廣西南寧市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)模擬試題（三模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，則（

）A． B． C．1 D．3．若函數(shù)在區(qū)間上有，則的遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．已知集合，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．3 C．2 D．15．已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，過橢圓左焦點(diǎn)且平行于直線的直線交軸于點(diǎn).若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．8名同學(xué)站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值508．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，是正方體表面上的一點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的最大值是（

）

A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一個(gè)袋中有大小?形狀完全相同的3個(gè)小球，顏色分別為紅?黃?藍(lán)，從袋中先后無放回地取出2個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件，則（

）A． B．為互斥事件C． D．相互獨(dú)立10．已知函數(shù)，對(duì)于任意，有，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上共有6個(gè)極值點(diǎn)11．已知函數(shù)的定義域和值域均為，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 D．為奇函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，則此圓錐的體積為．13．在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為.14．設(shè)．將這三者中的最大值記為．當(dāng)變化時(shí)，的最小可能值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列滿足．(1)若數(shù)列滿足，證明：是常數(shù)數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．16．某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.(1)求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；(2)已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)17．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)證明：平面；(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平面與平面的夾角為，求的取值范圍.18．如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.19．設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，則稱為“含谷函數(shù)”，為“谷點(diǎn)”，稱為的一個(gè)“含谷區(qū)間”．(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由：（i），（ii）；(2)已知實(shí)數(shù)，是含谷函數(shù)，且是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求的取值范圍；(3)設(shè)，．設(shè)函數(shù)是含谷函數(shù)，是它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為．若，且，求的最小值．

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選:C.2．【正確答案】A【詳解】由，解得，所以.故選：A.3．【正確答案】A【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，所以的遞增區(qū)間為.故選：A．4．【正確答案】C【詳解】集合A表示直線上的所有點(diǎn)的集合，集合B表示圓上所有點(diǎn)的集合，因?yàn)閳A心到直線的距離為，等于圓的半徑，故直線與圓相切，故中只有一個(gè)元素，故的子集個(gè)數(shù)為．故選：C.5．【正確答案】D【詳解】由橢圓：的方程可得：，其中，則，過橢圓左焦點(diǎn)且平行于直線的直線方程為：，將代入該直線方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則，得.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】由題意可知：D站在前排，A站在后排，若E和F站在前排，則不同的排列方式共有；若E和F站在后排，則不同的排列方式共有；所以不同的排列方式共有種.故選：C.7．【正確答案】B【詳解】由可得，因則等差數(shù)列的公差，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值25.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】連接，在正方體中，平面，四邊形是正方形，因?yàn)槠矫?，所以，又，，且平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以?dāng)點(diǎn)P在線段（點(diǎn)除外）時(shí)，，取的中點(diǎn)E，連接，在正方形中，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，設(shè)平面平面，則，所以，則是棱的中點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)在正方體的表面線段上時(shí)，,由題意可知，在梯形中，，，，，所以線段長(zhǎng)度的最大值是.

故選：C9．【正確答案】AC【詳解】正確；可同時(shí)發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球”，不互斥，錯(cuò)誤；在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為正確；不獨(dú)立，D錯(cuò)誤；故選：AC.10．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)?，所以，因此，從而，注意到，故，所以，又，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而，即，，所以，又，所以，所以，所以的最小正周期為，A正確．因?yàn)?，所以函?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確．令，得,令,得,故,易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上共有6個(gè)極值點(diǎn)，D正確．故選：ACD．11．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于，令，則，因，故得，故A正確；對(duì)于由，令，則，則，即，故是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則①，把都取成，可得②，將②式代入①式，可得，化簡(jiǎn)可得即為奇函數(shù)，故D正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，函數(shù)為奇函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，但是不能判斷在定義域上的單調(diào)性，例如，故C錯(cuò)誤.故選：BC.12．【正確答案】【詳解】圓錐的側(cè)面展開恰為一個(gè)半徑為4的半圓，所以圓錐的底面周長(zhǎng)為：，底面半徑為：2，圓錐的高為：；圓錐的體積為：故答案為13．【正確答案】/【詳解】設(shè)中點(diǎn)為M，則，，由，知P點(diǎn)軌跡是以為弦，圓周角為的優(yōu)弧，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)是等邊三角形，則.故答案為.14．【正確答案】【詳解】不妨設(shè)，則只需考慮及兩種情形．若，則，則；若，即，即，則，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值．故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以是常?shù)數(shù)列．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以?6．【正確答案】(1)0.94，相關(guān)性較強(qiáng)．(2)見解析【詳解】（1）樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)為．由于相關(guān)系數(shù),，則相關(guān)性很強(qiáng)，的值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．故，故相關(guān)性越強(qiáng)．（2）由題意得：的可能取值為0，1，2，20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，有12個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量不低于樣本平均數(shù)，所以，，，所以的分布列為：01217．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在梯形中，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則．，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，是平面的一個(gè)法向量，，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值．．

18．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為.（2）[方法一]：通式通法設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)?，故，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．由得，所以．因?yàn)椋?，．由得．同理．由得．因?yàn)椋约矗剩?，則．所以，解得或或．故直線在x軸上的截距的范圍為．[方法三]【最優(yōu)解】：設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即．所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)直線的方程為，則．所以．故（其中）．所以．因此直線在x軸上的截距為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要是處理共線的線段長(zhǎng)度問題，主要方法是長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).方法一：主要是用坐標(biāo)表示直線，利用弦長(zhǎng)公式將線段長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.方法二：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得直線的斜率之和為0，再利用線段長(zhǎng)度關(guān)系即為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.方法三：利用點(diǎn)在拋物線上，巧妙設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，借助于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，這樣有助于減少變?cè)?，再將所求?gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.19．【正確答案】(1)是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；不是含谷函數(shù)，證明見解析.(2)(3)【詳解】（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；函數(shù)，求導(dǎo)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，所以不是含谷函數(shù).（2）由題意可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先減后增，且存在谷點(diǎn)，令，所以，設(shè)，所以，由可知恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿足谷點(diǎn)，則有，解得，故