第1頁/共1頁北京市西城區(qū)2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末試卷高一數(shù)學(xué)本試卷共6頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計算.【詳解】在復(fù)平面對應(yīng)的點是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D2.已知，若，則實數(shù)x=（）A.8 B.-2 C.2 D.-8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量垂直的充要條件即可求解.【詳解】因為，且，所以，解得：，故選：.3.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】，由正弦定理可得，故.故選：B4.平面向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】由圖可知：在方向上的投影為，故，故選：C5.已知是不重合的平面，是不重合的直線，下列命題中不正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特例判斷A，根據(jù)線面垂直的判定定理判斷B，根據(jù)平面平行的判定定理判斷C，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷D.【詳解】對A，兩平面相交時，兩平面外直線平行交線，即滿足，不能得出，故A錯誤；對B，由線面垂直的判定定理，，則，正確；對C，由兩平面平行的判定定理知，，則，正確；對D，由面面垂直的判定定理知，，則，正確.故選：A6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運算及三角函數(shù)恒等變換化簡，利用正弦函數(shù)的值域求解即可.【詳解】由題意，，又，所以，，

所以.故選：A7.如圖，已知正六棱錐的側(cè)棱長為6，底面邊長為是底面上一個動點，，則點所形成區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得，進而可得，分析可知點所形成區(qū)域為以為圓心，半徑為的圓面，即可得面積.【詳解】因為為正六棱錐，則頂點在底面的投影為底面中心，如圖，又因為底面邊長為，則，可得，且，則，可知點所形成區(qū)域為以為圓心，半徑為的圓面，其面積為.故選：B.8.已知函數(shù)和的圖象以每秒個單位的速度向左平移，的圖象以每秒個單位的速度向右平移，若平移后的兩個函數(shù)圖象重合，則需要的時間至少為（）A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象的平移及誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】經(jīng)過時間，平移后可得，平移后可得，由兩函數(shù)圖象重合知，，所以，即，由，可知.故選：B9.已知函數(shù)，“存在，函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性解得，進而根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若存在，函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，因為，且，則，則，解得，又因為是的真子集，所以“存在，函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.10.方波是一種非正弦曲線的波形，廣泛應(yīng)用于數(shù)字電路、定時器、邏輯控制、開關(guān)電源等領(lǐng)域．理想方波的解析式為，而在實際應(yīng)用中多采用近似方波發(fā)射信號．如就是一種近似情況，則（）A.函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)B.函數(shù)的對稱軸為C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的最大值不大于2【答案】D【解析】【分析】計算即可求解A，根據(jù)與的關(guān)系即可求解B，根據(jù)特殊值即可求解C，根據(jù)三角函數(shù)的有界性即可求解D.【詳解】對于A,故A錯誤，對于B，，故也為的一條對稱軸，B錯誤，，，由于，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.復(fù)數(shù)，則__________________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故答案為：.12.已知函數(shù)．若非零實數(shù)，使得對都成立，則滿足條件的一組值可以是______，______．（只需寫出一組）【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期性當(dāng)時，滿足題意.【詳解】若，則，當(dāng)時，，，故可取，故答案為：，答案不唯一13.有一個木制工藝品，其形狀是一個圓柱被挖去一個與其共底面的圓錐．已知圓柱的底面半徑為3，高為5，圓錐的高為4，則這個木質(zhì)工藝品的體積為______；表面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式求木質(zhì)工藝品的體積，根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積公式求木質(zhì)工藝品的表面積.【詳解】由題意可知：這個木質(zhì)工藝品體積為；因為圓錐的母線長為所以這個木質(zhì)工藝品的表面積為.故答案為：；.14.在中，，則______，______．【答案】①.12②.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；（2）利用向量的減法運算化簡，再由數(shù)量積的運算法則求模即可.【詳解】由已知可得，.故答案為：12；15.如圖，在棱長為2的正方體中，點為的中點，點是側(cè)面上（包括邊界）的動點，點是線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①任意點，都有；②存在點，使得平面；③存在無數(shù)組點和點，使得；④點到直線的距離最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】【分析】對于①：可證平面，即可得結(jié)果；對于②：可證平面，即可得結(jié)果；對于③：分析可知，結(jié)合平面性質(zhì)分析判斷；對于④：結(jié)合平面分析可知：當(dāng)平面時，點到直線的距離最小，結(jié)合長度關(guān)系分析求解.【詳解】因為∥，且，可知為平行四邊形.對于①：因為為正方形，則，又因為平面，平面，則，且，平面，可得平面，由平面，則，故①正確；對于②：由①可知：平面，由平面，則，同理可證：，且，平面，可得平面，又因為平面，平面，可知平面與平面相交，所以不存在點，使得平面，故②錯誤；對于③：若，則四點共面，即平面，又因為點側(cè)面，且側(cè)面平面，則，根據(jù)平面的性質(zhì)可知：對任意線段（不包括），均存在，使得，所以存在無數(shù)組點和點，使得，故③正確；對于④：由②可知：平面，由垂線性質(zhì)可知，當(dāng)平面時，點到直線的距離最小，又因為，可知為正三棱錐，點為等邊的中心，此時點到直線的距離為，所以點到直線的距離最小值是，故④正確；故答案：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于空間中動線問題的研究，常常有拓展的思路，把線轉(zhuǎn)為面，研究線面問題，有助于理解判斷.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點．（1）求及的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)任意角的三角函數(shù)值的定義求，再利用倍角公式求；（2）根據(jù)任意角的三角函數(shù)值的定義求，再利用倍角公式、誘導(dǎo)公式運算求解.【小問1詳解】由題意可知：，所以.【小問2詳解】由題意可得：，則，所以.17.在中，分別是三個內(nèi)角的對邊，．（1）求的大??；（2）若，且邊上的高是邊上的高的2倍，求及的面積．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，由二倍角的正弦公式化簡即可得解；（2）由高的關(guān)系得出邊的關(guān)系，再由余弦定理求出，由面積公式求面積即可.【小問1詳解】由正弦定理可得，因為，所以.所以所以因為，所以，，所以，所以，即.【小問2詳解】因為邊上的高是邊上的高的2倍，，所以由等面積法知，所以，所以，所以18.如圖，在三棱柱中，點分別為的中點．（1）求證：平面；（2）已知，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得三棱柱唯一確定，并求解下列問題：條件①：；條件②：；條件③：．（i）求證：；（ii）求三棱錐的體積．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析（2）(i)選條件②③或者①③，證明見解析；（ii）體積為【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證，（2）根據(jù)三棱柱唯一可選擇②③或者①③，即可證明三棱柱為直三棱柱，即可根據(jù)線線垂直證明線面垂直求證，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求證.【小問1詳解】證明：如圖，取的中點為，連接，，則且，在三棱柱中，且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】若選條件①②：由可得四邊形矩形，底面三角形形狀不確定，此時三棱柱不唯一；若選條件②③：由，，平面，故平面，又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，由于平面，平面，則，又，平面，故平面，平面，故,若選條件①③：由可得四邊形為矩形，又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，由于平面，平面，則，又，平面，故平面，平面，故，19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，（i）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（ii）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點的和．【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可以得到，進而得到的解析式；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡，進而利用正弦函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得出零點，即可求和.【小問1詳解】由圖象可知：，將點代入得，∴【小問2詳解】（i）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（ii）令，即，所以或，即或，由可得，零點為，故零點之和為.20.如圖（1），在Rt中，分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）點為線段的中點，線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）答案見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）先證明平面，得到，聯(lián)合，可證；（2）運用等體積法可解；（3）取中點，連接.在上取點，使得，連接.證明即可證明平面，即找出了滿足題意的點.【小問1詳解】如圖所示，根據(jù)題意，，且平面，則平面，平面，則.又已知.，平面，則平面.【小問2詳解】如圖所示，連接.設(shè)點到平面的距離．由翻折前狀態(tài)，可知.由（1）知道，，則，則．由（1）知道，，.由平面.等體積法知道.即.代入化簡得到，則，則點到平面的距離.【小問3詳解】存在，.如圖所示，取中點，連接.在上取點，使得，連接.由于點為線段的中點，則，.又．則，，則四邊形為平行四邊形．則，平面，平面，則平面.此時．21.若存在實數(shù)和周期函數(shù)，使得，則稱是好函數(shù)．（1）判斷是否是好函數(shù)，證明你的結(jié)論；（2）對任意實數(shù)，函數(shù)滿足．若是好函數(shù)，（i）當(dāng)時，求；（ii）求證：不是周期函數(shù)；（iii）求證：是好函數(shù)．【答案】（1）是好函數(shù)，不是好函數(shù)，證明見解析；（2）（i）（ii）證明見解析（iii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)好函數(shù)的定義直接判斷即可；（2）（i）由所給條件直接得出（ii）假設(shè)函數(shù)為周期函數(shù)，推出矛盾可證明函數(shù)不是周期函數(shù)（iii）證明函數(shù)為好函數(shù)轉(zhuǎn)化為證明為周期函數(shù)，再由函數(shù)周期的性質(zhì)化簡即可得證.【小問1詳解】因為，其中為周期函數(shù)，所以為好函數(shù)，、若為好函數(shù)，則存在實數(shù)和周期函數(shù)，使得，所以為周期