第二章方程(組)與不等式(組)考點(diǎn)突破練刷基礎(chǔ)刷易錯(cuò)刷提升刷風(fēng)向考點(diǎn)7一元二次方程考點(diǎn)7刷基礎(chǔ)考向1一元二次方程的概念及根的意義1.

[2024廣東汕頭金平區(qū)校級(jí)一模]下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

x2－2xy＋y2＝0C.(x＋3)(2x－5)＝0D.

x3＋x＋1＝0C1234567891011【解析】選項(xiàng)分析判斷A不是整式方程，故不是一元二次方程不符合題意B含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次方程不符合題意C方程整理得2x2＋x－15＝0，是一元二次方程符合題意D未知數(shù)的最高次數(shù)是3，故不是一元二次方程不符合題意1234567891011方法技巧判斷一元二次方程①化簡后，②一個(gè)未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，④二次項(xiàng)的系數(shù)

不等于0，⑤整式方程.12345678910112.

[2023山東棗莊中考]若x＝3是關(guān)于x的方程ax2－bx＝6的解，則2

023－6a＋2b的值為

?.【解析】∵x＝3是關(guān)于x的方程ax2－bx＝6的解，∴a·32－3b＝6，即3a－

b＝2，∴2023－6a＋2b＝2023－2(3a－b)＝2023－2×2＝2023－4＝

2019.故答案為2019.2

0191234567891011考向2解一元二次方程3.

[2023內(nèi)蒙古赤峰中考]用配方法解方程x2－4x－1＝0時(shí)，配方后正確的是

(

C

)A.(x＋2)2＝3B.(x＋2)2＝17C.(x－2)2＝5D.(x－2)2＝17【解析】∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1，∴x2－4x＋4＝1＋4，∴(x－2)2＝

5.故選C.

C12345678910114.

[2024河南洛陽汝陽一模]方程2x(x－3)＋5(3－x)＝3－x的根是(

C

)A.

x＝2B.

x＝3C.

x1＝3，x2＝2D.

x1＝－2，x2＝3【解析】2x(x－3)＋5(3－x)＝3－x，2x(x－3)－5(x－3)＋x－3＝0，(x－

3)(2x－5＋1)＝0，x－3＝0或2x－5＋1＝0，所以x1＝3，x2＝2.故選C.

C12345678910115.

[2024安徽中考]解方程：x2－2x＝3.【解】x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1.關(guān)鍵點(diǎn)撥解一元二次方程的常用方法解一元二次方程常用的四種方法：直接開平方法、配方法、公式法和因

式分解法.1234567891011考向3一元二次方程根的判別式6.

[2023吉林中考]一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判別式的值是(

C

)A.33B.23C.17【解析】在方程x2－5x＋2＝0中，∵a＝1，b＝－5，c＝2，∴Δ＝b2－4ac

＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17.故選C.

C12345678910117.

[2023北京中考]若關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根，則實(shí)數(shù)m的值為(

C

)A.

－9D.9

C12345678910118.

[2024云南中考]若一元二次方程x2－2x＋c＝0無實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的取值

范圍為

.【解析】∵一元二次方程x2－2x＋c＝0無實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(－2)2－4c＜0，

∴c＞1，故答案為c＞1.c＞11234567891011刷有所得一元二次方程根的判別式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根與Δ＝b2－4ac有如下關(guān)系：當(dāng)

Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.1234567891011考向4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系9.

[2024四川瀘州中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，則(x1－x2)2＋3x1x2的值是

?.

14123456789101110.

[2023湖北襄陽中考]關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；【解】(1)∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝22－4×1×(3－k)

＝－8＋4k＞0，解得k＞2.1234567891011(2)若方程的兩個(gè)根為α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值.

1234567891011考點(diǎn)7刷易錯(cuò)11.

[2024黑龍江龍東地區(qū)中考]關(guān)于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是(

D

)A.

m≤4B.

m≥4C.

m≥－4且m≠2D.

m≤4且m≠2

由一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得到Δ≥0，同時(shí)應(yīng)注意方程的二次項(xiàng)系

數(shù)不為0.D易錯(cuò)警示1234567891011考點(diǎn)7刷提升1.

[2023甘肅蘭州中考，中]關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根，則b2－2(1＋2c)＝(

A

)A.

－2B.2C.

－4D.4【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝

b2－4c＝0，∴b2－2(1＋2c)＝b2－4c－2＝0－2＝－2.故選A.

A12345672.

[2023四川內(nèi)江中考，中]對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b＝

b2－ab，例如：3?2＝22－3×2＝－2，則關(guān)于x的方程(k－3)?x＝k－1的

根的情況，下列說法正確的是(

A

)A.

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.

沒有實(shí)數(shù)根D.

無法確定A1234567【解析】∵(k－3)?x＝k－1，∴x2－(k－3)x＝k－1，∴x2－(k－3)x－k＋1

＝0，∴Δ＝[－(k－3)]2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4＞0，∴關(guān)于x的方程(k

－3)?x＝k－1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.

12345673.

[2024北京門頭溝區(qū)一模，中]已知一元二次方程x2＋ax＋b＝0

有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩根之和為正數(shù)，兩根之積是負(fù)數(shù)，寫出一組符合條件的

a，b的值：

.【解析】∵一元二次方程x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝a2－4b≥0，

∴4b≤a2.∵兩根之和為正數(shù)，兩根之積是負(fù)數(shù)，∴－a＞0，b＜0，∴a＜

0，故a＝－1，b＝－2符合條件.故答案為a＝－1，b＝－2(答案不唯一).a＝－1，b＝－2(答案不唯一)1234567

4

04912345675.

[2024北京石景山區(qū)校級(jí)模擬，中]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋a

－1＝0.(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(1)【證明】∵Δ＝(－a)2－4(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.1234567(2)【解】x2－ax＋a－1＝0，整理得(x－1)[x－(a－1)]＝0，∴x－1＝0或x－(a－1)＝0，∴x1＝1，x2＝a－1.∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，∴a－1＝2×1，解得a＝3，∴a的值為3.(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求

a的值.12345676.

[2024四川遂寧中考，中]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1

＝0.(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(1)【證明】x2－(m＋2)x＋m－1＝0中，a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m

－1，∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2

＋8.∵m2≥0，∴Δ＞0，∴無論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.1234567

1234567關(guān)鍵點(diǎn)撥一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1234567考點(diǎn)7刷風(fēng)向7.

[2024江蘇揚(yáng)州廣陵區(qū)一模，較難]閱讀材料：已知方程x2＋2x－1＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根

的2倍.1234567

1234567(1)已知方程x2－x－3＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別比已知方程

的根大1，則所求方程為

(化為最簡形式)；【解】(1)設(shè)已知方程的其中一個(gè)根為x，所求方程比x大1的根為y，則

y＝x＋1，∴x＝y(tǒng)－1.把x＝y(tǒng)