2025屆江西省鷹潭市高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)模擬試題（二模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（

）A．4 B． C．1 D．3．若，，則（

）A． B． C． D．4．在2019年中共政治局第十八次集體學(xué)習(xí)中，他提出：“把區(qū)塊鏈作為核心技術(shù)自主創(chuàng)新的重要突破口”，“區(qū)塊鏈技術(shù)”作為一種新型的信息技術(shù)，已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于人們的生活中．在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長度為128比特，則密碼一共有種可能性，因此為了破譯此密碼，最多需要進(jìn)行次運(yùn)算．現(xiàn)在有一臺機(jī)器，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，假設(shè)這臺機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn)，則這臺機(jī)器破譯長度為128比特的密碼所需要的最長時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒5．若非零向量滿足，且向量與向量的夾角，則的值為（

）A． B．0 C． D．66．2025年春節(jié)期間，有《封神》《哪吒》《神雕英雄傳》《熊出沒》《唐探1900》五部電影上映，小李和另外3名同學(xué)去隨機(jī)觀看這五部電影，則小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方式共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種7．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則AC邊上的高的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．圖象的一個(gè)對稱中心為C．當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，，D．將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，可得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象10．已知三棱柱為正三棱柱，且，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．四面體外接球的表面積為C．若，則異面直線與所成的角為D．若過且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為11．若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的均滿足：，，記，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則含的項(xiàng)的系數(shù)為．13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值12時(shí)，面積的最大值為．14．若為一個(gè)有序?qū)崝?shù)組，其中，表示把中每個(gè)都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項(xiàng)為1，則的前2025項(xiàng)和為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；16．如圖1，等腰梯形是由三個(gè)全等的等邊三角形拼成，現(xiàn)將沿BC翻折至，使得，如圖2所示．(1)求證：；(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線BM與平面APD所成角的余弦值為？若存在，求出的值：若不存在，說明理由．17．為落實(shí)食品安全的“兩個(gè)責(zé)任”，某市的食品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻(xiàn)策.為保證政策制定的公平合理性，兩個(gè)部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個(gè)部門分別獨(dú)立發(fā)出邀請的專家名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門均邀請2位專家，收到食品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會議.(1)設(shè)參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)為增強(qiáng)政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個(gè)部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補(bǔ)充意見.已知這兩個(gè)部門的邀請相互獨(dú)立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門都各自邀請了20名代表，假設(shè)收到食品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會，請利用極大似然估計(jì)法估計(jì)參加會議的群眾代表的人數(shù).（附：極大似然估計(jì)（MLE）即最大概率估計(jì)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)用于估算模型參數(shù)的方法，通過觀察數(shù)據(jù)使樣本出現(xiàn)的概率最大化，即當(dāng)時(shí)，概率取得最大值，則X的估計(jì)值為）18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為（?。┤?，求出的值；（ⅱ）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積S的最大值．19．對于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列．記，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，……，一般地，對于，記，規(guī)定：，，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列．(1)已知，，求，，，；(2)已知，若，且對恒成立，求的取值范圍；(3)已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列，的前項(xiàng)和為，證明：．

答案1．【正確答案】C【詳解】，，則.故選C.2．【正確答案】D【詳解】由題意可得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，即為純虛數(shù)，所以，解得.故選D.3．【正確答案】A【詳解】，即，整理可得，因?yàn)?，，所以，所?故選A4．【正確答案】B【詳解】設(shè)所需時(shí)間為t秒，則，則，即，秒.故選B．5．【正確答案】B【詳解】由有，所以，所以，故選B.6．【正確答案】D【詳解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影，有兩人看《哪吒》，則有種方案，有一人看《哪吒》電影，則有種方案，即滿足小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有種方案.故選D.7．【正確答案】B【詳解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因?yàn)?，所以，，所以，所以，又因?yàn)檫吷系母?，所以．故選B.8．【正確答案】A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在R上單調(diào)遞增，，即，方程，即，于是，即，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，取極小值；當(dāng)時(shí)，取極大值為，而當(dāng)或時(shí)，恒有，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，觀察圖象得，原方程有三個(gè)不同實(shí)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選A.9．【正確答案】BD【詳解】有圖有，，即，由，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，對于A：，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B正確；對于C：當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D：將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得，故D正確.故選BD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A：在正三棱柱中有面，平面，則，為的中點(diǎn)，，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于B：四面體外接球即為正三棱柱外接球，因?yàn)橥饨訄A的半徑為，則有，即，且，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，設(shè)正三棱柱的高為，則由得，故其表面積為，故B正確；對于C：將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示的直四棱柱，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，，，，，，，所以，即，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到底面距離的最大，且最大值為，因?yàn)?，所以此時(shí)點(diǎn)在線段上，符合條件，所以三棱錐的體積的最大值為，故D正確；故選ABD．11．【正確答案】ACD【詳解】令，得，即，故A正確；對于選項(xiàng)B：令，可得，解得，令，，可得，所以的圖象不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令，所以，所以，所以，所以，則，所以，，，累加得：，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，，又，所以，設(shè)，則，所以，所以即，故D正確．故選ACD．12．【正確答案】【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，則，則.則二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，令，解得，則含的項(xiàng)的系數(shù)為.13．【正確答案】18【詳解】由題意得，故，如圖所示，

則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，而到漸近線的距離，所以的最小值為，所以，即，當(dāng)，時(shí)，等號成立，又，故，所以，即面積的最大值為18．14．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，依題意得，，，顯然，中有2項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，中有4項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，中有8項(xiàng)，其中3項(xiàng)為，3項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，由此可得中共有項(xiàng)，其中1和的項(xiàng)數(shù)相同都為，設(shè)中有項(xiàng)為0，所以，，從而①，因?yàn)楸硎景阎忻總€(gè)都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①＋②得，③，所以④，所以的前2025項(xiàng)和為:.15．【正確答案】(1)；(2)．【詳解】（1），，而，，所以在處的切線方程為：（2）由題意得：恒成立，因?yàn)?，所以問題等價(jià)于在時(shí)恒成立，令，，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，則函數(shù)，故．16．【正確答案】(1)證明見解析(2)5或【詳解】（1）在圖1連接交于點(diǎn)，在圖2中，易知、都是等邊三角形，易得，，又，，平面，可得平面；又直線平面，所以．（2）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)，符合題意．設(shè)，則，則在中，由，，由余弦定理得，由（1）得直線平面，又，直線平面，平面，平面平面作，垂足為，則平面，在，由，，所以如圖3，取中點(diǎn)，連接，由，，得四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫?，所以平面，則直線與平面所成角為，且．由已知，即，由，得在中，設(shè)，由余弦定理得即，解得或所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，此時(shí)或解法二（向量法）設(shè)，則，則在中，由，，由余弦定理得，作，垂足為，連接，得，，如圖3，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，因此，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則；即向量，設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，此時(shí)或17．【正確答案】(1)分布列見解析，(2)36【詳解】（1）的可能取值為，則，，，則的分布列為234.（2）設(shè)食品監(jiān)督管理部門邀請的代表記為集合，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請的代表為集合，則收到兩個(gè)部門邀請的代表的集合為.設(shè)參加會議的群眾代表的人數(shù)為Y，則．設(shè)，則，，，，同理：，令，得，即，解得，又，所以，故由極大似然估計(jì)知參加會議的群眾代表的人數(shù)為36.18．【正確答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）由題意知，則，又，，又，，解得，，，所以橢圓的方程為.

（2）（?。┰O(shè)直線的方程為，其中，且，即，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，，聯(lián)立方程組整理得，，所以，，（ⅰ），即，（ⅱ）法一：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，令，得，故聯(lián)立方程組整理得，解得或0（舍），，所以的面積，由（?。┛芍?，故，代入上式，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在軸下方且不在軸上，故或，得，所以，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故只需考慮，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，不等式取等號，所以的面積的最大值為．法二：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，令，得，故，由（?。┛芍?，，故，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故的面積，其中為點(diǎn)到直線的距離，思路1

顯然，當(dāng)過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓相切時(shí)，取最大值，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組整理得，據(jù)，解得（正舍），所以平行直線與直線之間的距離為，即的最大值為，所以的面積的最大值為．思路2

因?yàn)橹本€的方程為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，故，設(shè)，，不妨設(shè)，所以，當(dāng)，，時(shí)，，即的面積的最