第四章相關(guān)系數(shù)內(nèi)容導(dǎo)讀本章內(nèi)容在課程中具有承上啟下的作用。一方面，相關(guān)系數(shù)是反映與描述一組數(shù)據(jù)的概括性特征量數(shù)，只不過這里的數(shù)據(jù)是二元變量的觀測數(shù)據(jù)。另一方面，對相關(guān)系數(shù)內(nèi)容的理解與掌握，是建立在散點(diǎn)圖、平均數(shù)、離差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差等內(nèi)容的基礎(chǔ)上的。另外，相關(guān)分析的思想方法對于學(xué)習(xí)與研究后續(xù)章節(jié)有關(guān)教育測驗(yàn)理論或考試?yán)碚摼哂兄匾淖饔?。本章重要的知識點(diǎn)有：相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義與解釋，積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法，等級相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法，點(diǎn)雙列相關(guān)計(jì)算方法及結(jié)果解釋。本章的難點(diǎn)是點(diǎn)雙列相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法和結(jié)果的解釋。第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義一、對相關(guān)現(xiàn)象的感覺教育工作者常發(fā)覺，許多教育現(xiàn)象之間或教育行為之間存在著一定的相互聯(lián)系。例如，在學(xué)習(xí)行為上，隱隱約約地表現(xiàn)出這么一些特點(diǎn)：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間關(guān)系密切，似乎許多數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生在物理科目上的成績也是優(yōu)秀的，許多數(shù)學(xué)水平中等的學(xué)生在物理科目上的水平也是中等的，許多數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生在物理科目上的成績也是較差的。這說明數(shù)學(xué)成績和物理成績之間確實(shí)存在著一種“水漲船高、水落船低”的互相關(guān)聯(lián)的趨勢。二、相關(guān)的意義及相關(guān)系數(shù)的初步認(rèn)識直線性相關(guān)是所有關(guān)聯(lián)模式中最簡單的一種，有關(guān)聯(lián)的兩個(gè)變量各自以大體均等的速度變化著。若以平面坐標(biāo)散點(diǎn)圖來理解，直線性相關(guān)意指：兩個(gè)變量的成對觀測數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系上描點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)分布會環(huán)繞在某一條直線附近。第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義二、相關(guān)的意義及相關(guān)系數(shù)的初步認(rèn)識統(tǒng)計(jì)學(xué)上用相關(guān)系數(shù)來定量描述兩個(gè)變量之間的直線性相關(guān)的強(qiáng)度與方向。如果相互關(guān)聯(lián)著的兩個(gè)變量，一個(gè)增大另一個(gè)也隨之增大，一個(gè)減小另一個(gè)也隨之減小，變化方向一致，就稱兩個(gè)變量之間有正相關(guān)。如果相互關(guān)聯(lián)著的兩變量，一個(gè)增大另一個(gè)反而減小，變化方向相反，就稱兩個(gè)變量之間有負(fù)相關(guān)。如果這種關(guān)聯(lián)十分緊密，一個(gè)變量有了某種程度的變化，另一個(gè)也有十分類似程度的變化，那么就叫相關(guān)的強(qiáng)度大；否則，就叫相關(guān)的強(qiáng)度小。第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義二、相關(guān)的意義及相關(guān)系數(shù)的初步認(rèn)識相關(guān)系數(shù)用r表示，r在－1和＋1之間取值。相關(guān)系數(shù)r的絕對值大?。矗黵｜），表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)強(qiáng)度。相關(guān)系數(shù)r的正負(fù)號，表示相關(guān)的方向，分別是正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。若相關(guān)系數(shù)r＝0，稱零線性相關(guān)，簡稱零相關(guān)；相關(guān)系數(shù)｜r｜＝1時(shí)，表示兩個(gè)變量是完全相關(guān)的，這時(shí)，兩個(gè)變量之間的關(guān)系成了確定性的函數(shù)關(guān)系，這種情況在行為科學(xué)與社會科學(xué)中是極少存在的。一般說來，若觀測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)足夠多的話，計(jì)算出來的相關(guān)系數(shù)r就會更真實(shí)地反映客觀事物之間的本來面目。第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義三、由散點(diǎn)圖認(rèn)識相關(guān)情況我們還可以從相關(guān)散點(diǎn)圖的幾何分布形態(tài)來認(rèn)識相關(guān)的強(qiáng)度與方向。如果散點(diǎn)圖形雜亂無章，沒有顯示出向某個(gè)方向延伸的情形，則說明相關(guān)程度很低；如果散點(diǎn)圖分布形成一個(gè)邊界不規(guī)則的橢圓，則說明兩個(gè)變量存在中等程度的相關(guān)。這里的橢圓越扁長，則相關(guān)程度越高。倘若散點(diǎn)圖幾乎形成一條直線，則說明相關(guān)系數(shù)接近1或－1。至于相關(guān)的方向，則可以通過散點(diǎn)橢圓圖形的長軸所在直線的斜率來判斷。從左下方往右上方延伸的情形是正相關(guān)；從左上方往右下方延伸的情形是負(fù)相關(guān)。這樣，我們可以從散點(diǎn)圖的分布情況，初步判斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)情況。第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義三、由散點(diǎn)圖認(rèn)識相關(guān)情況由于事物之間聯(lián)系的復(fù)雜性，在實(shí)際研究中，通過統(tǒng)計(jì)方法確定出來的相關(guān)系數(shù)r即使是高度相關(guān)，我們在解釋相關(guān)系數(shù)的時(shí)候，還是要結(jié)合具體變量的性質(zhì)特點(diǎn)和有關(guān)專業(yè)知識的。兩個(gè)高度相關(guān)的變量，它們之間可能具有明顯的因果關(guān)系，也可能只具有部分因果關(guān)系，還可能沒有直接的因果關(guān)系，其數(shù)量上的相互關(guān)聯(lián)，只是它們共同受到其他第三個(gè)變量所支配的結(jié)果。除此之外，相關(guān)系數(shù)r接近零，只是表示這兩個(gè)變量不存在明顯的直線性相關(guān)模式，但不能肯定地說這兩個(gè)變量之間就沒有規(guī)律性的聯(lián)系。第一節(jié)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義第二節(jié)積差相關(guān)研究兩種現(xiàn)象、兩種行為或兩個(gè)事物，一句話，研究兩個(gè)變量之間的相關(guān)情況時(shí)，積差相關(guān)是應(yīng)用最普遍、最基本的一種相關(guān)分析方法，尤其適合于對兩個(gè)連續(xù)變量之間的相關(guān)情況進(jìn)行定量分析。第二節(jié)

積差相關(guān)一、積差相關(guān)概念及基本公式英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜（K.Pearson）跟隨英國著名科學(xué)家高爾頓（F.Galton）在合作研究有關(guān)人類身高遺傳問題的過程中，提出了“回歸”的概念以及積差相關(guān)分析方法。對于兩個(gè)連續(xù)的變量（比率變量或等距變量），如父輩的身高變量和子輩的身高變量之間有什么連帶關(guān)系、學(xué)生的體重與身高變量之間有什么連帶關(guān)系、不同學(xué)科成績之間有什么樣的相互關(guān)聯(lián)、人的智力發(fā)展水平同學(xué)業(yè)成就之間相關(guān)程度如何，等等，通過觀測研究，可以用積差相關(guān)分析的方法，定量地描述兩個(gè)變量之間的相關(guān)強(qiáng)度與方向。第二節(jié)

積差相關(guān)一、積差相關(guān)概念及基本公式設(shè)有兩個(gè)變量X和Y，其n個(gè)觀測點(diǎn)的成對數(shù)據(jù)不妨記為（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）?；谶@些成對的觀測數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算成對的觀測數(shù)據(jù)離差均值，即有：第二節(jié)

積差相關(guān)一、積差相關(guān)概念及基本公式基于上述觀測數(shù)據(jù)離差值乘積所得結(jié)果進(jìn)行相關(guān)分析的方法，稱為積差相關(guān)。計(jì)算積差相關(guān)系數(shù)的基本公式是：第二節(jié)

積差相關(guān)一、積差相關(guān)概念及基本公式因此，積差相關(guān)系數(shù)基本公式（4-1）也可以用下式表達(dá)：二、積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法積差相關(guān)系數(shù)基本公式（4-1）和公式（4-2）結(jié)構(gòu)對稱，容易掌握，但在具體計(jì)算時(shí)，其計(jì)算量卻不少，需要分步計(jì)算，最后綜合。主要步驟歸納起來是：（1）計(jì)算平均（2）計(jì)算離差值。（3）計(jì)算各對離差值乘積xiyi以及乘積之和（4）計(jì)算數(shù)據(jù)Xi的離差平方和，（5）計(jì)算數(shù)據(jù)Yi的離差平方和，（6）把上述有關(guān)結(jié)果代入公式（4-1）或公式（4-2），求出rxy。第二節(jié)

積差相關(guān)二、積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法為了有條不紊地計(jì)算相關(guān)系數(shù)，通常采用列表的方式逐個(gè)計(jì)算，這也便于檢查是否計(jì)算出錯(cuò)以及錯(cuò)在何處。設(shè)計(jì)的表格一般要有7個(gè)欄目，分別記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，而在表格的最后一行進(jìn)行總計(jì)。下面舉一例子，說明積差相關(guān)系數(shù)的基本計(jì)算方法?！纠?-1】隨機(jī)觀測15名高一學(xué)生在語文推理測驗(yàn)X和數(shù)字推理測驗(yàn)Y上的成績（兩個(gè)測驗(yàn)的滿分均為70分），其結(jié)果如表4-1中第1、第2欄所示，試求該兩個(gè)測驗(yàn)分?jǐn)?shù)之間的積差相關(guān)系數(shù)。第二節(jié)

積差相關(guān)二、積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法第二節(jié)

積差相關(guān)二、積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法【分析解答】根據(jù)公式（4-1）及上述歸納步驟進(jìn)行表上操作。第一，準(zhǔn)備一個(gè)表格如表4-1，共7個(gè)欄目，從左到右依次登載有關(guān)數(shù)據(jù)Xi，Yi，xi，yi，xi2，yi2和xiyi。第二，在表4-1最底端空出一行，用以登載有關(guān)數(shù)據(jù)連加和的結(jié)果，從左到右依次是第三，從已知的15對觀測數(shù)據(jù)出發(fā)，根據(jù)公式（4-1）的結(jié)構(gòu)，先計(jì)算出

并把這4個(gè)數(shù)據(jù)登記在最后一行所對應(yīng)的總計(jì)格子里。第二節(jié)

積差相關(guān)二、積差相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法第五，在表格外面，把第四步得到的3個(gè)數(shù)據(jù)代入公式（4-1）或公式（4-2），計(jì)算出積差相關(guān)系數(shù)rxy。一般說來，上述各步計(jì)算都可借助計(jì)算器來進(jìn)行。從表4-1中的計(jì)算數(shù)據(jù)可知：因此，這15名高一學(xué)生在語言推理測驗(yàn)X和數(shù)字推理測驗(yàn)Y上的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)積差相關(guān)系數(shù)是：第二節(jié)

積差相關(guān)三、利用原始數(shù)據(jù)直接計(jì)算積差相關(guān)系數(shù)除了根據(jù)基本公式計(jì)算外，還可以不通過計(jì)算平均數(shù)及離差值而直接利用原始數(shù)據(jù)計(jì)算積差相關(guān)系數(shù)。第二節(jié)

積差相關(guān)三、利用原始數(shù)據(jù)直接計(jì)算積差相關(guān)系數(shù)需要指出的是，相關(guān)系數(shù)的觀測值r跟抽樣數(shù)據(jù)的容量有關(guān)。觀測數(shù)據(jù)越多，其相關(guān)系數(shù)r值就越穩(wěn)定，因而，真實(shí)性也相對越大。若抽樣數(shù)據(jù)容量較小，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r值的誤差也越大。因此，解釋相關(guān)系數(shù)時(shí)要考慮上述這些因素。若要提高相關(guān)系數(shù)的真實(shí)性，就要采用推斷統(tǒng)計(jì)的方法，對觀測得到的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行必要的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。這些內(nèi)容將在本書第十章中加以介紹。第二節(jié)

積差相關(guān)第三節(jié)等級相關(guān)皮爾遜創(chuàng)立的積差相關(guān)法，是度量兩個(gè)變量之間相關(guān)強(qiáng)度的有效指標(biāo)，在一般情況下，人們均樂于采用。但積差相關(guān)的計(jì)算過程較復(fù)雜，同時(shí)還需雙變量均為連續(xù)變量、觀測數(shù)據(jù)準(zhǔn)確以及樣本容量n要適當(dāng)大些等條件。但在教育實(shí)際工作中，有時(shí)我們收集到的數(shù)據(jù)可能是其他類型的數(shù)據(jù)，如順序變量數(shù)據(jù)與稱名變量數(shù)據(jù)等，這時(shí)，就要用到其他一些相關(guān)法。第三節(jié)等級相關(guān)一、等級相關(guān)概念及基本公式針對兩列順序變量數(shù)據(jù)之間的相關(guān)問題，英國心理學(xué)家與統(tǒng)計(jì)學(xué)家斯皮爾曼（C．E．Spearman）在皮爾遜積差相關(guān)法思想的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了等級相關(guān)的計(jì)算方法。等級相關(guān)是根據(jù)兩列順序變量數(shù)據(jù)中各對等級數(shù)據(jù)的差數(shù)來計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法。對于連續(xù)變量的數(shù)據(jù)，必要時(shí)可分別把兩列數(shù)據(jù)按大小順序賦給名次等級，進(jìn)而采用等級相關(guān)法計(jì)算相關(guān)系數(shù)。等級相關(guān)系數(shù)的基本計(jì)算公式如下：二、原始數(shù)據(jù)是順序變量的等級相關(guān)計(jì)算有時(shí)候，因工作條件所限或研究對象的性質(zhì)特點(diǎn)所限，我們得到的觀測數(shù)據(jù)是順序變量的數(shù)據(jù)。若要研究兩種現(xiàn)象之間的相關(guān)，可直接利用公式（4-4）來確定等級相關(guān)。[例4-3]某班有8位同學(xué)參加普通話演講比賽和命題作文比賽，他們所得名次如表（4-3）所示，試求這兩種比賽成績之間的相關(guān)程度。第三節(jié)等級相關(guān)二、原始數(shù)據(jù)是順序變量的等級相關(guān)計(jì)算第三節(jié)等級相關(guān)二、原始數(shù)據(jù)是順序變量的等級相關(guān)計(jì)算【分析解答】由于這里的普通話演講比賽和命題作文比賽的成績是直接評定名次順序，因此，可直接利用公式（4-4）計(jì)算等級相關(guān)系數(shù)。主要方法與步驟如下：（1）設(shè)計(jì)一個(gè)表格共5個(gè)欄目，從左到右依次是學(xué)生編號或姓名欄、普通話演講比賽名次欄、命題作文比賽名次欄、等級差數(shù)欄和差數(shù)平方欄。（2）根據(jù)第2欄和第3欄中的已知名次等級，逐個(gè)計(jì)算等級差數(shù)D和D2，并把這些數(shù)據(jù)填寫在相應(yīng)的位置上。（3）計(jì)算等級差數(shù)平方和，并把數(shù)據(jù)填寫在相應(yīng)的總計(jì)格子上。由表4-3中所計(jì)算的結(jié)果可知：第三節(jié)等級相關(guān)三、觀測數(shù)據(jù)含有連續(xù)變量時(shí)的等級相關(guān)計(jì)算如前所述，有些情形下數(shù)據(jù)的獲取主要是靠粗略估算得到的。例如，一些教師平時(shí)給學(xué)生的作文打分或課后作業(yè)打分；參加藝術(shù)類或外語類高考的考生除了參加統(tǒng)一的文化課考試外，還要在考前參加高校舉行的素描、唱歌、舞蹈、即興表演、英語口語、英語聽力等方面的專業(yè)課內(nèi)容測試，這些專業(yè)內(nèi)容的測試成績雖然也采用百分制或連續(xù)評分制，但所給的成績往往缺乏精確度，只能是一個(gè)大致評估的分?jǐn)?shù)。對于這些數(shù)據(jù)，在求相關(guān)的時(shí)候，可以用等級相關(guān)法。下面舉例說明。第三節(jié)等級相關(guān)三、觀測數(shù)據(jù)含有連續(xù)變量時(shí)的等級相關(guān)計(jì)算如前所述，有些情形下數(shù)據(jù)的獲取主要是靠粗略估算得到的。例如，一些教師平時(shí)給學(xué)生的作文打分或課后作業(yè)打分；參加藝術(shù)類或外語類高考的考生除了參加統(tǒng)一的文化課考試外，還要在考前參加高校舉行的素描、唱歌、舞蹈、即興表演、英語口語、英語聽力等方面的專業(yè)課內(nèi)容測試，這些專業(yè)內(nèi)容的測試成績雖然也采用百分制或連續(xù)評分制，但所給的成績往往缺乏精確度，只能是一個(gè)大致評估的分?jǐn)?shù)。對于這些數(shù)據(jù)，在求相關(guān)的時(shí)候，可以用等級相關(guān)法。下面舉例說明。第三節(jié)等級相關(guān)第四節(jié)點(diǎn)雙列相關(guān)在研究一些教育問題時(shí)，我們常遇到兩個(gè)變量中的一個(gè)是連續(xù)變量，另一個(gè)是二分類的稱名變量，并且要求分析它們之間的相關(guān)連帶關(guān)系的情況。第四節(jié)點(diǎn)雙列相關(guān)一、點(diǎn)雙列相關(guān)適用范圍及基本公式點(diǎn)雙列相關(guān)適用于雙變量數(shù)據(jù)，例如，有一列數(shù)據(jù)是連續(xù)變量數(shù)據(jù)，包括體重、身高以及許多測驗(yàn)與考試的分?jǐn)?shù)；另一列數(shù)據(jù)是二分類的稱名變量數(shù)據(jù)，包括性別（分男與女）、態(tài)度（分贊成和不贊成）、學(xué)習(xí)經(jīng)歷（分有與無）、考試結(jié)果（分合格與不合格）、題目解答（分答對與答錯(cuò)）等數(shù)據(jù)。點(diǎn)雙列相關(guān)的基本公式為：二、點(diǎn)雙列相關(guān)系數(shù)計(jì)算根據(jù)上述點(diǎn)雙列相關(guān)的基本公式（4-5），可從已知數(shù)據(jù)出發(fā)，分步進(jìn)行計(jì)算?！纠?-8】根據(jù)本節(jié)表4-7的有關(guān)數(shù)據(jù)，研究一下數(shù)學(xué)能力與性別之間有多大的關(guān)聯(lián)?！痉治鼋獯稹坎捎命c(diǎn)雙列相關(guān)法來研究教學(xué)能力和性別之間的相關(guān)情況，可按公式（4-5），由表4-7中的數(shù)據(jù)資料分步計(jì)算。（1）在14名學(xué)生中有9名男生和5名女生，若用p表示男生的人數(shù)比例，q表示女生的人數(shù)比例，則有：第四節(jié)點(diǎn)雙列相關(guān)二、點(diǎn)雙列相關(guān)系數(shù)計(jì)算【分析解答】（2）把14名學(xué)生的數(shù)學(xué)比賽成績按男生和女生分成兩部分，第一部分即p部分是9名男生的數(shù)學(xué)成績，第二部分即q部分是5名女生的數(shù)學(xué)成績，并分別計(jì)算這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)。男生成績：69，40，30，43，61，57，48，65，33女生成績：44，60，40，23，