高級中學名校試題PAGEPAGE1吉林省長春市2025屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，故復數(shù)的虛部為.故選：B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式，可得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以，即.故選:D.4.為了了解學校質(zhì)量監(jiān)測成績，現(xiàn)隨機抽取該校200名學生的成績作為樣本進行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績在區(qū)間這一組內(nèi)的學生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩形高度為（）A.0.2 B.0.02 C.0.4 D.0.04【答案】B【解析】由題意成績在區(qū)間內(nèi)學生頻率為，因此，故選:B5.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可作圖如下：則，已知，則，可得，解得，即，小圓錐的側(cè)面積為，大圓錐的側(cè)面積為，所以圓臺的側(cè)面積為.故選：B.6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A.20 B. C.40 D.【答案】C【解析】由于，所以含的項為，所以的系數(shù)為，故選:C.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱可知，，即，可得，因此函數(shù)有對稱軸，由，可得，由為上的偶函數(shù)且具有對稱軸，可得.故選:B.8.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同.據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當時，，此時截得的曲線是拋物線.如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐中，是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點，，平面截該圓錐面所得的曲的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意的，則，所以，在中，，則，所以，且.由正弦定理得，，即，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到【答案】AC【解析】函數(shù)的周期為，故A正確；的單調(diào)增區(qū)間為，即，故B錯誤；令，則，故C正確；函數(shù)向右平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等差數(shù)列C.若，則是等比數(shù)列D.若，則是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，當時，若，可演繹為，因此數(shù)列不是等差數(shù)列，故A選項錯誤；對于B，當時，若，可演繹為因此數(shù)列是等差數(shù)列，故B選項正確；對于C，當時，若，可演繹為因此數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項正確；對于D，當時，若，可演繹為因此數(shù)列是等比數(shù)列，故D選項正確；故選：BCD.11.在平面內(nèi)，存在定圓和定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，關(guān)于點軌跡敘述正確的是（）A.當點與圓心重合時，點的軌跡為圓B.當點在圓內(nèi)且不與圓心重合時，點的軌跡為橢圓C.當點在圓上時，點的軌跡為拋物線D.當點在圓外時，點的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】設(shè)圓的半徑.當點與圓的圓心重合時，線段的中垂線與直線的交點即為的中點，此時，因此點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故選項A正確；當點在圓內(nèi)且非圓心時，如圖所示.∵點是線段中垂線與直線的交點，，，（其中為圓的半徑），∴點的軌跡為橢圓，故選項B正確；

當點在圓上時，如圖所示，根據(jù)圓的性質(zhì)可知線段的中垂線與直線的交點即為圓心，軌跡為一個點，故選項C錯誤；

當點在圓外時，如圖所示.∵點是線段的中垂線與直線的交點，，，或，∴或（其中為圓的半徑），即，∴點的軌跡為雙曲線，故選項D正確.

故選：ABD.三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且成等比數(shù)列，則__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，則或（舍），則.故答案為：.13.已知向量滿足，且，則__________.【答案】【解析】.故答案為：.14.2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾.現(xiàn)在編排一個動作，機器人從原點出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次.求該機器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動2次”，按到位置需要1步，3步分類討論.記向左，向右，向上，向下，①若1步到位為事件，則滿足要求的是或或或或，或或或或，所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；所以，滿足的情況有：或或或或.所以，所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.解：（1）因為，由余弦定理得，由正弦定理得，在中，所以，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理可得，由，當且僅當時“”成立，，.16.已知函數(shù).（1）若存在，使成立，求的取值范圍；（2）已知，若在上恒成立，求的最小值.解：（1）因為存在，使成立，即，所以，令，則，令可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，有極大值，即最大值，，所以.（2），令，令，則（舍）或，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，有極大值，即最大值，，則，則的最小值為.17.斜三棱柱各棱長為為棱上的一點.（1）求證：；（2）若平面平面，且二面角的余弦值為，求的長.（1）證明：取中點，在中，為中點，所以，在中，，所以，所以有，即，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：由（1）知且平面平面，所以面，則，如圖以兩兩垂直，以為坐標原點，以方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.，設(shè)，，設(shè)平面法向量為，，可取，平面的法向量為，所以有，化簡得，所以有（舍）或者，所以.18.某網(wǎng)店發(fā)現(xiàn)其某款商品的日銷售量與該店在購物平臺的日訪問量呈線性相關(guān)關(guān)系，為了吸引更多的顧客購買該商品，在上推出了和兩款互動游戲，顧客在參與游戲后，有機會獲得優(yōu)惠券.下圖是該商品的日銷售量（單位：千件）與日訪問量（單位：萬人次）的散點圖：（1）求出關(guān)于的回歸方程，并預測日訪問量12萬人次時日銷售多少千件商品；（2）款游戲為通關(guān)游戲，游戲規(guī)則為：顧客每次挑戰(zhàn)都有的概率成功通關(guān)，一旦成功，則游戲立即結(jié)束并獲得優(yōu)惠券，如果挑戰(zhàn)失敗，可繼續(xù)挑戰(zhàn)；每位顧客共有次挑戰(zhàn)機會，第無論成功與否都結(jié)束游戲.設(shè)為游戲結(jié)束時，進行挑戰(zhàn)的次數(shù)，的數(shù)學期望為，證明：；（3）款游戲為抽球游戲，游戲規(guī)則為：有個小球，編號為，參與者從中隨機抽取個小球，記錄編號后放回，再重新隨機抽取個小球，記被重復抽取的小球數(shù)為，并向參與者發(fā)放張優(yōu)惠卷，求使取得最大值時的值.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：（1）解：由題意可得：，.所以回歸方程，時，，所以日訪問量12萬人時銷售千件商品；（2）證明：可取值為，當時，，，所以的分布列為123故①.因為②由①-②得，所以；（3）解：當時，只能取，故只能取，有；當時，整數(shù)滿足，其中是0和中的較大者.兩次抽球包含的基本事件總數(shù)為，事件“”所包含的基本事件數(shù)為，此時，當時，，因為，所以，當時，顯然，當時，，所以，當時，取得最大值的整數(shù)或，當時，取得最大值的整數(shù)，其中為不超過的最大整數(shù).19.已知為坐標原點，動點到軸距離為，且，其中均為常數(shù)，動點的軌跡稱為曲線.（1）若曲線為雙曲線，試問應(yīng)滿足什么條件？（2）設(shè)曲線為曲線，點是上位于第一象限的一點，點關(guān)于原點中心對稱，點關(guān)于軸對稱.延長至，使得，且直線和曲線的另一個交點位于第二象限內(nèi).（i）求的取值范圍；（ii）設(shè)直線斜率為，直線斜率為，判斷與的關(guān)系，并求的取值范圍.解：（1）設(shè)點，則由，得，即，若曲線為雙曲線，則，所以可化為，則，則，所以當，且時，曲線為雙曲線.（2）（i）當時，，即，由題意得，設(shè)點，由，即，即，得，則，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，得，由直線與雙曲線有2個交點，則，又因為滿足，由韋達定理得，解得，因為，且，得，所以，又因為，可得，所以，因為，所以，所以，可得，則的取值范圍為.（ii）由（i）得，又，所以，因為，則，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則吉林省長春市2025屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，故復數(shù)的虛部為.故選：B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式，可得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以，即.故選:D.4.為了了解學校質(zhì)量監(jiān)測成績，現(xiàn)隨機抽取該校200名學生的成績作為樣本進行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績在區(qū)間這一組內(nèi)的學生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩形高度為（）A.0.2 B.0.02 C.0.4 D.0.04【答案】B【解析】由題意成績在區(qū)間內(nèi)學生頻率為，因此，故選:B5.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可作圖如下：則，已知，則，可得，解得，即，小圓錐的側(cè)面積為，大圓錐的側(cè)面積為，所以圓臺的側(cè)面積為.故選：B.6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A.20 B. C.40 D.【答案】C【解析】由于，所以含的項為，所以的系數(shù)為，故選:C.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱可知，，即，可得，因此函數(shù)有對稱軸，由，可得，由為上的偶函數(shù)且具有對稱軸，可得.故選:B.8.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同.據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當時，，此時截得的曲線是拋物線.如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐中，是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點，，平面截該圓錐面所得的曲的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意的，則，所以，在中，，則，所以，且.由正弦定理得，，即，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到【答案】AC【解析】函數(shù)的周期為，故A正確；的單調(diào)增區(qū)間為，即，故B錯誤；令，則，故C正確；函數(shù)向右平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等差數(shù)列C.若，則是等比數(shù)列D.若，則是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，當時，若，可演繹為，因此數(shù)列不是等差數(shù)列，故A選項錯誤；對于B，當時，若，可演繹為因此數(shù)列是等差數(shù)列，故B選項正確；對于C，當時，若，可演繹為因此數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項正確；對于D，當時，若，可演繹為因此數(shù)列是等比數(shù)列，故D選項正確；故選：BCD.11.在平面內(nèi)，存在定圓和定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，關(guān)于點軌跡敘述正確的是（）A.當點與圓心重合時，點的軌跡為圓B.當點在圓內(nèi)且不與圓心重合時，點的軌跡為橢圓C.當點在圓上時，點的軌跡為拋物線D.當點在圓外時，點的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】設(shè)圓的半徑.當點與圓的圓心重合時，線段的中垂線與直線的交點即為的中點，此時，因此點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故選項A正確；當點在圓內(nèi)且非圓心時，如圖所示.∵點是線段中垂線與直線的交點，，，（其中為圓的半徑），∴點的軌跡為橢圓，故選項B正確；

當點在圓上時，如圖所示，根據(jù)圓的性質(zhì)可知線段的中垂線與直線的交點即為圓心，軌跡為一個點，故選項C錯誤；

當點在圓外時，如圖所示.∵點是線段的中垂線與直線的交點，，，或，∴或（其中為圓的半徑），即，∴點的軌跡為雙曲線，故選項D正確.

故選：ABD.三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且成等比數(shù)列，則__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，則或（舍），則.故答案為：.13.已知向量滿足，且，則__________.【答案】【解析】.故答案為：.14.2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾.現(xiàn)在編排一個動作，機器人從原點出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次.求該機器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動2次”，按到位置需要1步，3步分類討論.記向左，向右，向上，向下，①若1步到位為事件，則滿足要求的是或或或或，或或或或，所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；所以，滿足的情況有：或或或或.所以，所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，求的最大值.解：（1）因為，由余弦定理得，由正弦定理得，在中，所以，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理可得，由，當且僅當時“”成立，，.16.已知函數(shù).（1）若存在，使成立，求的取值范圍；（2）已知，若在上恒成立，求的最小值.解：（1）因為存在，使成立，即，所以，令，則，令可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，有極大值，即最大值，，所以.（2），令，令，則（舍）或，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，有極大值，即最大值，，則，則的最小值為.17.斜三棱柱各棱長為為棱上的一點.（1）求證：；（2）若平面平面，且二面角的余弦值為，求的長.（1）證明：取中點，在中，為中點，所以，在中，，所以，所以有，即，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：由（1）知且平面平面，所以面，則，如圖以兩兩垂直，以為坐標原點，以方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.，設(shè)，，設(shè)平面法向量為，，可取，平面的法向量為，所以有，化簡得，所以有（舍）或者，所以.18.某網(wǎng)店發(fā)現(xiàn)其某款商品的日銷售量與該店在購物平臺的日訪問量呈線性相關(guān)關(guān)系，為了吸引更多的顧客購買該商品，在上推出了和兩款互動游戲，顧客在參與游戲后，有機會獲得優(yōu)惠券.下圖是該商品的日銷售量（單位：千件）與日訪問量（單位：萬人次）的散點圖：（1）求出關(guān)于的回歸方程，并預測日訪問量12萬人次時日銷售多少千件商品；（2）款游戲為通關(guān)游戲，游戲規(guī)則為：顧客每次挑戰(zhàn)都有的概率成功通關(guān)，一旦成功，則游戲立即結(jié)束并獲得優(yōu)惠券，如果挑戰(zhàn)失敗，可繼續(xù)挑戰(zhàn)；每位顧客共有次挑戰(zhàn)