高等數(shù)學(xué)上冊試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價無窮小D.等價無窮小3.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)4.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)是\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.設(shè)\(y=\cosx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)6.曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x-2\)D.\(y=-3x+2\)7.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)8.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.39.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)10.下列函數(shù)中，在區(qū)間\([-1,1]\)上滿足羅爾定理條件的是（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=x\)D.\(y=|x|\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(1+x^2)\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的定義式為（）A.\(f^\prime(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)B.\(f^\prime(x_0)=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)C.\(f^\prime(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\Deltax)}{\Deltax}\)D.\(f^\prime(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)4.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)5.下列積分值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}xdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)6.函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點可能是（）A.駐點B.不可導(dǎo)點C.端點D.間斷點7.下列說法正確的有（）A.若\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)單調(diào)遞增B.若\(f^\prime(x)<0\)，則\(f(x)\)單調(diào)遞減C.若\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，則\(f(x)\)的圖形是凹的D.若\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，則\(f(x)\)的圖形是凸的8.下列屬于不定積分性質(zhì)的有（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)9.定積分的幾何意義可以表示（）A.曲邊梯形的面積B.曲邊梯形面積的代數(shù)和C.平面圖形的面積D.旋轉(zhuǎn)體的體積10.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.多項式函數(shù)B.三角函數(shù)C.指數(shù)函數(shù)D.對數(shù)函數(shù)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域為空集。（）2.無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量。（）3.若\(f(x)\)在點\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）4.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\cosx\)，則\(y^{\prime\prime}=-\sinx\)。（）5.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)。（）6.不定積分\(\intf(x)dx\)表示\(f(x)\)的某一個原函數(shù)。（）7.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)的極大值一定大于極小值。（）9.曲線\(y=f(x)\)在某點處的曲率越大，曲線在該點處越彎曲。（）10.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定可微。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)。-答案：令\(t=e^x-1\)，則\(x=\ln(1+t)\)，當(dāng)\(x\to0\)時，\(t\to0\)，原極限化為\(\lim_{t\to0}\frac{t}{\ln(1+t)}=1\)。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。3.計算不定積分\(\intx^2dx\)。-答案：由不定積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），可得\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)。4.用定積分求由\(y=x^2\)，\(x=1\)，\(x=2\)及\(x\)軸所圍成圖形的面積。-答案：該圖形面積\(S=\int_{1}^{2}x^2dx\)，由定積分公式得\(S=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性與凹凸性。-答案：\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}<0\)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減；\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}>0\)，在\((0,+\infty)\)上圖形是凹的。2.討論極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)存在的原因。-答案：因為\(\sinx\)是有界變量，\(|\sinx|\leq1\)，而當(dāng)\(x\to\infty\)時，\(\frac{1}{x}\)是無窮小量，無窮小量與有界變量乘積是無窮小量，所以\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)。3.討論函數(shù)\(f(x)\)在某點處可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系。-答案：可導(dǎo)與可微等價，可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。即若\(f(x)\)在某點可導(dǎo)，則在該點可微且連續(xù)；若\(f(x)\)在某點連續(xù)，不一定在該點可導(dǎo)、可微。4.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計算常通過求不定積分，利用牛頓-萊布尼茨公式求解。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，定積分是一個數(shù)值，不定積分關(guān)注函數(shù)的全體原函數(shù)，定積分側(cè)重于區(qū)間上函數(shù)的積累值。答案