⅰ)卷5橢圓的離心率2023(Ⅱ)卷//2022(Ⅰ)卷16橢圓的定義、離心率2022(Ⅱ)卷//1.橢圓的定義我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P={M|MF1+MF2=2a}，①若a>c，則集合P為橢圓；②若a=c，則集合P為線(xiàn)段；③若a<c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程xy一般方程x2m說(shuō)明當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可以分類(lèi)討論設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，或設(shè)一般方程.補(bǔ)充：橢圓系方程①方程x2a2②與橢圓x2a2恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.3.橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程xy說(shuō)明圖形范圍?a≤x≤a,

?b≤x≤b,

求最值或范圍問(wèn)題時(shí)，注意封閉曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)：關(guān)于x,y軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)在解決求點(diǎn)坐標(biāo)、判斷點(diǎn)個(gè)數(shù)、求弦長(zhǎng)、求最值等問(wèn)題時(shí),可利用對(duì)稱(chēng)性求解頂點(diǎn)長(zhǎng)軸端點(diǎn)±a,0短軸端點(diǎn)0,±b短軸端點(diǎn)0,±a短軸端點(diǎn)±b,0軸長(zhǎng)軸A1A2長(zhǎng)為2a；短軸注意區(qū)分“長(zhǎng)軸”與“長(zhǎng)半軸”、“短軸”與“短半軸”焦點(diǎn)±c,00,±c焦距Fa,b,c的關(guān)系a圖形中陰影三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c離心率e=c當(dāng)e越接近1時(shí),c越接近a,橢圓越扁；

當(dāng)e越接近0時(shí),c越接近0,橢圓越接近圓4.橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．以橢圓x2a2+y2b若∠F=1\*GB2⑴焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為：PF1+P=2\*GB2⑵余弦定理：4c2＝=3\*GB2⑶面積公式：S△PF1F2＝當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，即|y0|＝b，S由余弦定理得4c4∴P故S△=4\*GB2⑷當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF5.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，=1\*GB2⑴點(diǎn)P在橢圓上，則x02a2=2\*GB2⑵點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，則x02a2=3\*GB2⑶點(diǎn)P在橢圓外部，則x02a2【重要結(jié)論】1.橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦，長(zhǎng)為2b22.已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB，則?ABF23.點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則PF∈a?c,a+c，4.橢圓第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到一條定直線(xiàn)l:x=a2c的距離之比是常數(shù)e=ca(0<e<1)證明：設(shè)d是點(diǎn)Mx,y到直線(xiàn)l的距離，則MFd=化簡(jiǎn)可得：x2若點(diǎn)Px0,y0為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)5.設(shè)P,A,B是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則直線(xiàn)PA與P6.橢圓或雙曲線(xiàn)的第三定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1(a,0)、A2(當(dāng)常數(shù)大于1小于0時(shí)為橢圓，當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線(xiàn).1.【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.1第5題P115】已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2.【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.1第6題P115】(多選)已知P是圓O：x2+y2=4上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A在x軸上，線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QA.直線(xiàn) B.橢圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用【典例精講】例1.(2024·江蘇省淮安市月考)已知橢圓C：x212+y28=1的左焦點(diǎn)為F，P為C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A.43 B.63 C.例2.(2023·福建省三明市月考)已知M(x0,y0)是橢圓C:x23+y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1A.(?62,62) 例3.(2023·浙江省杭州市模擬)已知橢圓M:x225+y220=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別是A1，AA.|PF1|+|PF2|=5

B.直線(xiàn)PA1與直線(xiàn)PA2的斜率之積為45

C.存在點(diǎn)P滿(mǎn)足【方法儲(chǔ)備】1.橢圓定義的應(yīng)用=1\*GB2⑴橢圓定義的應(yīng)用主要是：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．=2\*GB2⑵通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.2.求最值或范圍已知P為橢圓x2=1\*GB3①PF1+PF2=2a結(jié)合其它條件，使用基本不等式求最值，或者將所求量表示為關(guān)于PF=2\*GB3②設(shè)Px0,y0，則x02a=3\*GB3③設(shè)Px0,y0，三角換元：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，x0=acosθ【拓展提升】練11(2023·安徽省蚌埠市月考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為35，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線(xiàn)與橢圓A.25 B.35 C.12練12(2024·四川省成都市月考)(多選)已知橢圓C：3x2+4y2=48的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A.C的離心率為32 B.△PF1F2的周長(zhǎng)為12

C.|PF練13(2024·吉林省通化市模擬)橢圓C:x24+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例精講】例4.(2023·湖北省襄陽(yáng)市入學(xué)考)方程x2sinα+y2cosα=1(0<α<π2)A.(0,π4) B.(0,π4]例5.(2023·江蘇省南通市模擬)已知圓C的方程為x2+y2=16，直線(xiàn)l為圓C的切線(xiàn)，記A?2,0,B2,0兩點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離分別為d1,d2，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足A.x2+y2=4 B.x2例6.(2024·江蘇省南京市月考)設(shè)點(diǎn)M是橢圓C：x29+y28=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓E：(x?1)2+y【方法儲(chǔ)備】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：=1\*GB2⑴定義法：根據(jù)橢圓的定義，要注意條件2a>|F1F2|，確定=2\*GB2⑵待定系數(shù)法：先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2+ny補(bǔ)充：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的不同設(shè)法=1\*GB3①焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：x2a2=2\*GB3②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：y2a2=3\*GB3③與橢圓x2a2+y=4\*GB3④與橢圓x2a2+y2b2=1【拓展提升】練21(2023·江西省南昌市模擬)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，C的短軸長(zhǎng)為4，且C上存在一點(diǎn)P，使得PF1=6PF2練22(2024·江西省萍鄉(xiāng)市月考)已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)P在橢圓C：x26+y23=1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A.63,233 B.練23(2023·江西省吉安市月考)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交A.x24+y23=1 B.考點(diǎn)三橢圓中的焦點(diǎn)三角形考點(diǎn)三橢圓中的焦點(diǎn)三角形【典例精講】例7.(2023·江蘇省南京市期末)(多選)已知P是橢圓E：x28+y24=1上一點(diǎn)，△F1PF2的面積為A.P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3 B.∠F1PF2>π2

C.例8.(2023·江西省九校聯(lián)考)橢圓x225+y216=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P例9.(2024·江蘇省宿遷市月考)已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，直線(xiàn)BF2與C相交于另一點(diǎn)A.當(dāng)cos∠F1【方法儲(chǔ)備】利用橢圓的定義、余弦定理和焦點(diǎn)三角形相關(guān)結(jié)論，解決三角形的面積、周長(zhǎng)、三角形的個(gè)數(shù)、三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)、角等問(wèn)題.【拓展提升】練31(2024·江蘇省蘇州市月考)(多選)已知橢圓C:x29+y28=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A.△PF1F2的周長(zhǎng)為8 B.△PF1F2的最大面積為22

練32(2023·湖北省武漢市期中)定義離心率是5?12的橢圓為“橢圓”，若“橢圓”C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(?c,0)、F2(c,0)(c>0)，P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是考點(diǎn)四橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)四橢圓的幾何性質(zhì)【典例精講】例10.(2024·廣西省桂林市月考)(多選)已知橢圓E：x29+yA.若E的離心率為13，則m=8

B.若m>9，E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±m(xù)?9)

C.若0<m<9，則E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6

D.不論m取何值，直線(xiàn)例11.(2023·廣東省廣州市模擬)已知以F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線(xiàn)x+y+4=0A.32 B.26 C.例12.(2023·山東省臨沂市期末)F1，F(xiàn)2分別為橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，MA.4?102 B.2?102例13.(2023·天津市市轄區(qū)期末)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)AF2A.13 B.33 C.1【方法儲(chǔ)備】1.橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍：橢圓x2a2橢圓y2a2+2.橢圓的對(duì)稱(chēng)性：=1\*GB2⑴形：橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形

=2\*GB2⑵數(shù)：若點(diǎn)P(x,y)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1(x,y)也在橢圓上，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2(x,y)也在橢圓上，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3(x,y)也在橢圓上.3.離心率=1\*GB2⑴求橢圓離心率的值：=1\*GB3①直接求出a，c，利用離心率公式e＝ca求解；或由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝1?b=2\*GB3②構(gòu)造a，c的齊次式．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.=2\*GB2⑵求離心率的取值范圍=1\*GB3①直接法：題干條件中有明顯的不等關(guān)系，直接將不等關(guān)系中的量轉(zhuǎn)化為a、c的不等式；=2\*GB3②間接法：題干條件中沒(méi)有明顯的不等關(guān)系，可結(jié)合=1\*romani.橢圓x2a2+y2=2\*romanii.焦點(diǎn)三角形中動(dòng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2，=3\*romaniii.幾何圖形的臨界情況、基本不等式建立不等式.【拓展提升】練41(2024·湖北省黃岡市月考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)A.[22,32] 練42(2023·江蘇省連云港市月考)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?1，F(xiàn)?2，若橢圓C上恰好有A.13,23 B.12,1練43(2023·浙江省杭州市期末)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記I是△PF1F2的內(nèi)心.直線(xiàn)A.12 B.22 C.3練44(2023·江蘇省揚(yáng)州市模擬)(多選)已知F為橢圓C:x24+y22=1的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)l:y=kxk≠0與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，AE⊥x軸，垂足為E，A.1AF+4BF的最小值為2 B.△ABE的面積的最大值為2

C.直線(xiàn)BE的斜率為1.(2024·云南省昆明市月考)2020年11月24日，嫦娥五號(hào)發(fā)射成功，九天攬?jiān)?，?jiàn)證中華民族復(fù)興！11月28日20時(shí)58分，嫦娥五號(hào)順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行．環(huán)月軌道是以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100km，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400km.已知月球的直徑約為3476km，則該橢圓形軌道的離心率約為(

)

A.340 B.125 C.182.(2024·重慶市市轄區(qū)月考)(多選)如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)橢圓反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓C:x24+y2b2=1(0<b<2)，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)l與橢圓C相切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與l垂直的直線(xiàn)與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q(0,A.橢圓C的離心率為12

B.若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為2?3，則PF1⊥PF2

C.3.(2024·江蘇省鹽城市期中)已知A，B是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1在第一象限上的一點(diǎn)，直線(xiàn)PA【答案解析】教材改編1【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.1第5題P115】解：由∠F1PF2=120°，△PF1F2的面積為3，

可得12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF教材改編2【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.1第6題P115】解：當(dāng)定點(diǎn)A在x軸且在圓上時(shí)，此時(shí)線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)OP相交于點(diǎn)O，即Q的軌跡是一個(gè)點(diǎn);

當(dāng)定點(diǎn)A在x軸且在圓內(nèi)時(shí)，此時(shí)QO+QA=QO+QP=OP=2，故Q的軌跡是以點(diǎn)O和點(diǎn)A

為焦點(diǎn)的橢圓;

當(dāng)定點(diǎn)A在x軸且在圓外時(shí)，此時(shí)QA?QO=QP?QO=OP=2，故Q的軌跡是以點(diǎn)O和點(diǎn)A為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)．

例1解：(?1)212+(3)28=PF+PE=2a=4PF+PA=43所以PF+PA的最大值為故選：B．例2解：橢圓C：x23+y2=1的焦點(diǎn)為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，

MF1=(?2?x0,?例3解：橢圓M:x225+y220=1，焦點(diǎn)在x軸上，a=5，b=25，

選項(xiàng)A：|PF1|+|PF2|=2a=10，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由已知A1(?5,0)，A2(5,0)，設(shè)P(x,y)，

則

kPA1=yx+5,kPA2=yx?5，

所以kPA1?kPA2=y2x2練11解：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為35，

設(shè)a=5t，則c=3t，

NF2=F1F2=6t，

橢圓定義知|NF1|=2a?|NF2|=10t?6t=4t，

設(shè)|F1M|=n，橢圓定義知|練12解：由橢圓C：3x2+4y2=48，即x216+y212=1，

可知a=4，b=23，從而半焦距c=a2?b2=2，則離心率e=12，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a=8，

F1F2=2c=4，

所以△PF1練13解：設(shè)M(x,y)，焦點(diǎn)F1(?因?yàn)椤螰1M即MF整理得：x2因?yàn)辄c(diǎn)Mx,y在橢圓x24代入得x2<8又因?yàn)?2≤x≤2，

所以點(diǎn)M橫坐標(biāo)x的取值范圍為(?2故答案為：(?2例4解：根據(jù)題意可得x21sinα+y21cosα=1(0<α<π2)，

∵焦點(diǎn)在y軸上，∴1sinα<1cosα，例5解：因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓x2+y2=16相切，所以依題意有：PA+PB=d所以a=4，c=2，b=23，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：x216+例6解：由題可知E(1,0)，|NE|=1，

設(shè)M(x0,y0),x029+y028=1?y02=8(1?x練21解：因?yàn)閨PF1|=6|PF2|，所以|PF1|+|PF2|=

7|PF2|=2a，則|PF2|=

2a7．

又因?yàn)閍?c≤|PF2|≤a+c，所以2a7≥a?c，即ca≥57．

根據(jù)題意可設(shè)C的方程為x2b練22解：設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

切線(xiàn)PA上任意一點(diǎn)為Q(x,y)，則QA?OA=0，

所以(x1?x)x1+(y1?y)y1=0，

所以xx1+yy1=x12+y12=1，

即切線(xiàn)PA練23解：如圖，連接PF1,Q所以PF2+又因?yàn)镻F2⊥F2則S?PF2Q=12則F1F2橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：C．例7解：橢圓E：x28+y24=1中，a2=8，b2=4，c2=4，

則a=22,b=c=2．

SΔF1PF2=12×2c×yP=2×yP=3，解得yP=32，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，sin∠OPF2=例8解：由橢圓x225+y216=1知，a=5，b=4，c=a2?b2=25?16=3，

由橢圓的定義知，PF1+PF2=2a=10，

則例9解：設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其焦距為2c，

由題意可知|BF1|=|BF2|=a;設(shè)|AF2|=x，則|AF1|=2a?x，|AB|=a+x，

故cos∠F1AB=AF12+AB2?BF122A練31解：橢圓C:x29+y28=1，可得a=3，b=22，c2=a2?b2=1，

對(duì)于A：△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=8，故A正確；

對(duì)于B：△PF1F2的最大面積為12×|F1F2|×b=bc=22，故B正確；

練32解：如圖，連接MF1,MF2，設(shè)?PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，

根據(jù)橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

則12PF1r+1例10解：對(duì)于A，橢圓E的離心率為13，所以a=3c，

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=3，c=1，則m=a2?c2=9?1=8，

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a=m，b=3，c=m3，則b2=a2?c2=8m9=9，即m=818，

故A錯(cuò)誤．

對(duì)于B，若m>9，則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，c2=m?9，橢圓E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±m(xù)?9)，

故B正確．

對(duì)于C，若0<m<9，則焦點(diǎn)在x軸上，所以例11解：設(shè)橢圓方程mx2+n由mx2+ny2Δ=64m2?4即1n+1m=16．=1\*GB3①

又c=2，焦點(diǎn)在x軸上，∴1m?1n=4，=2\*GB3②

由=1\*GB3①=2\*GB3②解得m=110，n=16．

∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2例12解：橢圓x24+y23=1，

則F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，

且|MF1|+|MF2|=2a=4，

所以|MF2|=4?|MF1|，

所以|MA|+MF2=4+|MA|?|MF1例13解：因?yàn)椤鰾F1A為等腰三角形，

且|AF1|=|AF2|=a，所以|AB|=|BF1|，

又|AB|+|BF1|+|AF1|=4a，

所以|AB|=3a2，

所以|AF2|=2|F2B|，

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸，垂足為M，則△AOF2∽△BMF2，

練41解：由已知，點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)B也在橢圓上，

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，

由OA=OB,OF1=OF可得四邊形AF1BF為平行四邊形，

又AF⊥BF，所以平行四邊形AF1BF為矩形，

所以AF1=BF，AB=F1F=2c，

又根據(jù)橢圓定義：AF+AF1=2a，

因此AF+BF=2a①；

在Rt△ABF中，AF=2csinα②，BF=2ccosα③；

將練42解：設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為P1，P2，則△P1由題意知，橢圓C上恰有6個(gè)不同點(diǎn)P，使得△PF所以在四個(gè)象限各有一點(diǎn)P，使得△PF由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只考慮第一象限的情況即可．當(dāng)|PF1|=|F1F2