第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江西省宜春一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，且Δx→0limf(xA.?3 B.?2 C.?32 2.若數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，則“{an}A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知數(shù)列{an}滿足an+1?an=1，若A.28 B.13 C.18 D.204.在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，若a3是ax與ayA.32 B.53 C.655.在等比數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f(x)=A.?4 B.?3 C.3 D.46.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(shí)，以下說(shuō)法正確的是(

)A.f′(x)+g′(x)>0 B.f′(x)?g′(x)>0

C.f′(x)g′(x)>0 D.f′(x)7.已知函數(shù)f(x)=nx+lnx(n∈N?)的圖象在點(diǎn)(1n,f(1n))處的切線的斜率為anA.1n+1 B.3n2+5n2(n+1)(n+2) 8.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，且f(1)=1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)?2f(x)>0，則不等式e2f(ln(x?1))<(x?1A.(1,e) B.(1,e+1) C.(e,e+1) D.(e+1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnA.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則{Snn}也是等差數(shù)列

B.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則S2，S4?S2，S6?S4，…為等差數(shù)列

C.若數(shù)列{10.已知函數(shù)f(x)=x2+x?1eA.函數(shù)f(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值

C.當(dāng)?e<k≤0時(shí)，方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根

D.若x∈[t,+∞)時(shí)，f(x)max=511.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，aA.數(shù)列{an+1?an}為等比數(shù)列 B.數(shù)列{a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè){an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.若a313.若不等式x2?2lnx+m≤0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．14.已知數(shù)列{an}滿足an?(?1)n四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=3an?2．

(1)求數(shù)列{an}16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x2?10x+3f′(1)lnx．

(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)求f(x)17.(本小題15分)

傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，把按照下圖排列規(guī)律的數(shù)1，5，12，22，…，稱為五邊形數(shù)，記五邊形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2?bn．

(1)求數(shù)列{an}，18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2?1+aln(1+x)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

(2)當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)任意x∈(?1,+∞)，不等式f(x)+x+2≤be19.(本小題17分)

對(duì)于數(shù)列{xn}如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得對(duì)任意n(n∈N?)，都有xn+m=xn成立，那么就把這樣的一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期．

(1)判斷數(shù)列xn=|sinnπ2|是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由．

(2)已知無(wú)窮數(shù)列{an}是周期為2的周期數(shù)列，且a1=3，a2=1，Sn是數(shù)列參考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.B

7.C

8.B

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.45

13.(?∞,?1]

14.3

15.解：(1)∵an+1=3an?2?an+1?1=3(an?1)，

∴數(shù)列{an?1}是以a16.解：(1)由f(x)=x2?10x+3f′(1)lnx，得f′(x)=2x?10+3f′(1)x，

則切線的斜率k=f′(1)=?8+3f′(1)，解得f′(1)=4，

所以f(x)=x2?10x+12lnx，f(1)=?9，

所以切線方程為y=4x?13．

(2)由(1)知，函數(shù)f(x)=x2?10x+12lnx，定義域?yàn)?0,+∞)，

則f′(x)=2x?10+12x=2(x?2)(x?3)x，

當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)2<x<3時(shí)，f′(x)<0，

因此函數(shù)f(x)在(0,2)，(3,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值f(2)=?16+12ln2，

當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取得極小值f(3)=?21+12ln3，

17.解：(1)由題意可知an=1n=1an?1+3n?2n≥2，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an?an?1=3n?2；

累加得an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+?+(an?an?1)=a1+3(2+3+4+?+n)?2(n?1)，

=1+3(n?1)(n+2)2?2(n?1)=1+(n?1)(3n+2)2=3n2?n2(n≥2)，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1滿足上式．

∴an=3n2?n18.解：(1)函數(shù)f(x)=x2?1+aln(1+x)(x>?1)，

f′(x)=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1，

當(dāng)Δ=4?8a≤0，即a≥12時(shí)，f′(x)≥0，則f(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)Δ=4?8a>0，即a<12時(shí)，令f′(x)=0，得x1=?1?1?2a2，x2=?1+1?2a2，

當(dāng)a≤0時(shí)，x1≤?1，x2>?1，∴f(x)在(?1,x2)上單調(diào)遞減，在(x2,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<12時(shí)，x1>?1，x2>?1，∴f(x)在(?1,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減．

綜上所述：當(dāng)a≥12時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1+1?2a2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,?1+1?2a2)；

當(dāng)0<a<12時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,?1?1?2a2)，(?1+1?2a2,+∞)，

單調(diào)遞減區(qū)間為(?1?1?2a2,?1+1?2a2)；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，不等式可化為x2?1+2ln(1+x)+x+2≤bex+lnb，

變形為x2+2x+1+2ln(1+x)≤bex+lnb+x?(x+1)2+ln(1+x)2≤bex+ln(bex)，

同構(gòu)函數(shù)g(t)=t+lnt，求導(dǎo)得g′(t)=1+1t>0，

所以g(t)=t+lnt在(0,+∞)上是增函數(shù)，而原不等式可化為g((x+1)2)≤g(bex)，

根據(jù)單調(diào)性可