試卷第=page11頁，共=sectionpages5656頁第9講外接球、內切球、棱切球問題一、單選題1．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，找到外接球的球心位置，求出外接球半徑，進而求出表面積.【詳解】如圖所示：其中D為AB的中點，O為外接圓的圓心，，∴O在CD上，且，．，D為AB的中點，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D為AB的中點，．．∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積．故選：B【點睛】三棱錐的外接球問題，要選擇一個特殊的平面，找到球心在這個平面的投影，然后找到球心的位置，利用半徑，設出未知數，列出方程，求出半徑，進而求出表面積或體積.2．（2022·全國·模擬預測（理））直角中，，，D是斜邊AC上的一動點，沿BD將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作，，，，設，則有，從而求解即可.【詳解】作，，，，設，，，．在中，，在中，，．當時最?。O，的外接圓半徑分別為，∴，∴，．∴∴.故選:D．3．（2022·江西·模擬預測（文））如圖所示幾何體ABCDEF，底面ABCD為矩形，，，△ADE與△BCF是等邊三角形，，，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根據題干信息得到各邊長，設出，利用半徑列出方程，求出，進而求出半徑，外接球表面積.【詳解】連接AC，BD交于點O，過O點作平面ABCD，交EF與M.因為四邊形ABCD為長方形，所以外接球的球心在OM直線上，設為外接球的球心，取AD，BC的中點分別為G，H，連接EG，F(xiàn)H，因為，，可得，因為，為等邊三角形，所以，因為，，所以平面EFHG，因為，所以，，所以，，因為，所以EF到平面ABCD的距離為，設，則，所以，，所以，即，解得:，所以，所以.【點睛】立體幾何中的外接球問題，要能畫出圖形，找到球心和球心在某些特殊平面上的投影，利用半徑建立方程，求出半徑，再求解表面積或體積.4．（2022·河南·高三階段練習（理））在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據題意畫出簡圖，通過作圖分析出幾何體外接球的球心位置，算出半徑，即可求出表面積.【詳解】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點.在中，，D為AC的中點，因為，所以，則.因為二面角是150°，所以，所以，.因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以.設為外接圓的圓心，則.設三棱錐外接球的球心為O，因為，所以O在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.5．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知三棱錐S－ABC中，∠BAC=，SB⊥AB，SC⊥AC，SB=SC=3，，三棱錐體積為，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（

）A．5π B．20π C．25π D．100π【答案】C【解析】【分析】觀察△SBA、△SCA均為直角三角形，得到點P為三棱錐S－ABC外接球的球心，且棱錐P－ABC為正三棱錐，可以通過設高|PO|結合求得底面正△ABC的邊長a，從而得到外接球半徑|PA|，最后求得表面積．【詳解】解：如圖，取SA中點P，SB⊥AB，SC⊥AC，則△SBA，△SCA均為直角三角形，PA=PB=PC=PS，即點P為三棱錐S－ABC外接球球心，PA即為外接球半徑，又SB=SC，故AB=AC且為等邊三角形又PA=PB=PC三棱錐P－ABC為正三棱錐；作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OA則O為△ABC的外心，設正三角形ABC的邊長為a，則，即，外接球表面積為，故排除A；∴，故排除D；若，則，代入方程不成立，故排除B；若，則，代入方程成立，所以C正確，故選：C6．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，點N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點．（

）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點，且，則【答案】D【解析】【分析】A選項由線面垂直證得CM⊥BM，CM⊥AM，進而由點P與點M重合時即可判斷；B選項利用內切球求得即可判斷；C選項找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷；D選項由空間向量的線性運算即可判斷.【詳解】易得，又，則面，又面，則，同理可得，，則CM⊥平面ABD，又平面，所以CM⊥BM，CM⊥AM．則當點P與點M重合時，取得最小值，又，則最小值為，A錯誤．在正四面體ABCD中，因為DP⊥平面ABC，易得在上，所以，又點N，M也是和的內心，則點P為正四面體ABCD內切球的球心．，．設正四面體ABCD內切球的半徑為r，因為，所以，解得，即，故，B錯誤．設三棱錐P－ABC外接球的球心為O，半徑為R，易得球心在直線上，且，則，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，C錯誤．若F為線段EN的中點，則，．設，則．因為，所以設，則解得故，D正確.故選：D.7．（2022·全國·高一單元測試）已知在矩形中，將沿對角線所在的直線進行翻折，在三棱錐中，一定不成立的是（

）A．為銳角B．C．平面D．三棱錐外接球的體積不變【答案】C【解析】【分析】A由翻折過程中，結合余弦定理即可判斷；B當時應用線面垂直的判定及性質可判斷；C應用反證法，由平面可得有矛盾；D由，根據球體體積公式判斷.【詳解】在矩形中，設、，連接交于點，翻折后，，∴一定為銳角，A成立，當時，、，，∴平面，又平面，∴，B成立，若平面，平面，則，所以為直角，與與一定不垂直矛盾，C不成立，∵，∴點為三棱錐外接球的球心，外接球的直徑為，∴在翻折過程中外接球的體積不變，D成立.故選：C.8．（2022·全國·模擬預測）已知四邊形為菱形，且，現(xiàn)將沿折起至，并使得與平面所成角的余弦值為，此時三棱錐外接球的體積為，則該三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設，在三棱錐中，取的中點，連接，過點在平面內作，垂足為點，連接，推導出點為正的中心，可得出三棱錐是邊長為的正四面體，可求得該正四面體外接球半徑，結合球體體積公式可求得的值，由此可求得正四面體的表面積.【詳解】在菱形中，，設，則和均為邊長為的正三角形．將折起后，，取的中點，連接、，如圖．因為，則，，又因為，平面，過點在平面內作，垂足為點，連接，平面，則，又因為，，平面，平面，，所以，直線與平面所成角為，在中，，所以，．在中，，，所以，則，因此點為正的中心，所以三棱錐是棱長為的正四面體．將正四面體補成正方體，則正方體的棱長為，所以，三棱錐外接球半徑為，三棱錐外接球的體積為，解得，因此，正四面體的表面積為.故選：B.【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.9．（2022·廣東佛山·三模）已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，平面平面，且為等邊三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】取側面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個平面的垂線交于點O，得到點O即為該球的球心，取線段的中點E，得到四邊形為矩形，分別求得，結合球的截面圓的性質，即可求解.【詳解】如圖所示，在四棱錐中，取側面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個平面的垂線交于點O，則由外接球的性質知，點O即為該球的球心，取線段的中點E，連，，，，則四邊形為矩形，在等邊中，可得，則，即，在正方形中，因為，可得，在直角中，可得，即，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：B.10．（2022·吉林吉林·模擬預測（文））半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數學的對稱美．二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則下列說法錯誤的是（

）A．該幾何體外接球的表面積為B．該幾何體外接球的體積為C．該幾何體的體積與原正方體的體積比為2：3D．該幾何體的表面積比原正方體的表面積小【答案】C【解析】【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積與表面積，對選項逐一判斷【詳解】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1，外接球的表面積為，體積為，故A，B正確對于C，該幾何體的體積，正方體體積為，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為，故C錯誤，對于D，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，故D正確故選：C11．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校模擬預測（理））直角中，是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】如圖，過點作交延長線于，過點作交于，再作，使得與交于點，設，進而得，，，故，當且僅當時等號成立，再根據題意，以為坐標原點，以的方向為正方向建立空間直角坐標系，設四面體的外接球的球心為，進而利用坐標法求球心坐標，進而求出四面體外接球的半徑，表面積.【詳解】解：根據題意，圖1的直角三角形沿將翻折到使二面角為直二面角，所以，過點作交延長線于，過點作交于，再作，使得與交于點，所以，由二面角為直二面角可得，設，即，則，因為，所以，所以，在中，，在中，，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，此時，，，，在圖1中，由于，即為角的角平分線，所以，即，所以，所以，，由題知，兩兩垂直，故以為坐標原點，以的方向為正方向建立空間直角坐標系，則，所以，設四面體的外接球的球心為，則，即，即，解得，，即，所以四面體的外接球的半徑為

，所以四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查空間幾何折疊問題中的距離最值問題，幾何體的外接內切問題，考查空間想象能力，運算求解能力，是難題.本題解題的關鍵在于由二面角為直二面角構造輔助線（過點作交延長線于，過點作交于，再作，使得與交于點），進而通過表示，空間幾何體的外接球的半徑的求解利用坐標法求解即可.12．（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱錐中，，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本題結合球的基本性質可知：過三棱錐其中兩個面的三角形的外接圓圓心，作該面的垂線，兩條垂線的交點即為三棱錐的球心，結合三角形的相關知識分析求得三棱錐的外接球的半徑．【詳解】如圖、分別為Rt△PAC、△ABC的外接圓圓心，作平面PAB，平面ABC，則O為三棱錐的外接球的球心．在△ABC中，，即，可得：．由正弦定理可得：，即，又∵為線段AC的中點，則可得，且，∴二面角的大小的平面角即為∠，則∠．∴三棱錐的外接球的半徑R=，則三棱錐的外接球體積為V=．故選：Ａ．13．（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級中學模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意，將三棱錐放入對應的長方體中，根據已知條件建立關于長方體的長?寬?高的邊長a，b，c的方程組，求解得，進而可得外接球的直徑即為長方體的體對角線長，從而根據球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對應的長方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設長方體的長?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.14．（2022·全國·模擬預測）已知點P、A、B、C是球O的球面上的四個點，PA、PB、PC兩兩垂直且長度均為，M是AP的中點，記過點M與平面ABC平行的平面，則球O被平面截得的截面面積等于(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據PA、PB、PC兩兩垂直且長度均為可求球O的半徑.連接OP，交平面ABC于點E，交平面于點F，根據正方體的幾何性質可求OE、PE、PF，從而可求OF，于是可求截面圓的半徑和面積．【詳解】∵PA、PB、PC兩兩垂直且長度均為，∴球O為棱長是的正方體的外接球，設球的半徑為R，則．連接OP，交平面ABC于點E，交平面于點F，則OP為正方體體對角線的一半，則易證平面ABC，則平面，，易知△ABC為等邊三角形，E為△ABC的中心，CE=，OE=，∵M是AP的中點，平面∥平面，∴，，即球心O到平面的距離為2，∴截面圓的半徑，∴截面面積為．故選：A．15．（2022·四川成都·三模（理））已知三棱臺的六個頂點都在球O的球面上，，和分別是邊長為和的正三角形，則球O的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分別求出正三棱臺的上下兩個底面的外接圓的半徑，然后由球的性質得：，，解出，即可求得球O的體積.【詳解】設點，分別是正，的中心，球的半徑為，且，，三點共線，正三棱臺的高為，在等邊中，由，由正弦定理可得：，得，在等邊中，由，由正弦定理可得：，得，如下圖，過點作，則在三角形中，，所以，所以正三棱臺的高為3，在中，，即，在中，，即，兩式解得：，所以球O的體積為：.故選：B.16．（2022·四川省宜賓市第四中學校三模（理））函數，設球O的半徑為，則（

）A．球O的表面積隨x增大而增大 B．球O的體積隨x增大而減小C．球O的表面積最小值為 D．球O的體積最大值為【答案】D【解析】【分析】設函數，利用導數判斷其單調性，從而判斷的單調性，進而判斷球O的半徑的單調性，由此可判斷A,B,結合單調性可求得球的表面積以及體積的最值，判斷C,D.【詳解】令，則，故函數，，即為單調增函數，而在上遞增，在上遞減，故在上遞增，在上遞減，又在上遞增，在上遞減，且是正值，也是正值，故在上遞增，在上遞減，即球O的半徑在上遞增，在上遞減，故A，B錯誤；由以上分析可知當時，球O的半徑取到最大值為，故球O的表面積最大值為，無最小值，故C錯誤；同時球O的體積最大值為，故D正確；故選：D【點睛】本題將球的相關計算和導數綜合在一起考查，綜合性較強，考查綜合分析，解決問題的數學素養(yǎng)以及能力，解答的關鍵是要判斷球的半徑的變化規(guī)律，也就是要結合導數判斷復合函數的單調性.二、多選題17．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知在平行四邊形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A點變?yōu)?，則（

）A．B．三棱錐體積的最大值為C．當時，三棱錐的外接球的半徑為D．當時，【答案】ACD【解析】【分析】A選項，利用余弦定理進行求解；B選項，先得到當平面平面BCD時，三棱錐的體積最大，利用等體積法求出點到平面BCD的距離，從而求出最大體積；C選項，對棱相等的三棱錐可補形為長方體，求出長方體的體對角線的一半即為外接球半徑，設出長方體的長寬高，列出方程組，進行求解；D選項，由余弦定理進行求解.【詳解】對于選項A，由余弦定理得，∴，故選項A正確；對于選項B，當平面平面BCD時，三棱錐的體積最大，設此時點到平面BCD的距離為h，則，解得：∴三棱錐體積的最大值，故選項B錯誤；對于選項C，當時，把三棱錐補成一個長方體，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，設長方體的三條棱長分別為x，y，z，外接球的半徑為R，則，∴，解得，故選項C正確；對于選項D，由，且，得，故選項D正確．故選：ACD【點睛】對于對棱相等的三棱錐的外接球問題，要將此三棱錐的棱長對應某一個長方體的面對角線，此時長方體的外接球即為次三棱錐的外接球.18．（2022·全國·高三專題練習）已知梯形，，，，是線段上的動點；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項中正確的是（

）A．不論何時，與都不可能垂直B．存在某個位置，使得平面C．直線與平面所成角存在最大值D．四面體的外接球的表面積的最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用反證法可判斷AB選項的正誤；分別取、的中點、，連接、，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷C選項的正誤；設四面體的外接球心為，求出四面體外接球半徑的最小值，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，在梯形中，，，，，且，則，因為，由余弦定理可得，，，若，且，平面，平面，，事實上，矛盾，故不論何時，與都不可能垂直，A選項正確；對于B選項，若平面，平面，則，所以，，而，，即，則、、無法構成三角形，不合乎題意，B選項錯誤；對于C選項，分別取、的中點、，連接、，則，，，則，，為的中點，則，，故平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，，設三棱錐的球心為，由可得，解得，設三棱錐的外接球半徑為，則，當且僅當時，等號成立，因此，四面體的外接球的表面積的最小值為，D選項正確.對于C選項，設，，易知平面的一個法向量為，，而，即當時，無最大值，進而可知直線與平面所成角無最大值，C選項錯誤.故選：AD.【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.19．（2022·遼寧·模擬預測）在三棱錐中，底面ABC是等邊三角形，，點H為的垂心，且側面MBC，則下列說法正確的是（

）A．B．平面ABHC．MA，MB，MC互不相等D．當三棱錐的體積最大時，其外接球的體積為【答案】AB【解析】【分析】對于A，延長MH交BC于點D，連接AD，由線面垂直的性質可判斷；對于B，連接BH并延長交MC于點E，連接AE，由線面垂直的判定可判斷；對于C，過M作，垂足為O，則平面ABC，延長CO交AB于點F，連接MF，可得，由此可判斷；對于D，由三棱錐為正三棱錐，得時，的面積最大，平面MBC時，三棱錐的體積最大，將三棱錐補成正方體，求得三棱錐的外接球半徑R，由球體的體積公式計算可判斷．【詳解】解：對于A，如圖，延長MH交BC于點D，連接AD，因為H為的垂心，則，又平面MBC，平面MBC，所以，又，所以平面MAD，又平面MAD，所以，A項正確；對于B，因為，又為等邊三角形，所以D為BC的中點，連接BH并延長交MC于點E，連接AE，則，因為平面MBC，平面MBC，所以，又，所以平面ABH，B項正確；對于C，因為平面ABE，所以，過M作，垂足為O，則平面ABC，又平面ABC，所以，延長CO交AB于點F，連接MF，因為，所以平面MCF，因為MF，平面MCF，則，，得，所以，C項錯誤；對于D，因為三棱錐為正三棱錐，當時，的面積最大，當平面MBC時，三棱錐的體積最大，將三棱錐補成正方體，此時正方體的體對角線長即為三棱錐的外接球的直徑，設三棱錐的外接球直徑為2R，則，即，因此三棱錐的外接球的體積，D項錯誤．故選：AB．三、雙空題20．（2022·山東·煙臺二中模擬預測）已知等邊的邊長為2，將其繞著BC邊旋轉角度，使點A旋轉到位置．記四面體的內切球半徑和外接球半徑依次為r，R，當四面體的表面積最大時，______，______．【答案】

##【解析】【分析】先判斷出當時四面體的表面積最大，即可求得；先求出表面積，再得到的中點O為四面體的外接球球心，即可求得，再求出四面體的體積，由即可求得，即可求解.【詳解】易得的面積為定值，又，顯然當時，此時面積最大，即四面體的表面積最大，此時；當四面體的表面積最大時，易知四面體的表面積最大值為，設的中點為O，易知，∴，即O為四面體的外接球球心，∴四面體的外接球半徑，∵，且，∴，∴，由，平面，，可得平面，∴四面體的體積為，又，∴，解得，∴.故答案為：；．21．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校高三階段練習（理））正方體的棱長為2，動點在對角線上，過點作垂直于的平面，記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為，設.（1）下列說法中，正確的編號為________．①截面多邊形可能為四邊形；②；③函數的圖象關于對稱.（2）當時，三棱錐的外接球的表面積為_________．【答案】

②③

【解析】【分析】（1）連接，證明平面，探討x取值范圍所對應截面形狀及的表達式即可求解作答.（2）點P為中點，利用球面的性質求出三棱錐的外接球半徑即可計算作答.【詳解】（1）在正方體中，連接，如圖，平面，平面，則，，平面，因此，平面，平面，，同理，而，平面，則平面，連接，同理平面，又，當平面為平面時，，解得，當平面為平面時，，當或時，平面與正方體共點的三個面相交，截面為三角形，當時，平面截正方體所得截面為正，令，由得：，解得，則，當時，同理得，當時，平面與正方體的六個面相交，截面為六邊形，令，則，有，因此，平面截正方體所得截面為三角形或六邊形，①不正確；，，②正確；顯然，有恒成立，函數的圖象關于對稱，③正確.（2）當時，點P為中點，令，連，顯然平面，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心為點O，此小圓半徑為，則有三棱錐的外接球球心在直線上，設球半徑為r，而，球心到平面的距離，于是有：，即，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：②③；【點睛】關鍵點睛：幾何體的外接球的表面積、體積計算問題，借助球的截面小圓性質確定出球心位置或者球半徑是解題的關鍵.22．（2022·江蘇連云港·模擬預測）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，側面PAB是等邊三角形，側面底面ABCD，，若四棱錐存在內切球，則內切球的體積為_______，此時四棱錐的體積為_______．【答案】

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【解析】【分析】過點P作出四棱錐的內切球截面大圓，確定球半徑表達式，再借助四棱錐體積求出球半徑計算作答.【詳解】取AB中點M，CD中點N，連接PM，PN，MN，如圖，因是正三角形，則，又ABCD是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，即有，，平面，有平面，平面，，而，則，顯然，由球的對稱性及四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內切球O得截面大圓，此圓是的內切圓，切MN，PM分別于E，F(xiàn)，有四邊形為正方形，令，而，，則球半徑，四棱錐的表面積為，由得：，整理得：，即，解得，因此，，內切球的體積，四棱錐體積.故答案為：；【點睛】結論點睛：一個多面體的表面積為S，如果這個多面體有半徑為r的內切球，則此多面體的體積V滿足：.23．（2022·全國·高三專題練習）定義：若，，，為球面上四點，，分別是，的中點，則把以為直徑的球稱為，的“伴隨球”已知，，，是半徑為的球面上四點，，則，的“伴隨球”的直徑取值范圍為______；若，，，不共面，則四面體體積的最大值為______．【答案】

4【解析】【分析】設為所在球面的球心，則由題可知E、F均是以O為球心，1為半徑的球面上的點，據此即可求出EF范圍；根據(d為點到平面距離，)，求出的最大值即可得體積最大值.【詳解】解：設為，，，所在球面的球心，．，且，分別是，的中點，，，且，，則、均是以為球心，為半徑的球面上的點，若以為直徑作球，則，即，的伴隨球的直徑取值范圍是；是中點，，為點到平面距離，，又，為點到距離，，，當且僅當，，三點共線，且時，等號成立．故答案為：；．【點睛】本題關鍵是根據已知條件確定E和F的軌跡，數形結合可得EF的范圍；根據E是AB中點，則A與B到平面CDE的距離相等，據此將三棱錐A－BCD的體積轉化為三棱錐A－CDE體積的2倍，再數形結合即可求得最值.對空間想象能力的要求很高，屬于難題.四、填空題24．（2022·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】取的中點，連接，，過點A作，垂足為，設，利用三角形的邊角關系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可．【詳解】取的中點，連接，，過點A作，交DE的延長線于點，所以為二面角的平面角，設，則，，所以，所以，EH=，因為三棱錐的體積為，所以，解得：，，設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點O作OF⊥AH于點F，則，，，，設，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應用，解題的關鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結論可以找到外接球的球心，25．（2022·河南·高三開學考試（理））如圖，在中，，，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面．若，則三棱錐外接球的表面積是________．【答案】【解析】【分析】先利用角平分線及求出各邊長，進而找到球心及球心在平面BCD上的投影，利用半徑相等列出方程，求出半徑，進而求出外接球表面積.【詳解】過點作，連接.設，則，，．在中，由余弦定理可得．因為平面平面，交線為CD，所以平面，因為BE平面BCD，所以，則，解得：，從而．在中，由余弦定理可得．因為CD是∠ACB的角平分線，所以，由正弦定理得：，，而，所以，．因為，且，所以．設外接圓的圓心為，半徑為r，則，點到直線的距離．設三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，則，即，解得：，故三棱錐外接球的表面積是．【點睛】三棱錐的外接球問題，需要先找到球心在一個平面上的投影，即三角形的外心，進而利用半徑相等列出等量關系，求出答案.26．（2022·重慶·模擬預測）在三棱錐中，，，異面直線PA，BC所成角為，，，則該三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，求出半徑，利用外接球表面積公式進行求解，注意存在兩種情況，需要分類討論..【詳解】過點A作AD∥BC，過點C作CD∥AB，AD與CD相交于點D，連接PD，因為AB⊥BC，所以AD⊥CD，又，所以四邊形ABCD為正方形，所以CD=AD=4，異面直線PA，BC所成角為∠PAD，所以或，因為AB⊥BC，所以AB⊥AD，又因為，，所以AB⊥平面PAD，因為平面PAD，所以AB⊥PD，故，因為PC=8，由勾股定理得：，當時，如圖，在△PAD中，由余弦定理得：，解得：，則，所以，因為，所以PD⊥平面ABCD，取PB中點O，對角線AC，BD相交于點E，則E為BD中點，連接OE，則OE∥PD，所以OE⊥平面ABCD，則點O即為該三棱錐外接球的球心，其中，EB=，由勾股定理得：，即半徑，外接球表面積為.當時，如圖，在△PAD中，由余弦定理得：，解得：，則過點P作PN⊥AD交DA的延長線于點N，則∠PAN=，故，，因為AB⊥平面PAD，平面PAD，所以AB⊥PN，因為，所以PN⊥平面ABCD，對角線AC，BD相交于點E，根據△ABC為直角三角形，AC為斜邊，故E為球心O在平面ABC的投影，即OE⊥平面ABCD，過點O作OM⊥PN于點M，連接EN，OP，OC，則OM=EN，OE=MN，OC=OP且為外接球半徑，其中，由余弦定理得：，設OE=MN=h，由勾股定理得：，即，解得：，代入上式，解得，即半徑，外接球表面積為.故答案為：【點睛】對于求解立體幾何的外接球問題，需要先找到球心的位置，結合立體幾何的特征來求解，比如棱柱和圓柱的外接球球心在其中心位置，而稍微難一些的棱柱的外接球問題，需要先找到一個特殊的平面，找到球心在這個平面的投影，再找到球心的位置，結合題干條件求出半徑即可.27．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐中，為邊長為3的等邊三角形，，，且面面，則三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】【解析】【分析】根據面面垂直的性質定理得出DC⊥平面ABC，進而找到三角形ABC的外心O1與三角形BCD的外心O2，然后過O1作平面ABC的垂線，過O2作平面BCD的垂線，兩條垂線的交點即為外接球心，最后解出答案.【詳解】如圖，因為平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，而DC⊥BC，所以DC⊥平面ABC，取正三角形ABC的外心（也為重心）O1，過O1引平面ABC的垂線，取直角三角形BCD的外心O1，則O1為BD中點，過O2引平面BCD的垂線，設兩條垂線交于O，則O為三棱錐的A-BCD的外接球心.取BC中點D，連接AO1,OO2,O2D,O1D，因為分別為的中點，所以∥DC，且，所以平面ABC，因為平面ABC，所以∥.易知三點共線，且AD⊥BC，又因為平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，所以AD⊥平面BCD，而OO2⊥平面BCD，所以O1D∥OO2，于是四邊形是矩形，且.連接，在正三角形ABC中，其邊長為3，所以，由勾股定理：外接球半徑，所以外接球體積.故答案為：.【點睛】多面體外接球心比較常見的一種找法是選取多面體的兩個特殊面（通常為等邊三角形、等腰三角形和直角三角形），然后找到兩個面的外心，進而通過外心引各自所在面的垂線，垂線的交點即為球心，然后構造幾何圖形求出外接球半徑即可，本題比較典型，可以作為范題進行總結.28．（2022·江蘇·高三專題練習）在長方體中，，，點在正方形內，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】先由平面，得出點為正方形對角線的交點，再由正方體中是等腰直角三角形，設是中點，則是的外心，取是中點，則三棱錐的外接球的球心在直線上，計算出和后得在的延長線上，求得球半徑后可得表面積．【詳解】解：如圖所示：平面，連接，又為正方形，點為正方形對角線的交點，則是等腰直角三角形，是直角頂點，設是中點，則是的外心，取是中點，則，而平面，平面，三棱錐的外接球的球心在直線上，由已知可計算，，在的延長線上，設，則由得，解得，，外接球表面積：．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求球的表面積，關鍵是確定球心位置求得球半徑．利用三棱錐的性質可得球心位置，三棱錐外接球心一定在過各面外心且與該面垂直的直線上．29．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（文））在三棱錐中，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】由條件可知和為以為斜邊的直角三角形，則的中點為外接球的球心.過做平面，垂足為，由三棱錐的體積可求出高，根據三角形全等可證明在的角平分線上，即，由線面垂直的定理可知，從而可計算，勾股可知的長，從而計算外接球的半徑和表面積.【詳解】因為，所以和為以為斜邊的直角三角形，則的中點到各個頂點的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因為，，所以，則，則故外接球的表面積為.故答案為：30．（2022·浙江師范大學附屬中學高一期末）在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，且平面底面，，，則該三棱錐的外接球表面積為______．【答案】【解析】【詳解】如圖，是三棱錐外接球的球心，是外接圓的圓心，由球的性質可得平面；又平面平面，取的中點，連接，又是邊長為2的等邊三角形，故且,又平面平面，平面，平面，，連結過點作所以四邊形是平行四邊形，；在中，由正弦定理可得即：設三棱錐外接球的半徑為在中，故在中，且是的中點，故在中，故在中，故兩邊平方得：解得：所以三棱錐外接球的表面積為故答案為：31．（2022·云南曲靖·二模（文））已知三棱錐三條側棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且，M，N分別為該三棱錐的內切球和外接球上的動點，則M，N兩點間距離的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】將三棱錐補成正方體，計算出內切球的半徑以及點到平面的距離，即可求得、兩點間距離的最小值.【詳解】由已知可將該三棱錐補成正方體，連接，如圖所示.設三棱錐的內切球球心為，外接球球心為，內切球與平面的切點為，易知、、三點均在上，在正方體中，平面，平面，，因為四邊形為正方形，則，，平面，平面，則，同理可證，，平面，設內切球的半徑為，外接球的半徑為，則.由等體積法可得，即，由等體積法可得，得，、兩點間距離的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將三棱錐置入正方體中，數形結合得到外接球和內切球半徑，是一道有一定難度的題.32．（2022·河南·商丘市第一高級中學高一期中）已知正三棱錐，球O與三棱錐的所有棱相切，則球O的表面積為_________．【答案】##【解析】【分析】畫出圖形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半徑，求出表面積【詳解】取等邊△ABC的中心E，連接SE，則SE⊥平面ABC，連接AE并延長，交BC于點D，則D為BC中點，且AD⊥BC，在SE上找到棱切球的球心O，連接OD，則OD即為棱切球的半徑，過點O作OF⊥SA于點F，則OF也是棱切球的半徑，設，因為，所以求得，由勾股定理得：，且∠ASE=30°，設OE=h，，SO=3-h，，由題意得：，解得：或，當時，，此時球O的表面積為；當棱切球的半徑最大時，切點為A，B，C，由于∠ASE=30°，，可求得最大半徑，而當時，，顯然不成立，故舍去，綜上：球O的表面積為故答案為：【點睛】對于立體幾何中內切球，外接球或棱切球問題，要畫出圖形，找到球心和球心在一些特殊平面的投影，利用半徑列出方程，求出半徑，從而求出體積或表面積.33．（2022·全國·模擬預測）已知三棱錐的四個頂點在球O的表面上，，，，．若三棱錐的體積為，則球的表面積為__________．【答案】或【解析】【分析】為中點，連接，根據已知條件可知外接球的球心在過垂直于面的直線上，并求得到面的距離，應用線面垂直、面面垂直判定可得面面，則有在面上的射影落在直線上，進而可得、兩種情況，分別求出外接球半徑，即可求其表面積.【詳解】由，，則△為等腰直角三角形，若為中點，連接，則，且為面的外接圓圓心，所以外接球的球心在過垂直于面的直線上，由三棱錐的體積為，且，故到面的距離，又，，則面，又面，所以面面，且面面，則在面上的射影落在直線上，又，則或，若外接球的半徑為，，當，如下圖示：，，易知，則，所以，可得，即，所以，此時外接球表面積為；當，如下圖示：，，易知，所以，可得，即，所以，此時外接球表面積為；綜上，外接球表面積為或.故答案為：或【點睛】關鍵點點睛：由底面是等腰直角三角形確定棱錐球心的位置，根據體積求到面的距離，結合判斷的位置情況，根據已知條件求出外接球半徑.34．（2022·江西撫州·高二階段練習（理））勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是___________．①勒洛四面體被平面截得的截面面積是②勒洛四面體內切球的半徑是③勒洛四面體的截面面積的最大值為④勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】③④【解析】【分析】求出勒洛四面體被平面截得的截面面積判斷①，③；求出勒洛四面體內切球的半徑判斷②，④作答.【詳解】觀察幾何體知，勒洛四面體的最大截面是經過正四面體的任意三個頂點的平面截勒洛四面體而得，勒洛四面體被平面截得的截面是正及外面拼接上以各邊為弦的三個弓形，弓形弧是以正各頂點為圓心，邊長為半徑且所含圓心角為的扇形弧，如圖，因此，截面面積為：，①不正確，③正確；由對稱性知，勒洛四面體內切球球心是正四面體的內切球、外接球球心，如圖，正外接圓半徑，正四面體的高，令正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內切球半徑為，②不正確，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切，即為勒洛四面體內切球，所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，④正確.故答案為：③④【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質求解.35．（2022·江西·新余市第一中學模擬預測（理））以為底的兩個正三棱錐和內接于同一個球，并且正三棱錐的側面與底面所成的角為45°，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則__________【答案】##【解析】【分析】作圖后由二面角的定義與勾股定理，列方程求出正三棱錐高與球的半徑