第1頁/共1頁2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學匯編概率（人教B版）一、單選題1．（2025北京平谷高二上期末）某學校高二趣味運動會中設置了障礙投籃比賽，每名運動員投籃3次.已知甲同學投籃命中率為，那么投籃比賽中甲同學恰好命中一次的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024北京東城高二上期末）線上支付已成為當今社會主要的支付方式，為了解某校學生12月份A，B兩種支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，對樣本中僅用一種支付方式及支付金額的人數(shù)情況統(tǒng)計如下：支付金額（元）支付方式大于1000僅使用A20人8人2人僅使用B10人6人4人從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024北京二十四中高二上期末）某比賽為甲、乙兩名運動員制定下列發(fā)球規(guī)則，規(guī)則一：投擲1枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則二：從裝有質地均勻的2個紅球與2個黑球的布袋中隨機取出2個球，如果同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則三：從裝有質地均勻的3個紅球與1個黑球的布袋中隨機取出2個球，如果同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球．則對甲、乙公平的發(fā)球規(guī)則是（

）A．規(guī)則一和規(guī)則二 B．規(guī)則二和規(guī)則三C．規(guī)則一和規(guī)則三 D．只有規(guī)則一4．（2024北京五十五中高二上期末）12月4日20時09分，神舟十四號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，神舟十四號載人飛行任務取得圓滿成功.經歷了120天全生命周期的水稻和擬南芥種子，也一起搭乘飛船返回艙從太空歸來.我國在國際上首次完成水稻“從種子到種子”全生命周期空間培養(yǎng)實驗，在此之前國際上在空間只完成了擬南芥、油菜、豌豆和小麥“從種子到種子”的培養(yǎng).若從水稻、擬南芥、油菜、豌豆和小麥這5種種子中隨機選取2種，則水稻種子被選中的概率為（

）A． B． C． D．5．（2023北京平谷高二上期末）一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4．從袋中隨機抽取兩個球，那么取出的球的編號之和不大于4的概率為（

）A． B． C． D．6．（2023北京東城高二上期末）拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，將第一次得到的點數(shù)記為，第二次得到的點數(shù)記為，那么事件“”的概率為（

）A． B． C． D．7．（2023北京東城高二上期末）2021年9月17日，北京2022年冬奧會和冬殘奧會主題口號正式對外發(fā)布——“一起向未來”（英文為：“TogetherforaSharedFuture”），這是中國向世界發(fā)出的誠摯邀約，傳遞出14億中國人民的美好期待.“一起向未來”的英文表達是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出現(xiàn)頻數(shù)統(tǒng)計如下表：字母togehrfasdu頻數(shù)32142422112合計頻數(shù)為24，那么字母“”出現(xiàn)的頻率是（

）A． B． C． D．8．（2023北京順義高二上期末）拋擲兩顆質地均勻的正方體骰子，記下骰子朝上面的點數(shù)．設“兩個點數(shù)之和等于8”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為5”，則事件的概率是（

）A． B． C． D．9．（2023北京順義高二上期末）已知甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶概率為0.8，乙中靶概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立．若甲、乙各射擊一次，則兩人都中靶的概率為（

）A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.9410．（2024北京一六六中高二上期末）北京中軸線是世界城市建設歷史上最杰出的城市設計范例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個重要建筑及遺存.某同學欲從這11個重要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的3個中一定有故宮的概率為（

）A． B． C． D．11．（2023北京豐臺高二上期末）已知生產某種產品需要兩道工序，設事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才進行第二道工序加工，那么事件“產品不合格”可以表示為（

）A． B．AB C． D．12．（2023北京十二中高二上期末）一個袋中裝有大小、質地相同的3個紅球和3個黑球，從中隨機摸出3個球，設事件“至少有2個黑球”，下列事件中，與事件互斥而不互為對立的是（

）A．都是黑球 B．恰好有1個黑球 C．恰好有1個紅球 D．至少有2個紅球13．（2023北京人大附中高二上期末）小明有枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面．他想把個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，則不同的擺法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種14．（2023北京人大附中高二上期末）甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是A． B． C． D．15．（2023北京人大附中高二上期末）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是A． B． C． D．16．（2023北京人大附中高二上期末）一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為和.則A． B． C． D．以上三種情況都有可能二、填空題17．（2024北京平谷高二上期末）已知盒子中有大小、形狀都相同的4個紅球和2個白球，每次從中取一個球，取到紅球記1分，取到白球記2分.如果有放回的抽取2次，則“2次所得分數(shù)之和為3分”的概率是.18．（2024北京東城高二上期末）2023年10月第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京勝利召開.某校準備進行“一帶一路”主題知識競賽活動.要求每位選手回答A，B兩類問題，且至少一類問題的成績達到優(yōu)秀才能獲獎.已知張華答A，B兩類問題成績達到優(yōu)秀的概率分別為0.6，0.5，則張華在這次比賽中獲獎的概率為.19．（2023北京豐臺高二上期末）甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，若兩人獨立譯出密碼的概率都是0.5，則密碼被破譯的概率為．三、解答題20．（2025北京平谷高二上期末）某學校為提升學生的體質水平，要求所有學生在一學期內完成規(guī)定的運動任務，并獲得相應過程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學生，獲得其運動打卡成績的頻率分布直方圖及相應過程性積分數(shù)據(jù)，整理如下：運動打卡成績（km）運動過程性積分54321(1)求的值，并估計從該校隨機抽取一名學生，這名學生的運動過程性積分不少于4分的概率；(2)在抽取的100名學生中，采取分層抽樣的方法從運動打卡成績在和內抽取5人，再從這5名學生中隨機選取2人，求這2名學生的運動過程性積分之和為3的概率；(3)從該校運動過程性積分不高于2分的學生中隨機抽取一名，其運動打卡成績記為，上述100名學生運動打卡成績的平均值記為.若根據(jù)圖表信息是否能推斷恒成立？（直接寫出結論）21．（2024北京平谷高二上期末）已知某公司統(tǒng)計了一種產品在2023年各月的銷售情況，如圖，公司將每連續(xù)3個月的銷售量做為一個觀測組，對該公司這種產品的銷售量（單位：萬）進行監(jiān)測和預測.(1)現(xiàn)從產品的10個觀測組中任取一組，求組內三個月中至少有一個銷售量高于50萬的概率；(2)若當月的銷售量大于上一個月的銷售量，則稱該月的銷售指數(shù)增長；若當月的銷售量小于上一個月的銷售量，則稱該月的銷售指數(shù)下降.（已知1月份的銷售量低于2022年12月份銷售量）.現(xiàn)從10個觀測組中任取一組，求抽到的觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個的概率.(3)假設該產品每月的銷售指數(shù)是否增長只受上一個月銷售指數(shù)的影響，預測2024年1月份“銷售指數(shù)增長”和“銷售指數(shù)下降”的概率估計值哪個最大（直接寫出結果）.22．（2023北京豐臺高二上期末）為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質生態(tài)產品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來檢測培育的某種植物的生長情況，現(xiàn)分別從三塊試驗田中各隨機抽取7株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）：組10111213141516組12131415161718組13141516171819假設所有植株的生產情況相互獨立．從三組各隨機選1株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙．(1)求丙的高度小于15厘米的概率；(2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記．從三塊試驗田中分別再隨機抽取1株該種植物，它們的高度依次14，16，15（單位：厘米）．這3個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大?。ńY論不要求證明）23．（2023北京平谷高二上期末）某高中高一500名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)從總體的500名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)；(3)估計隨機抽取的100名學生分數(shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)；(4)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．24．（2023北京東城高二上期末）某超市有A，B，C三個收銀臺，顧客甲、乙兩人結賬時，選擇不同收銀臺的概率如下表所示，且兩人選擇哪個收銀臺相互獨立.收銀臺顧客A收銀臺B收銀臺C收銀臺甲a0.20.4乙0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)求甲、乙兩人在結賬時都選擇C收銀臺的概率；(3)求甲、乙兩人在結賬時至少一人選擇C收銀臺的概率.25．（2023北京順義高二上期末）從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．組號分組頻數(shù)1c28317422525612768292合計100(1)求頻數(shù)分布表中c的值及頻率分布直方圖中a，b的值；(2)從一周閱讀時間不低于14小時的學生中抽出2人做訪談，求2人恰好在同一個數(shù)據(jù)分組的概率．26．（2023北京豐臺高二上期末）某公司為了了解A，B兩個地區(qū)用戶對其產品的滿意程度，從A地區(qū)隨機抽取400名用戶，從B地區(qū)隨機抽取100名用戶，通過問卷的形式對公司產品評分．該公司將收集的數(shù)據(jù)按照，，，分組，繪制成評分分布表如下：分組A地區(qū)B地區(qū)403012020160408010合計400100(1)采取按組分層隨機抽樣的方法，從A地區(qū)抽取的400名用戶中抽取10名用戶參加座談活動．求參加座談的用戶中，對公司產品的評分不低于60分的用戶有多少名？(2)從（1）中參加座談的且評分不低于60分的用戶中隨機選取2名用戶，求這2名用戶的評分恰有1名低于80分的概率；(3)若A地區(qū)用戶對該公司產品的評分的平均值為，B地區(qū)用戶對該公司產品的評分的平均值為，兩個地區(qū)的所有用戶對該公司產品的評分的平均值為，試比較和的大小，并說明理由．

參考答案1．C【分析】由次獨立重復試驗中恰有次發(fā)生的概率公式，計算可得答案.【詳解】因為甲同學投籃命中率為，所以在3次投籃比賽中，甲同學恰好命中一次的概率，故選：2．D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，僅使用的有30人，其中支付金額多于元的有10人，僅使用的有20人，其中支付金額多于元的有10人，則僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率.故選：D3．C【分析】分別計算每種規(guī)則下甲乙發(fā)球的概率，找到概率均為的規(guī)則即可得.【詳解】對于規(guī)則一，每人發(fā)球的概率都是，是公平的，對于規(guī)則二，記2個紅球分別為紅1，紅2，2個黑球分別為黑1，黑2，則隨機取出2個球的所有可能的情況有：（紅1，紅2），（紅1，黑1），（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（黑1，黑2），共6種，其中同色的情況有2種，∴甲發(fā)球的可能性為，不公平；對于規(guī)則三，記3個紅球分別為紅1，紅2，紅3，則隨機取出2個球所有可能情況有：（紅1，紅2），（紅1，紅3），（紅1，黑），（紅2，紅3），（紅2，黑），（紅3，黑），共6種，其中同色的情況有3種，∴兩人發(fā)球的可能性均為，是公平的，∴對甲、乙公平的有規(guī)則一和規(guī)則三．故選：C．4．D【分析】列舉出所有情況，統(tǒng)計滿足條件的情況，得到概率.【詳解】設水稻、擬南芥、油菜、豌豆和小麥分別為，則共有：10種情況，滿足條件的有4種情況，則.故選：D5．C【分析】利用列舉法列出所有可能情況，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】從編號為1、2、3、4的4個球中隨機抽取兩個球，其可能結果有，，，，，共6個，其中滿足編號之和不大于4的有，共2個，所以取出的球的編號之和不大于4的概率故選：6．C【分析】由已知先列舉出事件總數(shù)，然后解出不等式，找出滿足條件的事件數(shù)，結合古典概率計算即可.【詳解】由題意第一次得到的點數(shù)記為，第二次得到的點數(shù)記為，記為，則它的所有可能情況為：共36種，由，即，由在單調遞增，所以，所以滿足條件的有：共6種，所以事件“”的概率為：，故選：C.7．B【分析】用字母“”出現(xiàn)的頻數(shù)除以總數(shù)就是所求頻率.【詳解】由圖中表格可知，字母“”出現(xiàn)的頻數(shù)為4，合計總頻數(shù)為24，所以字母“”出現(xiàn)的頻率為.故選：B8．C【分析】根據(jù)和事件的概率的求法求得正確答案.【詳解】事件表示“兩個點數(shù)之和等于或至少有一個骰子的點數(shù)為”.基本事件的總數(shù)為，事件包含的基本事件為：，，共種，所以事件的概率是.故選：C9．A【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法公式求解即可.【詳解】因為甲中靶概率為0.8，乙中靶概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，所以甲、乙各射擊一次，則兩人都中靶的概率為.故選:A.10．D【分析】分別求出這11個重要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個的種數(shù)和選取的3個中一定有故宮的種數(shù)，再由古典概率代入即可得出答案.【詳解】設11個重要建筑依次為，其中故宮為，從這11個重要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個有：，，共9種情況，其中選取的3個中一定有故宮的有：，共3種，所以其概率為：.故選：D.11．D【分析】由題意可知“產品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，從而可求得結果.【詳解】因為只有第一道工序加工合格才進行第二道工序加工，所以事件“產品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件“產品不合格”可以表示為，故選：D12．B【分析】利用對立事件、互斥事件的定義直接求解即可．【詳解】解：從裝有大小和質地完全相同的3個紅球和3個黑球的口袋內任取3個球，在中，至少有2個黑球和都是黑球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤，在中，至少有2個黑球和恰有1個黑球不能同時發(fā)生，是互斥而不對立事件，故正確，在中，至少有2個黑球和恰有1個紅球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤，在中，至少有2個黑球和至少有2個紅球事件不能同時發(fā)生，是對立事件，故錯誤．故選：．13．B【分析】根據(jù)題意，列出所有滿足題意的擺法即可求解.【詳解】根據(jù)題意，列出所有滿足題意的擺法如下（從下到上）：正-正-正-正，反-反-反-反，反-正-正-正，反-反-正-正，反-反-反-正.共5種不同的擺法.故選：B.14．C【詳解】甲共得6條，乙共得6條，共有6×6＝36(對)，其中垂直的有10對，∴.本題選擇C選項.15．C【詳解】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率為，故選C．考點：相互獨立事件概率的計算．16．B【詳解】因為所以故選:B17．【分析】根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式計算即可.【詳解】由題意，2次所得分數(shù)之和為3分，則第1次取出紅球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出紅球,由于有放回抽取，兩次抽取為相互獨立事件，其概率為.故答案為：18．/【分析】由題意知可從反面考慮求出不獲獎的概率，從而求解出獲獎的概率，即可求解.【詳解】由題意知，當張華不獲獎時的概率為，所以張華獲獎的概率為.故答案為：.19．/【分析】利用相互獨立事件概率計算公式、對立事件的概率計算公式直接求解.【詳解】甲?乙兩人獨立地破譯某個密碼，兩人獨立譯出密碼的概率都是0.5，則密碼被破譯的概率為:.故答案為：.20．(1)；(2)(3)能推斷恒成立【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特征建立方程，解之即可求出；結合古典概型的概率公式計算即可求解；（2）根據(jù)古典概型的概率公式計算即可求解；（3）求出的最大值和的最小值即可下結論.【詳解】（1）由圖可知，，解得；所以組對應的頻率為，對應的人數(shù)為，所以從該校隨機抽取一名學生，這名學生的運動過程性積分不少于4分的概率為.（2）由題意知，成績在和的人數(shù)分別為和20，比例為，從這兩組按分層抽樣的方法抽取5人，則從組內抽得1人，從組內抽得4人，從這5名學生中隨機選取2人，這2名學生的運動過程性積分之和為3的概率為.所以從這5名學生中隨機選取2人，這2名學生的運動過程性積分之和為3的概率為.（3）從該校運動過程性積分不高于2分的學生中隨機抽取一名，其運動成績記為，又運動過程性積分為2的成績對應的組是，則的最大值為，100名學生運動成績的平均值記為，則的最小值為各分數(shù)段取最小值求得的平均分，即，所以，所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立.21．(1)(2)(3)“銷售指數(shù)增長”的概率估計值最大【分析】（1）列舉出10個觀測組中的數(shù)據(jù)，求出符合題意的觀測組數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出概率；（2）將銷售指數(shù)增長記為“1”，銷售指數(shù)下降記為“0”，得出每個月的增長指數(shù)情況，求出銷售指數(shù)增長月份恰有2個的數(shù)據(jù)組數(shù)，即可得出結論；（3）易知12月份為“銷售指數(shù)增長”月，求出連續(xù)兩個月為增長的概率即可得出結論.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，四個觀測組中的數(shù)據(jù)分別為：，；至少有一個高于50萬的數(shù)據(jù)有8組，所以從10個觀測組中任取一組，組內三個月中至少有一個銷售量高于50萬的概率；（2）將銷售指數(shù)增長記為“1”，銷售指數(shù)下降記為“0”，則10個觀測組中的銷售指數(shù)可表示為：，；觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個的共有6組，即從10個觀測組中任取一組，抽到的觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個的概率；（3）易知12月份為“銷售指數(shù)增長”月，12個月當中每個月的銷售指數(shù)可表示為0，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，1，易得“銷售指數(shù)增長”的月份共有8個，上個月增長下個月也增長的月份共5個，即可知2024年1月份“銷售指數(shù)增長”和“銷售指數(shù)下降”的概率估計值分別為和,因此2024年1月份“銷售指數(shù)增長”的概率估計值最大.22．(1)(2)(3)【分析】（1）設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“甲是組的第株植物”，其中，設事件為“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度”的概率，（3）依題意分別計算出和比較即可.【詳解】（1）設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“甲是組的第株植物”，其中，由題意得：，設事件為“丙的高度小于15厘米”，由題知，且互斥，所以丙的高度小于15厘米的概率為：.（2）設事件為“甲的高度大于乙的高度”，所以甲的高度大于乙的高度的概率為：.（3）由題意得：，，所以.23．(1)(2)人(3)眾數(shù)為；測評成績的75%分位數(shù)為(4)【分析】（1）由對立事件結合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分數(shù)小于60的頻率，則可得出總體的500名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計值；（2）先由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于50的頻率，即可得出分數(shù)不小于50的人數(shù)，在集合題意即可得出總體中分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)；（3）總數(shù)為頻率分布直方圖中頻率最高的分數(shù)區(qū)間的中間值，測評成績的75%分位數(shù)先得出從前到后的頻率之和為0.75時在那個區(qū)間，在通過頻率求出；（4）先由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于70的學生人數(shù)，在通過已知得出樣本中的男女生比例，即可得出總體中男女生的比例估計.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于60的頻率為：，則分數(shù)小于60的頻率為：，故從總體的500名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為；（2）由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于50的頻率為：，則分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)為：人，則總體中分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)為：人；（3）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在區(qū)間的頻率最高，則隨機抽取的100