PAGE1-核心素養(yǎng)提升練六十一排列與組合(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.支配A,B,C,D,E,F六名義工照看甲、乙、丙三位老人,每兩位義工照看一位老人.考慮到義工與老人住處距離問題,義工A擔(dān)心排照看老人甲,義工B擔(dān)心排照看老人乙,支配方法共有 ()A.30種 B.40種 C.42種 D.48種【解析】選C.當(dāng)B照看老人甲時(shí),有=24種支配方法;當(dāng)B照看老人丙時(shí),有=18種支配方法,所以一共有42種支配方法.2.(2024·洛陽模擬)從10名高校畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)當(dāng)村長助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為 ()A.72 B.56 C.49 D.28【解析】選C.分兩類:甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選,甲、乙均入選且丙沒有入選,計(jì)算可得所求選法種數(shù)為+=49.3.(2024·長沙模擬)《中國詩詞大會(huì)》亮點(diǎn)頗多,十場(chǎng)競(jìng)賽每場(chǎng)都有一首特殊設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩詞,在聲光舞美的協(xié)作下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.因?yàn)榍八膱?chǎng)播出后反響很好,所以節(jié)目組確定《將進(jìn)酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場(chǎng),并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰,且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰,且均不排在最終,則后六場(chǎng)開場(chǎng)詩詞的排法有 ()A.144種 B.48種 C.36種 D.72種【解析】選C.將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列共有=6種排法,再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個(gè)空里(最終一個(gè)空不排),有=6種排法,則后六場(chǎng)的排法有6×6=36(種).【變式備選】(2024·廣元模擬)在航天員進(jìn)行一項(xiàng)太空試驗(yàn)中,要先后實(shí)施6個(gè)程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最終一步,程序B和C在實(shí)施時(shí)必需相鄰,問試驗(yàn)依次的編排方法共有 ()A.34種 B.48種 C.96種 D.144種【解析】選C.依據(jù)題意,程序A只能出現(xiàn)在第一步或最終一步,則從第一個(gè)位置和最終一個(gè)位置選一個(gè)位置把A排列,有=2種結(jié)果,又由程序B和C實(shí)施時(shí)必需相鄰,把B和C看成一個(gè)元素,同除A外的3個(gè)元素排列,留意B和C之間還有一個(gè)排列,共有=48種結(jié)果,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×48=96種結(jié)果.4.在大橋上有12個(gè)固定的哨位,但平常只派9人執(zhí)勤,規(guī)定兩端的哨位必需有人執(zhí)勤,也不能讓相鄰哨位都空崗,則不同的支配哨位方法有 ()A.種 B.種C.種 D.種【解析】選A.將3個(gè)空崗插入9個(gè)實(shí)崗的8個(gè)空隙之間,有種插法,每一種插法都對(duì)應(yīng)著一種排崗方法,因此一共有種排崗方法.誤區(qū)警示:解答本題簡單錯(cuò)誤地去考慮執(zhí)勤人員的依次.事實(shí)上,“空崗”“實(shí)崗”的相對(duì)位置是區(qū)分不同排崗的關(guān)鍵所在,與崗位上執(zhí)勤人員是誰無關(guān).5.某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修,其中A,B,C三門由于上課時(shí)間相同,至多選一門,學(xué)校規(guī)定:每位同學(xué)選修三門,則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是 ()A.70 B.98 C.108 D.120【解析】選B.共可分為兩類:選A,B,C中的一門,其他7門中選兩門,有=63;不選A,B,C,其他7門中選三門,有=35;所以共有98種.6.集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9},從集合A,B中各取一個(gè)數(shù),能組成________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù) ()

A.52 B.58 C.64 D.70【解析】選B.屬于A但不屬于B的數(shù)有2個(gè),屬于B但不屬于A的數(shù)有4個(gè),既屬于A又屬于B的數(shù)有3個(gè),于是,從A,B中各取一個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有:(·+·+·+)·=58.7.某校的A,B,C,D四位同學(xué)打算從三門選修課中各選一門,若要求每門選修課至少有一人選修,且A,B不選修同一門課,則不同的選法有 ()A.36種 B.72種 C.30種 D.66種【解析】選C.從A,B,C,D四位同學(xué)中選出2個(gè)作為一個(gè)整體,4個(gè)人就變成了三個(gè),全部的選法有=6種,從中去掉A,B作為一個(gè)整體的狀況,還有5種狀況.這三人從三門選修課中各選一門,共有種方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法有5×=30種.二、填空題(每小題5分,共15分)8.現(xiàn)有8本雜志,其中有3本是完全相同的文學(xué)雜志,還有5本是互不相同的數(shù)學(xué)雜志,從這8本里選取3本,則不同選法的種數(shù)為____.

【解析】若選取的三本書沒有數(shù)學(xué)雜志,有1種選法;若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志,有=5種選法;若選取的三本書有2本數(shù)學(xué)雜志,有=10種選法;若選取的三本書有3本數(shù)學(xué)雜志,有=10種選法.故不同選法的種數(shù)為26.答案:269.一天的課表有六節(jié),其中上午4節(jié),下午2節(jié),要支配語文、數(shù)學(xué)、英語、微機(jī)、體育、地理6節(jié)課,要求上午第一節(jié)擔(dān)心排體育課,數(shù)學(xué)課必需支配在上午,微機(jī)必需支配在下午,則有________種不同的排課方法.

【解析】可以考慮分兩種狀況探討,第一種狀況,上午第一節(jié)支配數(shù)學(xué),微機(jī)支配在下午共有=48種排法;其次種狀況,上午第一節(jié)課擔(dān)心排數(shù)學(xué),也不能支配體育和微機(jī),則這節(jié)課只有3種排法,數(shù)學(xué)只能支配在上午2,3,4節(jié)課,微機(jī)支配在下午,故共有3=108種排法.所以一共有156種排法.答案:156【變式備選】(2024·武漢模擬)在高三某班進(jìn)行的演講競(jìng)賽中,共有5位選手參與,其中3位女生,2位男生,假如2位男生不能連續(xù)出場(chǎng),且女生甲不能排第一個(gè),那么出場(chǎng)的依次的排法種數(shù)為________.

【解析】不相鄰問題插空法.2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N1=×=72(種),女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N2=×=12(種),所以出場(chǎng)依次的排法種數(shù)為N=N1-N2=60.答案:6010.(2024·太原模擬)要從甲、乙等8人中選4人在座談會(huì)上發(fā)言,若甲、乙都被選中,且他們發(fā)言中間恰好間隔一人,那么不同的發(fā)言依次共有________種.(用數(shù)字作答)

【解析】先從除了甲乙以外的6人中選一人,支配在甲乙中間,有=12種,最終再選出一人和剛才的三人排列得:12×=120.答案:120(20分鐘40分)1.(5分)福州西湖公園花展期間,支配6位志愿者到4個(gè)展區(qū)供應(yīng)服務(wù),要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各支配一個(gè)人,剩下兩個(gè)展區(qū)各支配兩個(gè)人,不同的支配方案共有 ()A.90種 B.180種 C.270種 D.360種【解析】選B.第一步,為甲展區(qū)選一名志愿者,有=6種選法,其次步,為乙展區(qū)選一名志愿者,有=5種選法,第三步,為剩下兩個(gè)展區(qū)各支配兩名志愿者,有=6種選法,故不同的支配方案共有6×5×6=180種.2.(5分)如圖所示,在排成4×4方陣的16個(gè)點(diǎn)中,中心位置4個(gè)點(diǎn)在某圓內(nèi),其余12個(gè)點(diǎn)在圓外.從16個(gè)點(diǎn)中任選3點(diǎn),作為三角形的頂點(diǎn),其中至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形共有 ()A.60個(gè) B.132個(gè) C.248個(gè) D.312個(gè)【解析】選D.依據(jù)題意,分3種狀況探討:①取出的3個(gè)點(diǎn)都在圓內(nèi),有=4種取法,即有4種取法,②在圓內(nèi)取2點(diǎn),圓外12點(diǎn)中取1點(diǎn),有=60種,即有60種取法,③在圓內(nèi)取1點(diǎn),圓外12點(diǎn)中取2點(diǎn),有(-4)=248種,即有248種取法,則至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形有4+60+248=312(個(gè)).【變式備選】如圖,∠MON的邊OM上有四點(diǎn)A1,A2,A3,A4,ON上有三點(diǎn)B1,B2,B3,則以O(shè),A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為 ()A.30 B.42C.54 D.56【解析】選B.分類完成.在O,A1,A2,A3,A4這5個(gè)點(diǎn)中取2個(gè),在B1,B2,B3中取1個(gè),有個(gè)三角形;在B1,B2,B3中取2個(gè),在A1,A2,A3,A4中取1個(gè),有個(gè)三角形,故共有+=42個(gè).3.(5分)某學(xué)校要支配2位數(shù)學(xué)老師、2位英語老師和1位化學(xué)老師分別擔(dān)當(dāng)高三年級(jí)中5個(gè)不同班級(jí)的班主任,每個(gè)班級(jí)支配1個(gè)班主任.由于某種緣由,數(shù)學(xué)老師不擔(dān)當(dāng)A班的班主任,英語老師不擔(dān)當(dāng)B班的班主任,化學(xué)老師不擔(dān)當(dāng)C班和D班的班主任,則共有________種不同的支配方法.(用數(shù)字作答).

【解析】若數(shù)學(xué)老師分到B,C兩班,共有=8種分法,若數(shù)學(xué)老師分到B,D兩班,共有=8種分法,若數(shù)學(xué)老師分到B,E兩班,共有=4種分法,若數(shù)學(xué)老師分到C,D兩班,共有=4種分法,若數(shù)學(xué)老師分到C,E兩班,共有=4種分法,若數(shù)學(xué)老師分到D,E兩班,共有=4種分法,共有8+8+4+4+4+4=32種支配方法.答案:32【變式備選】甲、乙、丙三人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法種數(shù)是________.

【解析】由題意知本題須要分類解決,因?yàn)閷?duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有種;若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人共有種,所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是+=336(種).答案:3364.(12分)如表是高考第一批錄用的一份志愿表.假如有4所重點(diǎn)院校,每所院校有3個(gè)專業(yè)是你較為滿足的選擇.若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù),同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話,你將有多少種不同的填表方法? 學(xué)校專業(yè)112212312【解析】填表過程可分兩步.第一步,確定填報(bào)學(xué)校及其依次,則在4所學(xué)校中選出3所并排列,共有種不同的排法;其次步,從每所院校的3個(gè)專業(yè)中選出2個(gè)專業(yè)并確定其依次,其中又包含三小步,因此總的排列數(shù)有··種.綜合以上兩步,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有:···=5184種.5.(13分)已知集合A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}. (1)從A∪B中取出3個(gè)不同的元素組成三位數(shù),則可以組成多少個(gè)?(2)從集合A中取出1個(gè)元素,從集合B中取出3個(gè)元素,可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且