高考數(shù)學(xué)各項(xiàng)能力試題與答案探索姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.下列函數(shù)中，定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的是：

A.$y=\sqrt{x^2-1}$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=\log_2(x+1)$

D.$y=\sqrt[3]{x}$

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時(shí)取得最小值，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$a>0$

B.$b=0$

C.$c=0$

D.$a+b+c=0$

3.下列命題中，正確的是：

A.若$a>b$，則$-a<-b$

B.若$a>b$，則$a^2>b^2$

C.若$a>b$，則$\frac{1}{a}>\frac{1}$

D.若$a>b$，則$-a<-b$

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_3=9$，$S_5=25$，則$a_4$的值為：

A.4

B.5

C.6

D.7

5.若復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a$，$b$為實(shí)數(shù)）滿(mǎn)足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是：

A.$y=0$

B.$x=0$

C.$x^2+y^2=1$

D.$x^2-y^2=1$

6.下列函數(shù)中，單調(diào)遞增的是：

A.$y=x^2$

B.$y=2^x$

C.$y=\log_2x$

D.$y=\frac{1}{x}$

7.若$a$，$b$，$c$為等差數(shù)列，且$a+b+c=9$，$ab+bc+ca=27$，則$abc$的值為：

A.27

B.36

C.45

D.54

8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，若$f(x)>0$，則$x$的取值范圍是：

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$

D.$(-1,0)\cup(1,+\infty)$

9.下列命題中，正確的是：

A.若$a>b$，則$a-b>0$

B.若$a>b$，則$a^2>b^2$

C.若$a>b$，則$\frac{1}{a}>\frac{1}$

D.若$a>b$，則$-a<-b$

10.若復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a$，$b$為實(shí)數(shù)）滿(mǎn)足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是：

A.$y=0$

B.$x=0$

C.$x^2+y^2=1$

D.$x^2-y^2=1$

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二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的。（）

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

3.若$|a|=|b|$，則$a=b$或$a=-b$。（）

4.平面向量$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}|\cdot|\vec|$，其中$\vec{a}$和$\vec$為任意兩個(gè)平面向量。（）

5.兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，模長(zhǎng)乘積等于模長(zhǎng)相乘，輻角相加。（）

6.函數(shù)$y=\log_2x$的圖象是關(guān)于直線(xiàn)$y=x$對(duì)稱(chēng)的。（）

7.若$a$，$b$，$c$為等比數(shù)列，且$a+b+c=9$，則$abc$的值等于$3^3$。（）

8.若函數(shù)$f(x)=x^2$在區(qū)間$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f(-x)=(-x)^2$在區(qū)間$[-\infty,0]$上單調(diào)遞增。（）

9.向量$\vec{a}+\vec$的模長(zhǎng)等于向量$\vec{a}$和向量$\vec$的模長(zhǎng)之和。（）

10.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖象在第二象限和第四象限內(nèi)都是連續(xù)的。（）

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三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域，并說(shuō)明其原因。

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，求第$n$項(xiàng)$a_n$和前$n$項(xiàng)和$S_n$的表達(dá)式。

3.設(shè)平面向量$\vec{a}=(2,-3)$，$\vec=(-1,2)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積。

4.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=-1$時(shí)取得極大值，證明：$a<0$且$\frac{2a}=-1$。

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四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數(shù)列極限的概念，并給出數(shù)列極限存在的必要條件和充分條件。

2.論述復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，包括在幾何、物理和工程學(xué)等領(lǐng)域的作用。

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五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=-1$處有極值，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.$a\neq0$

B.$b=0$

C.$c=0$

D.$a+b+c=0$

2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.$f(-x)=-f(x)$

B.$f(x)$是奇函數(shù)

C.$f(x)$是偶函數(shù)

D.$f(x)$既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$10$項(xiàng)$a_{10}$的值為：

A.$a_1+9d$

B.$a_1+10d$

C.$a_1-9d$

D.$a_1-10d$

4.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，則其定義域?yàn)椋?/p>

A.$(-\infty,-1]$

B.$[-1,+\infty)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(-1,+\infty)$

5.若復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a$，$b$為實(shí)數(shù)）滿(mǎn)足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是：

A.$y=0$

B.$x=0$

C.$x^2+y^2=1$

D.$x^2-y^2=1$

6.下列函數(shù)中，單調(diào)遞減的是：

A.$y=x^2$

B.$y=2^x$

C.$y=\log_2x$

D.$y=\frac{1}{x}$

7.若$a$，$b$，$c$為等差數(shù)列，且$a+b+c=9$，$ab+bc+ca=27$，則$abc$的值為：

A.27

B.36

C.45

D.54

8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，若$f(x)>0$，則$x$的取值范圍是：

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$

D.$(-1,0)\cup(1,+\infty)$

9.下列命題中，正確的是：

A.若$a>b$，則$-a<-b$

B.若$a>b$，則$a^2>b^2$

C.若$a>b$，則$\frac{1}{a}>\frac{1}$

D.若$a>b$，則$-a<-b$

10.若復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a$，$b$為實(shí)數(shù)）滿(mǎn)足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是：

A.$y=0$

B.$x=0$

C.$x^2+y^2=1$

D.$x^2-y^2=1$

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題答案：

1.D

2.A

3.D

4.A

5.A

6.C

7.B

8.A

9.D

10.A

解析思路：

1.分析每個(gè)選項(xiàng)的定義域，確定只有D選項(xiàng)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R。

2.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)$a>0$時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，故選A。

3.分析不等式的性質(zhì)，根據(jù)同向不等式相加的規(guī)則，選D。

4.利用等差數(shù)列的性質(zhì)，通過(guò)解方程組求出$a_4$的值。

5.利用復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)等距條件確定軌跡為y軸。

6.分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，選C。

7.利用等比數(shù)列的性質(zhì)，通過(guò)解方程組求出$abc$的值。

8.分析函數(shù)$f(x)$的性質(zhì)，通過(guò)解不等式確定$x$的取值范圍。

9.分析不等式的性質(zhì)，根據(jù)同向不等式相加的規(guī)則，選D。

10.利用復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)等距條件確定軌跡為y軸。

二、判斷題答案：

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

6.×

7.√

8.×

9.√

10.√

解析思路：

1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)不連續(xù)，故不是單調(diào)遞減。

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以通過(guò)首項(xiàng)和公差推導(dǎo)得出。

3.絕對(duì)值相等并不意味著兩個(gè)數(shù)相等，可能相等也可能互為相反數(shù)。

4.向量的點(diǎn)積等于向量的模長(zhǎng)乘積與夾角余弦值的乘積。

5.復(fù)數(shù)相乘的模長(zhǎng)乘積等于模長(zhǎng)相乘，輻角相加是指輻角相加的絕對(duì)值。

6.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象不是關(guān)于直線(xiàn)$y=x$對(duì)稱(chēng)的。

7.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，$abc=(a+b+c)^3/(ab+bc+ca)$。

8.函數(shù)$f(x)=x^2$在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，但$f(-x)=(-x)^2$在$[-\infty,0]$上也是單調(diào)遞增。

9.向量$\vec{a}+\vec$的模長(zhǎng)不一定等于向量$\vec{a}$和向量$\vec$的模長(zhǎng)之和。

10.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在第二象限和第四象限內(nèi)都是連續(xù)的。

三、簡(jiǎn)答題答案：

1.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域?yàn)?x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，因?yàn)楦?hào)下的表達(dá)式必須大于等于0。

2.等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)$a_n=a_1+(n-1)d$，前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$。

3.向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積$\vec{a}\cdot\vec=2\cdot(-1)+(-3)\cdot2=-2-6=-8$。

4.函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=-1$時(shí)取得極大值，則$f'(x)=2ax+b$在$x=-1$時(shí)為0，且$f''(x)=2a$小于0，從而得出$a<0$且$\frac{2a}=-1$。

四、論述題答案：

1.數(shù)列極限的概念是指當(dāng)$n$趨向于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列$\{a_n\}$的項(xiàng)$a_n$趨向于一個(gè)確定的值$A$。必要