河北省承德第一中學(xué)2024--2025學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)4月份月考試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在的展開式中，的系數(shù)是（）A.10 B.20 C.60 D.802.函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為（）A. B. C. D.3.在數(shù)列中，若，，則（）A.2 B. C. D.14.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A.3 B. C.6 D.5.化簡結(jié)果為（）A. B. C. D.6.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，若在處取得極小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）．A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法10.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝S5，S6＝21，若＋＋…＋<λ恒成立，則λ的值不可以是()A.1 B.0 C.－1 D.211.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.在楊輝三角中，三角形的兩個(gè)腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，這個(gè)三角形開頭幾行如圖，則第9行從左到右的第3個(gè)數(shù)是________；若第n行從左到右的第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為，則n＝________.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行1464113.用4種不同顏色的顏料給圖中五個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有______種.14.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題13分）在的展開式中，（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合.（3）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；16.(本小題15分）已知函數(shù)f(x)＝x2＋2alnx－(a＋2)x.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g(x)＝f(x)＋ax＋x3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．17.(本小題15分）已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列前項(xiàng)和為；（3）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(本小題17分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）求函數(shù)的極值.（3）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(本小題17分）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）若在x=0處的切線與直線y=ax垂直，求a的值；（2）討論函數(shù)單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．參考答案：1.【答案】D【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以，所以項(xiàng)的系數(shù)為.2.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.3.【答案】C【解析】因?yàn)?，，故，，，故?為周期的周期數(shù)列，而，故，4.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以，所以，5.【答案】D【解析】，6.【答案】C【解析】，設(shè)函數(shù)任意一點(diǎn)∵所以在點(diǎn)處切線的斜率為，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，∴，又∵，∴．7.【答案】A【解析】由題意得：由可得，或，若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即在和上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)都不成立.當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，故取值范圍是.8.【答案】D【解析】由，可得，由曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，可知故有，設(shè)，則，可知當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；，當(dāng)，由題意，有兩個(gè)不同的解，即與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.9.【答案】BCD【解析】對(duì)A：甲、乙、丙站前排，所以全排列有種排法，丁、戌站后排，全排列有種排法，所以共有種排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，則甲、乙兩人有一種排法，然后將甲、乙看作一個(gè)元素，則5人一共有4個(gè)元素，則全排列共有種排法，故B正確；對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，則先從除甲以外的四人中選2人先排在兩端，有種排法，再排中間三個(gè)位置，共有種排法，所以一共有種排法，故C正確；對(duì)D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.10.【答案】BC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)镾4＝S5，所以4a1＋d＝，整理得12a1＋18d＝10a1＋20d，即a1＝d，由S6＝21，可得6a1＋d＝21，即6a1＋15d＝21，所以a1＝d＝1，所以Sn＝n＋n(n-1)2＝，所以＝＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，因?yàn)椋?lt;λ恒成立，所以λ≥1.11.【答案】BC【解析】根據(jù)所給的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則時(shí)，為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在單調(diào)遞增，所以，即，所以，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，故，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，故，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由B，D選項(xiàng)知，，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.12.【答案】3627【解析】依題意，得第9行從左到右的第3個(gè)數(shù)是C＝＝36.∵第n行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為，∴＝，即＝＝，解得n＝27.13.【答案】72【解析】用3種顏色涂色，1和5同色，2和4同色，有種涂法，用4種顏色涂色，1和5同色或2和4同色，有種涂法；綜上所述：共有種涂法.14.【答案】【解析】定義域?yàn)?，函?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即在上有兩解，故有兩個(gè)不同的根，令，與兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，從而在處取得極大值，也是最大值，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，畫出的圖象如下：顯然要想，與兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，需要滿足.15.【答案】解：（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，，二項(xiàng)式系數(shù)最大為，即為中間項(xiàng)，；（2），，當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以取值集合為；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則，所以，解得，故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第項(xiàng)和第項(xiàng).16.【答案】解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋2lnx－3x(x>0)．所以f′(x)＝x＋－3＝＝.令f′(x)>0，則0<x<1或x>2，令f′(x)<0，則1<x<2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)．(2)存在a∈滿足題意．理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝f(x)＋ax＋x3＝x2＋2alnx－2x＋x3，x>0，所以g′(x)＝x＋－2＋x2.要使函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g′(x)＝x＋－2＋x2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即4x3＋3x2－6x＋6a≥0，即a≥－在(0，＋∞)上恒成立．令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，則h′(x)＝2x2＋x－1＝(2x－1)(x＋1)，所以當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)<0，h(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)>0，h(x)在上單調(diào)遞增．所以x＝是h(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且h＝－，所以－在(0，＋∞)上的最大值為，所以a≥.所以存在a∈，滿足題意．17.【答案】解：（1）根據(jù)題意，由于，則①；又有，，成等比數(shù)列，則②，聯(lián)立①②且，解得，，則，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)椋?，則；（3）因?yàn)椋寓?，④，則③-④得，綜上可知.18.【答案】解：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，令，則；令0，則,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，無極大值.(3)因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，而，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，，則，所以在單調(diào)遞增，且，所以.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.【答案】解：（1），則，由已知，解得；（2）.（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，①時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單