第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市大興區(qū)高二（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若Δx→0limf(1+Δx)?f(1)Δx=2，則A.?1 B.0 C.1 D.22.已知等比數(shù)列{an}滿足a1=1，aA.?8 B.?16 C.8 D.163.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，aA.5 B.10 C.11 D.124.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的極小值點(diǎn)是(

)A.?1 B.0 C.1 D.25.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=nA.公差為2的等差數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列

C.公比為2的等比數(shù)列 D.公比為3的等比數(shù)列6.設(shè){an}為等比數(shù)列，則“存在i>j>k，使得ai>aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)f(x)=x3?3x+a有唯一零點(diǎn)，則a的取值范圍是A.(?2,2) B.(?∞,?2)∪(2,+∞)

C.(2,+∞) D.(?∞,?2)8.若a1，a2，a3，a4，a5是等差數(shù)列，1和3為此等差數(shù)列中的兩項(xiàng)，則A.4 B.0 C.?3 D.?69.設(shè)曲線f(x)=x2?1(x>0)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t)，則當(dāng)S(t)取得最小值時(shí)，t的值為A.33 B.12 C.210.在下列不等式中，當(dāng)k≥1時(shí)，關(guān)于x的不等式對(duì)任意的x∈(0,+∞)不能恒成立的是(

)A.kx>sinx B.kx>x?x3 C.kx>1?e二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+12.將原油精煉為汽油、柴油等各種產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.已知在第x?時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為f(x)=x2?7x+15(0≤x≤8)，則第3?時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為______℃/?13.已知a1，a2，a3是公比不為1的等比數(shù)列，將a1，a2，a3調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則滿足條件的一組a114.已知函數(shù)f(x)=x?aex(a∈R).當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=______；若曲線y=f(x)有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則15.已知函數(shù)f(x)=x?1,0<x≤1,x?1,x>1.數(shù)列{an}滿足a1>0，當(dāng)n≥2時(shí)，an=f(an?1).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若a1=2，則a2=a5；

②若a3=2，則a1可能有4個(gè)不同的取值；

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+3x2．

(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[?2,1]上的最值；

(Ⅱ)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出f(x)的大致圖象；

(Ⅲ)直接寫出一個(gè)a值，使f(x)17.(本小題14分)

已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=10，a4?a3=?2．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}18.(本小題14分)

已知無窮數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1．

(Ⅰ)求b1，b2的值；

(Ⅱ)證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，寫出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)19.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=(x2?a)ex．

(Ⅰ)若f′(0)=1，求a的值；

(Ⅱ)設(shè)a∈R，討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(Ⅲ)若f(x)在區(qū)間20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx．

(Ⅰ)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l．

(i)求切線l的方程；

(ii)證明：除切點(diǎn)外，曲線y=f(x)在切線l的下方；

(Ⅱ)設(shè)m>0，令函數(shù)g(x)=f(x)?f(m)x?m，求函數(shù)g(x)21.(本小題15分)

給定項(xiàng)數(shù)為n(n≥3)的數(shù)列{xn}，若數(shù)列{xn}滿足|xm+1?xm|≤|xm+1?xm+2|(m=1,2,…,n?2)，則稱數(shù)列{xn}具有性質(zhì)P，定義ak=|xk+1?xk|(k=1,2,…,n?1)．

(Ⅰ)判斷數(shù)列1，2，4，6是否具有性質(zhì)P，并說明理由；

(Ⅱ)若數(shù)列{xn}參考答案1.D

2.C

3.B

4.D

5.A

6.B

7.B

8.D

9.A

10.D

11.5

12.?1

第3?附近，原油溫度大約以1℃/?的速率下降

13.1，?2，4(答案不唯一)

14.1?xex

15.①③④

16.解：(I)f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，

因?yàn)?2≤x≤1，

當(dāng)?2≤x≤0時(shí)，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x≤1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

故x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值f(0)=0，

因?yàn)閒(?2)=4，f(1)=4，

故函數(shù)的最大值為4，最小值為0；

(Ⅱ)當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，當(dāng)x→?∞時(shí)，f(x)→?∞，

f(x)的大致圖象如圖所示：

(Ⅲ)當(dāng)a<?2<a+5，即?7<a<?2時(shí)，f(x)在區(qū)間(a,a+5)存在最大值，

故符合題意的一個(gè)a為?5(答案不唯一)．17.解：(Ⅰ)等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=10，a4?a3=?2，

設(shè)公差為d，則2a1+4d=10，d=?2，

解得a1=9，d=?2，

即有an=9?2(n?1)=11?2n；

(Ⅱ)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n(9+11?2n)=?n2+10n=?(n?5)2+25，

可得n=5時(shí)，Sn取得最大值25；

(Ⅲ)若等比數(shù)列{bn}滿足b2=a4，b18.解：(Ⅰ)無窮數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1，

可得b1=a1+1=2，b2=a2+1=2+1+1=4；

(Ⅱ)證明：由an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，

即bn+1=2b19.解：(Ⅰ)由函數(shù)f(x)=(x2?a)ex，得f′(x)=(x2+2x?a)ex.因?yàn)閒′(0)=1，所以a=?1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=(x2+2x?a)ex，令f′(x)=(x2+2x?a)ex=0，

由ex>0，解得x2+2x?a=0.①當(dāng)a≤?1時(shí)，即Δ=4+4a≤0，此時(shí)x2+2x?a≥0，

則f′(x)≥0，所以f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增，故沒有極值點(diǎn)．

②當(dāng)a>?1時(shí)，即Δ=4+4a>0，x2+2x?a=0，有兩個(gè)不等的實(shí)根x1=?1?1+a,x2=?1+1+a．

所以在(?∞,?1+1+a)和(?1+1+a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

在(?1?1+a,?1+1+a)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．

所以x1=?1?1+a是f(x)的極大值點(diǎn)，x2=?1+1+a是f(x)的極小值點(diǎn)．

綜上，當(dāng)a<?1時(shí)，f(x)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a≥?1時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)．

(Ⅲ)若f(x)在區(qū)間(1,2)上存在極值，由(Ⅱ)知，

需滿足1<?1+1+a<2，解得3<a<8，所以a的取值范圍是(3,8)．

20.解：(Ⅰ)(i)由已知，f(x)=lnx，f′(x)=1x，

所以f(1)=0，f′(1)=1，則切線方程為y?0=x?1，即x?y?1=0；

(ii)證明：等價(jià)于要證lnx≤x?1在(0,+∞)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

設(shè)?(x)=x?lnx?1，則?′(x)=1?1x=x?1x，

x∈(0,1)時(shí)，?′(x)<0，?(x)遞減，x∈(1,+∞)時(shí)，?′(x)>0，?(x)遞增，

所以?(x)min=?(1)=0，故x?lnx?1≥0恒成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

即lnx≤x?1在(0,+∞)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，原命題得證；

(Ⅱ)由已知，g(x)=lnx?lnmx?m，m>0，x>0且x≠m，

所以g′(x)=1x(x?m)?(lnx?lnm)(x?m)2=x?m?xlnx+xlnmx(x?m)2，m>0，x>0且x≠m，

設(shè)φ(x)=x?m?xlnx+xlnm，則φ′(