江西省新余市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷命題人：新鋼中學(xué)鐘清平歐陽裕吉新余九中胡小林審題人：陳建說明：1.本卷共有四個(gè)大題，19個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的實(shí)軸長為（）A. B.4 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程直接確定實(shí)軸長.【詳解】由雙曲線方程知，則實(shí)軸長為.故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式、指數(shù)不等式求集合，應(yīng)用交運(yùn)算求集合.【詳解】由，，所以.故選：A3.等比數(shù)列中，已知，則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及已知可得，再由即可求值.【詳解】若等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)，則，即，由.故選：A4.已知是銳角，則“直線與平面所成角的大小為”是“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線所成角的大小為”的（）條件.A.必要不充分 B.充分不必要C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用線面角的定義結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】如下圖所示：設(shè)直線交平面于點(diǎn)，過直線上異于點(diǎn)的點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則為直線與平面所成的角，若直線與平面所成角的大小為，則直線與所有平行于直線的直線所成的角都為，即“直線與平面所成角的大小為”“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線所成角的大小為”，若直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線所成角的大小為，但直線與平面內(nèi)所有直線所成的最小角為直線與平面所成的角，所以，不一定是直線與平面所成的角，即“直線與平面所成角的大小為”“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線所成角的大小為”，因此，“直線與平面所成角的大小為”是“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線所成角的大小為”的充分不必要條件.故選：B5.已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率的取值范圍，利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得出直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，?故選：D.6.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽，中國隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對(duì)戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合再次以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析“莎頭”組合以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負(fù)局，第局“莎頭”組合獲勝，利用二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算可得.【詳解】“莎頭”組合再次以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負(fù)局，第局“莎頭”組合獲勝，所以“莎頭”組合再次以獲勝的概率.故選：B7.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則對(duì)任意的都有B.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)求出，根據(jù)正弦函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷D．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，又，所以，所以；對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，解得，即的取值范圍是，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則有，解得，即的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.已知表示m，n中最大的數(shù)，設(shè)函數(shù)，若，則的最大值為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有的定義域?yàn)?，討論、、、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究的符號(hào)得參數(shù)范圍，即可得答案.【詳解】由，顯然函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，則，令，則，顯然，即在上單調(diào)遞增，又，，故使，則，所以上，即，則在上單調(diào)遞減，上，即，則在上單調(diào)遞增，所以，顯然，則，此時(shí)恒成立，故，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于有，即恒成立，則時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)恒成立，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，則時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)恒成立，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于的圖象開口向上且對(duì)稱軸，所以，在上單調(diào)遞減，且有，對(duì)于，在上單調(diào)遞增，且有，綜上，在區(qū)間內(nèi)，存在，即存在，不滿足要求；綜上，，故的最大值為1.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究在上是否恒成立為關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)不能比較大小判斷A，應(yīng)用加法及模長公式計(jì)算判斷B，應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)得乘法計(jì)算判斷C，結(jié)合除法運(yùn)算律及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷D.【詳解】虛數(shù)不能比較大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，則，則，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.下列說法中正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為B.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.某校高三（1）班進(jìn)行米體測，男生人，跑完平均用時(shí)秒，方差為，女生人，跑完平均用時(shí)秒，方差為，則該班級(jí)的體測成績方差大于D.若隨機(jī)事件、滿足：，，，則事件與相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】利用平均數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用分層抽樣的方差公式可判斷C選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，該班級(jí)的體測成績的平均數(shù)為，所以，該班級(jí)的體測成績方差為，無法確定與的大小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可得，故事件、獨(dú)立，D對(duì).故選：ABD.11.如圖，在棱長為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）A.四面體的外接球的表面積為B.存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)共面C.過且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為D.點(diǎn)是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線夾角為，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】利用補(bǔ)形法可判斷A選項(xiàng)；作出輔助線，得到，即、、、四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足要求，但不能與重合，可判斷B選項(xiàng)；作出輔助線，得到平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，此時(shí)面積為，當(dāng)與點(diǎn)無限接近時(shí)，面積接近于，可判斷C選項(xiàng)；作出輔助線，得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的部分圓弧，可求出點(diǎn)的軌跡長度，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，將四棱錐補(bǔ)成長方體，所以，四面體的外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線長，即四面體的外接球的直徑為，所以，四面體的外接球的表面積為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接、、，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)?、分別是、中點(diǎn)，則，所以，即、、、四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足、、、四點(diǎn)共面，但是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，在平面上作⊥，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作在平面內(nèi)⊥交或者于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，此時(shí)，，面積為，當(dāng)與點(diǎn)無限接近時(shí)，面積接近于，過且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，則平面，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，交、于、，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的部分圓弧，此時(shí)滿足直線與直線夾角為，如圖，，故，所以點(diǎn)的軌跡長度為，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)___________.【答案】##0.5【解析】【分析】由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算及共線的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，，且兩向量共線，所以，則.故答案為：13.展開式中的系數(shù)為36，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式為，令，可得；令，可得；可得，所以，解得：，故答案為：14.課內(nèi)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的韋達(dá)定理.實(shí)際上，一元三次方程也有對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理：一元三次方程的三根為滿足：.已知滿足：和，其中互不相等，則___________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合二、三次方程的韋達(dá)定理建立關(guān)于的等量關(guān)系，整體消元解方程組可得.【詳解】由題意互不相同，則互不相同.即互不相同.由已知，可得是方程的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.由一元三次方程的韋達(dá)定理得，即①，由，且為一常數(shù)，則是方程的兩不等根，則由韋達(dá)定理可得，②，聯(lián)立①②解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于理解并應(yīng)用一元三次方程的韋達(dá)定理，再通過根與系數(shù)的關(guān)系建立方程組求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步?.15.在中，已知角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若邊上的高為，求三角形ABC的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦邊角關(guān)系及已知可得，再應(yīng)用余弦定理即可求角的大??；（2）由三角形面積公式，應(yīng)用等面積法列方程得，結(jié)合（1）的結(jié)論，并應(yīng)用余弦定理求邊長，進(jìn)而確定三角形的周長.【小問1詳解】由題設(shè)及余弦定理知，整理得，所以，，則；【小問2詳解】由題意及（1）知：，則，由，即，所以（負(fù)值舍），故，而，所以三角形ABC的周長為.16.如圖，在四棱錐中，，，平面平面ABCD.（1）求證：；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)已知易得、，由面面垂直的性質(zhì)有面，由線面垂直的性質(zhì)有，最后利用線面垂直的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）若為的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證面，在面內(nèi)作，構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問1詳解】由，易知為直角梯形，且，連接，則，且為等腰直角三角形，，所以，在中，則，又，故，即，且，即，面面，面，又面面，所以面，面，則，又且都在面內(nèi)，故面，面，所以.【小問2詳解】若為的中點(diǎn)，連接，由，則，面面，面，面面，所以面，由，易知為直角梯形，面內(nèi)作，則可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，即平面PCD與平面PAB夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）首先證明為偶函數(shù)，問題化為研究時(shí)恒成立，再結(jié)合，根據(jù)必要性有得到，再證明充分性，說明上存在，即可得答案.【小問1詳解】由題設(shè)，且時(shí)，則，所以，則，故在點(diǎn)處的切線方程為，所以.【小問2詳解】由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，只需研究時(shí)恒成立，由，要使在上恒成立，必有（必要性），由，則，即，下證（充分性）：時(shí)，恒有在上成立，在上，又，且，故，即在上恒成立；當(dāng)時(shí)，令，則，在上，即恒成立，所以上單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于0時(shí)趨向于()，當(dāng)趨向于時(shí)趨向于，所以，使，即，，則在上單調(diào)遞減，又，故存在區(qū)間上，不合題設(shè)；綜上，.18.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若不過點(diǎn)的直線交曲線于P，Q兩點(diǎn)；①若以P，Q為直徑的圓過點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)；②在①條件下，作為垂足.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②存在，定值為.【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式、點(diǎn)線距離列方程并整理，即可得軌跡方程；（2）①令，，聯(lián)立的軌跡方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及求參數(shù)，即可證結(jié)論；②根據(jù)①結(jié)論及確定的軌跡，即可得結(jié)論，并找到定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】令，結(jié)合題設(shè)有，則，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】若以P，Q為直徑的圓過點(diǎn)，且直線不過點(diǎn)可知，直線的斜率不為0，可設(shè)，，聯(lián)立，則，整理得，且，則，所以，，①由題意，所以，即或（舍，直線過點(diǎn)），所以，故直線過定點(diǎn)，得證.②由，且直線過定點(diǎn)，故在以為直徑的圓上，且中點(diǎn)為，該點(diǎn)到的距離恒為，所以，存在定點(diǎn)使.19.設(shè)，若，且不存在，使得依次成等差數(shù)列，則稱為的簡單集，元素個(gè)數(shù)最多的簡單集稱為的最大簡單集，的最大簡單集的元素個(gè)數(shù)記為.（1）寫出4的所有最大簡單集，并求；（2）設(shè)，證明：，并求；（3）設(shè)，若對(duì)任意，都有恒成立，證明：.【答案】（1）或；.（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由簡單集及最大簡單集定義可得；（2）先證明性質(zhì)，再應(yīng)用性質(zhì)得，分別驗(yàn)證不滿足，再找到使的集合則可求；（3）先證明，說明當(dāng)時(shí)結(jié)論不成立；再利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論恒成立，由此得當(dāng)時(shí)也成立.【小問1詳解】若，，由簡單集及最大簡單集定義可知，4的最大簡單集為或．故.【小問2詳解】設(shè)．若為的最大簡單集，且，則．由于為的簡單集，為的簡單集，由最大簡單集的定義可知，故．因此當(dāng)時(shí)，①，下面求：由于，由①可知．其中中最多只能取三個(gè)數(shù)：或；中最多也只能取三個(gè)數(shù)：或．若，共四種情況：或或或.在和中，成等差數(shù)列；在和中，成等差數(shù)列；以上情況均不滿足定義，故．若，則和恰有一個(gè)集合有三個(gè)數(shù)，依據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)該集合為，三個(gè)數(shù)為或．則