牛吃草

牛吃草問(wèn)題乂稱(chēng)為消長(zhǎng)問(wèn)題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的。典型

牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各

不相同,求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。

由于吃的天數(shù)不同,草又是天天在生長(zhǎng)的,所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決

牛吃草問(wèn)題重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的,新長(zhǎng)的草雖然在變

化,但由于是勻速生長(zhǎng),所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。這類(lèi)問(wèn)題常用到四個(gè)基本公式,分

別是:

（1）草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)）+

（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；

（2）原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度X吃的天數(shù)；

（3）吃的天數(shù)=原有草量+（牛頭數(shù)一草的生長(zhǎng)速度）；

（4）牛頭數(shù)=原有草量一吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。

這四個(gè)公式是解決牛吃草問(wèn)題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變,設(shè)為〃1",解題關(guān)鍵是

弄清楚已知條件,進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量,再求出草地里原有草的數(shù)量,進(jìn)而

解答題總所求的問(wèn)題。

一、例題與方法指導(dǎo)

例L

青青一牧場(chǎng)

青青一牧場(chǎng),牧草喂牛羊；放牛二十七,六周全吃光。

改養(yǎng)廿三只，九周走他方；若養(yǎng)二十一,可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊?。）

【解說(shuō)】這道詩(shī)題，是依據(jù)聞名于世界的“牛頓牛吃草問(wèn)題”編寫(xiě)的。牛頓是英國(guó)人，他的種種

事跡早已聞名于世,這里不贅述。他曾寫(xiě)過(guò)一本書(shū)，名叫《普遍的算術(shù)》，“牛吃草問(wèn)題”就編寫(xiě)

在這本書(shū)中。書(shū)中的這道題目翻譯過(guò)來(lái)是：

一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿(mǎn)青草,27頭牛6個(gè)星期可以吃完,或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。若是21頭牛,

要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草是不斷生長(zhǎng)的。）

解答這一問(wèn)題，首先必須注意牧場(chǎng)里的草是不斷生長(zhǎng)增多的，而并非一個(gè)固定不變的數(shù)值。

這雖然大大地增加了解題的難度，但我們不要害怕。只要依據(jù)下面的思路，就一定會(huì)找到問(wèn)題的

答案。

思路導(dǎo)航:

畝為27頭6星期草料二（27X6=）162頭一星期草料

23頭9星期草料二（23X9=）207頭一星期草料

而這一牧場(chǎng)6星期吃完與9星期吃完,草料數(shù)量要把差207—162=45（頭牛吃一星期的草料）

這多出的草料，便是9-6=3（個(gè)星期之內(nèi)新長(zhǎng)出的草料）

所以，一個(gè)星期新長(zhǎng)出的草料便是

454-3=15（頭牛吃一星期的草料）

進(jìn)而可知,這牧場(chǎng)最初的草料數(shù)量就是

（27—15）X6=72（頭牛吃一個(gè)星期的草料）

現(xiàn)在,有21頭牛來(lái)吃這牧場(chǎng)里的草,其中必須拿出15頭牛來(lái)吃每個(gè)星期新長(zhǎng)出來(lái)的草料,這

就只剩下：21-15=6(頭牛)

去吃最初已經(jīng)長(zhǎng)成的草料了。所以,21頭牛來(lái)吃這牧場(chǎng)的草料,仝部吃光所需要的時(shí)間就是

724-6=12(個(gè)星期)

列成綜合算式,就是：

[27-(23X9—27X6)+(9—6)]X64-[21-(23X9—27X6)+(9—6)]

=[27-454-3]X64-[21-454-3]

=12X64-6

=12(個(gè)星期)

答：21頭牛要12個(gè)星期才可以吃完。

例2.一個(gè)牧場(chǎng)長(zhǎng)滿(mǎn)青草,牛在吃草而草又在不斷生長(zhǎng)，己知牛27頭,6天把草吃盡，同樣一片

牧場(chǎng),牛23頭,9天把草吃盡。如果有牛21頭,幾天能把草吃盡？

摘錄條件：

27頭6天原有草+6天生長(zhǎng)草

23頭9天原有草+9天生長(zhǎng)草

21頭？天原有草+?天生長(zhǎng)草

解答這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是要抓住牧場(chǎng)青草總量的變化。設(shè)1頭牛1天吃的草為〃1〃,由條件可知,

前后兩次青草的問(wèn)題相差為23X9-27X6=45。為什么會(huì)多出這45呢？這是第一次比第一次多

的那(9-6)=3天生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每天生長(zhǎng)的青草為45+3=15

現(xiàn)從另一個(gè)角度去理解，這個(gè)牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的青草E好可以滿(mǎn)足15頭牛吃。由此，我們可以

把每次來(lái)吃草的牛分為兩組，一組是抽出的15頭牛來(lái)吃當(dāng)天長(zhǎng)出的青草,另一組來(lái)吃是原來(lái)牧場(chǎng)

上的青草,那么在這批牛開(kāi)始吃草之前,牧場(chǎng)上有多少青草呢？

(27-15)X6=72

那么：第一次吃草量27X6=162第二次吃草量23X9=207

每天生長(zhǎng)草量45+3=15

原有草量(27-15)X6=72或162-15X6=72

21頭牛分兩組，15頭去吃生長(zhǎng)的草,其余6頭去吃原有的草那么72+6=12(天)

例3.一水庫(kù)原有存水量一定,河水每天入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽干,6臺(tái)同樣的抽水

機(jī)連續(xù)15天可抽干,若要6天抽干,要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?

摘錄條件：

5臺(tái)20天原有水+20天入庫(kù)量

6臺(tái)15天原有水+15天入庫(kù)量

?臺(tái)6天原有水+6天入庫(kù)量

設(shè)1臺(tái)1天抽水量為〃第一次總量為5X20=100,第二次總量為6X15=90

每天入庫(kù)量(100-90)+(20-15)=2

20天入庫(kù)2X20=40,原有水100-40二60

60+2X6=72724-6=12(臺(tái))

二、鞏固訓(xùn)練

某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)了，每分鐘來(lái)的旅客一樣多，從開(kāi)始檢票到隊(duì)伍消失(還有人在接受檢

票)，若開(kāi)5個(gè)檢票口，要30分鐘,開(kāi)6個(gè)檢票口，要20分鐘。如果要在10分鐘消失,要開(kāi)多少個(gè)檢票口？

解：把每個(gè)檢票口一分鐘檢票量作為1份，則每分鐘來(lái)的旅客為：

(5X30-6X20)+(30-20)=3份開(kāi)始檢票前有旅客：5X30-30X3=60份

所以要10分鐘剪完票,需要看開(kāi)(60+3X10)4-10=9個(gè)

1、畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀(guān)眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀(guān)眾一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)

1-1,9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀(guān)眾到達(dá)的時(shí)間。

解：設(shè)每一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘通過(guò)“1份”人。

每分鐘到來(lái)的人有（27-25）4-（9-5）=0.5份人

開(kāi)門(mén)前已經(jīng)有27-0.5X9=22.5份人

這些人來(lái)到畫(huà)展,用時(shí)間22.520.5=45（分）

第一個(gè)觀(guān)眾到達(dá)的時(shí)間為9點(diǎn)-45分=8點(diǎn)15分

由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天勻速減少。經(jīng)過(guò)計(jì)算,牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天,或者供16頭牛吃6天,

那么這片牧場(chǎng)上的草可供11頭牛吃幾天？

解：20頭牛5天吃草20X5=100（份），16頭牛6天吃草16X6=96（份）

青草每天減少（100-96）+（6-5）=4（份）牧場(chǎng)原有草：100+4X5=120（份）

每天減少4份草,相當(dāng)于4頭牛吃掉，所以120份草可供11+4=15頭牛吃8天。

由于天氣逐漸冷起來(lái),牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大,反而以固定的速度在減少。如果牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天,或

者供15頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃10天？

解：青草每天減少（20X5-15X6）4-（6-5）=10（份）

牧場(chǎng)原有草：100+10X5=15Q（份）150份草10天可供150+10=15（頭）

但每天減少10份,相當(dāng)于10頭牛吃掉,所以只能供牛：15T5（頭）

三、拓展提升

1.自動(dòng)扶梯以均勻的速度由上往下行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，小明每分鐘走20梯級(jí),小紅每分鐘走14

梯級(jí),結(jié)果小明4分鐘到達(dá)樓上，小紅用5分鐘到達(dá)樓上,求扶梯共有多少級(jí)？

解：電梯每分鐘走20X474X5=10（級(jí)）

所以扶梯共有（20+1U）X4=120（級(jí)）

2.兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光的照射,從井頂走向井底，白天往下走,一只蝸牛一個(gè)白天能走20分米，另一只

只能走15分米;黑夜里往下滑,兩只雄牛下滑速度相同,結(jié)果一只蝸牛5晝夜到達(dá)井底，另?只卻恰好用了6晝夜。

問(wèn)井深是多少？

解：蝸牛黑夜下滑的速度為（20X5-15X6）4-（6-5）=10（分米）。

井深：（20+10）X5=150（分米）

3.有三塊草地,面積分別是5公頃，15公頃和24公頃。草地上的苴一樣厚而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供10

頭牛吃3（）天；第二塊草地可供28頭牛吃45天。那么第三塊草地可供多少頭牛吃80天？

解：一頭牛一天吃草量為1份

10X30=3005公頃草量+5公頃30天生長(zhǎng)量

3004-5=601公頃草量+1公頃30天生長(zhǎng)量

28X45=126015公頃草量+15公頃45天生長(zhǎng)量

12604-15=841公頃草