2024-2025學年遼寧省沈陽七中八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在2024年巴黎奧運會上，中國體育代表隊獲得40金、27銀和24銅共91枚獎牌，創(chuàng)造了中國參加境外奧運會的最佳戰(zhàn)績.以下是巴黎奧運會部分項目的圖標，其中是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.若a>b，則下列各式中一定成立的是(

)A.a?2<b?2 B.?3a<?3b C.12a>b 3.下列各式從左到右的變形是因式分解的是(

)A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+2)+1

C.4.用反證法證明“在△ABC中，AB=AC，則∠ABC<90°”時，應先假設(shè)(

)A.∠ABC≠90° B.AB≠AC C.∠ABC>905.如圖，點A、B的坐標為(1,0)、(0,2)，將AB平移到A'B'，已知A'坐標為(3,1)，則點B'的坐標為(

)A.(3,3)B.(3,2)

C.(2,3)D.(4,3)6.已知不等式ax+b<0的解是x>?2，下列有可能是函數(shù)y=ax+b的圖象的是(

)A. B.

C. D.7.兩個完全一樣的三角板如圖擺放，它們的頂點重合于點M，則點M一定在(

)A.∠A的平分線上

B.AC邊的高上

C.BC邊的垂直平分線上

D.AB邊的中線上8.若一個正多邊形的每個內(nèi)角均為108°，則這個多邊形是(

)A.正四邊形 B.正五邊形 C.正六邊形 D.正八邊形9.如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，下列條件能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(

)A.AD=BC，OB=OD

B.AB=CD，AC=BD

C.AB//CD，OA=OC

D.AB=CD，BC//AD10.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，EF和BC交于點O；②以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D；③分別以點D，C為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，連接AM，AM和CD交于點N，連接ON.若AB=18，AC=10，則ONA.2 B.52 C.4 D.9二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若等腰三角形的周長為18，一邊長為4，則其腰長是______.12.隨著幾代航天人的努力，我國在載人航天領(lǐng)域取得了非凡的成就.某校航空興趣小組利用課后服務時間開展了航空航天知識競賽，共有20道題目，答對一題得5分，答錯一題扣3分，小穎的得分在76分以上，則她至少答對了______道題.13.如圖，為了測量某工件的內(nèi)槽寬，把兩根鋼條OA、OB的端點O連在一起，點C、D分別是OA、OB的中點.經(jīng)測得CD=5.5cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長為______cm.14.如圖，將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到△DEF，若∠AOC=80°，∠COD=10°15.如圖，線段AB與線段CD相交于點O，AC=3，BD=4，AB=8，∠AOC=30°，∠ACD+∠ABD=240°，則線段CD的長為______

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

分解因式：

(1)6x2?12xy+6y17.(本小題8分)

(1)解不等式：x3?1<x?32；

(2)18.(本小題8分)

如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點，僅用無刻度的直尺完成下列作圖.

(1)在圖①中畫出△ABC向右平移4個單位后的圖形△A1B1C1(注意標上字母)；

(2)連接AA1，BB1，線段AA1和BB1的關(guān)系是______；

(3)在圖②中畫出△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B19.(本小題8分)

【概念呈現(xiàn)】

設(shè)一個鈍角三角形的兩個銳角為α與β，如果2α+β=90°，那么我們稱這個鈍角三角形是倍余三角形，這個銳角α叫做這個三角形的倍余角.

【特例感知】

(1)若一個三角形的三個內(nèi)角分別為15°，60°和105°，則這個三角形______(填寫“是”或“不是”)倍余三角形.

【深入探究】

(2)若一個等腰三角形是倍余三角形，則這個三角形的倍余角的度數(shù)為______°.

【拓展延伸】

(3)在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=36°20.(本小題8分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC邊上，且AD=DE，點F為線段DE上一點，且∠AFD=∠C.求證：AF=DC.21.(本小題8分)

在學習完“因式分解”后，為了開拓學生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：

因式分解：x2?xy+6x?6y.下面是甜甜的解法：

解：x2?xy+6x?6y

=(x2?xy)+(6x?6y)(分組)

=x(x?y)+6(x?y)(提公因式)

=(x?y)(x+6).

請利用上述方法，解答下列各題：

(1)因式分解：m2?2m+2n?mn；

(2)已知△ABC的三邊a，22.(本小題12分)

問題探究：同學們在學習了函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系后，某學習小組同學想要研究不等式組?1<?2|x?1|+5≤3的解集，請按照該組同學的探究思路完成以下問題：

首先令y=?2|x?1|+5，再通過列表、描點、連線的方法作出該函數(shù)的圖象并對其性質(zhì)進行了探究.

如表y與x的幾組對應值：x…?4?3?2?101234…y…?5?3?113531?1…(1)如圖，在平面直角坐標系中，描出以表中各對對應值為坐標的點，并根據(jù)描出的點，請你畫出該函數(shù)的圖象；并觀察函數(shù)y=?2|x?1|+5的圖象，當x>1時，y隨x的增大而______；(填“增大”“減小”或“不變”)

(2)若A(m,n)，B(6,n)為該函數(shù)圖象上不同的兩點，則m=______；

(3)當?1<?2|x?1|+5≤3時，自變量x的取值范圍是______；

(4)定義min(x,y)=x(x≤y)y(x>y)，例如min(2,3)=2，min(a23.(本小題13分)

【問題初探】

在數(shù)學活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AE⊥AB且AE=AB，點D在CA的延長線上，連接DE，∠ADE=135°.求證：BC=DC.

如圖2，小明同學從∠ADE=135°這個條件出發(fā)，給出如下解題思路：過E作EF⊥AD交AD的延長線于點F，則∠EDF=45°，△EDF是等腰直角三角形，EF=DF，再證明兩個三角形全等，轉(zhuǎn)化等量線段.

如圖3，小濤同學從結(jié)論的角度出發(fā)，給出如下解題思路：在線段CB上截取CG=AC，則△ACG是等腰直角三角形，得到∠AGB=135°，將線段BC，DC之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段BG與AD之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】

李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學都運用了轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化等量線段，為了幫助同學們更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進行變換，提出下面問題，請你解答.

(2)如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長CA至點D，使AD=AB，射線AM⊥AB，點E在線段AB上，點F在射線AM上，連接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，求證：AF=AE+BC.

【拓展運用】

(3)定義新知：給定一個銳角∠A，可以作出以∠A為其中一個內(nèi)角的直角三角形ABC，其中AB是斜邊.我們定義K[∠A]為∠A的鄰邊與斜邊長度的比值，即K[∠A]=ACAB.

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為直線AC上任意一點(不與A，C重合)，連接BD，將線段DB繞點D答案和解析1.C

2.B

3.D

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.C

10.C

11.7

12.18

13.11

14.90°15.3+416.解：(1)原式=6(x2?2xy+y2)

=6(x?y)217.解：(1)x3?1<x?32，

2x?6<3(x?3)，

2x?6<3x?9，

?x<?3，

x>3.

(2){2(x?2)<x+3①x?12?2x②，

解不等式①得，x<7，

解不等式②得，x≥?13，

∴不等式組的解集為?13≤x<7.

18.解：(1)如圖①，△A1B1C1即為所求．

(2)由平移得，線段AA1和BB1的關(guān)系是平行且相等．

故答案為：平行且相等．

(3)如圖②，△A2BC2即為所求．

(4)由圖可得，在圖②方格紙中存在1個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．

故答案為：1.

19.解：(1)∵2×15°+60°=90°，

∴這個三角形是倍余三角形．

故答案為：是；

(2)等腰三角形只有頂角才可能是鈍角，設(shè)等腰三角形的底角是x，

∵等腰三角形是倍余三角形，

∴2x+x=90°，

∴x=30°，

∴這個三角形的倍余角的度數(shù)是30°，

故答案為：30；

(3)當2∠C+∠DAC=90°時，

∵∠C=36°，

∴∠DAC=18°，

∴∠ADC=180°?36°?1821.解：(1)原式=(m2?2m)+(2n?mn)

=m(m?2)+n(2?m)

=(m?2)(m?n)；

(2)△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵a2?b2?ac+bc=0，

∴(a?b)(a+b?c)=0，

∵a+b?c>0，

∴a?b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形．

22.解：(1)函數(shù)的圖象如圖的所示，

根據(jù)圖象可得：當x>1時，y隨x的增大而減?。?/p>

(2)由題意，把A(m,n)，b(6,n)，分別代入y=?2|x?1|+5，得

?2|m?1|+5=n?2×|6?1|+5=n，

∴?2|m?1|=?10.

∴m=6或m=?4.

∵A(m,n)，b(6,n)是該函數(shù)圖象上不同的兩點，

∴m=?4.

故答案為：?4.

(3)由題意，如圖所示，

∴當?1<?2|x?1|+5≤3時，自變量x的取值范圍是?2<x≤0或2≤x<4.

故答案為：?2<x≤0或2≤x<4.

(4)由題意，如圖所示，

∴結(jié)合圖象可得，①當x≤?2時，y=min(?2|x?1|+5,12x)=?2|x?1|+5，

∴當x=?2時，y的最大值為?1；

②當?2<x≤2.8時，y=min(?2|x?1|+5=12x,

∴當x=2.8時，y的最大值為1.4；

③當x≥2.8時，y=min(?2|x?1|+5,12x)=?2|x?1|+5，

∴當x=2.8時，y的最大值為1.4.

∴當x=2時，y的最大值為1；綜上，y的最大值為1.

綜上，函數(shù)y=min(?2|x?1|+5,12x)的最大值為1.4.

故答案為：1.4.

23.(1)解：選擇小明的解題思路：

①證明：如圖2，過E作EF⊥AD，交AD的延長線于F，

∴∠F=90°，

∵∠ADE=135°，

∴∠EDF=180°?∠ADE=45°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴EF=DF，

∵AB⊥AE，

∴∠BAE=90°，

∴∠CAB+∠EAF=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，

∴∠B=∠EAF，

在△ABC和△EAF中，

∠B=∠EAF∠C=∠F=90°AB=AE，

∴△ABC≌△EAF(AAS)，

∴BC=AF，AC=EF，

∴AC=DF.

∴AC+AD=DF+AD，

即DC=AF，

∴BC=DC；

選擇小濤的解題思路；

②證明：如圖3，在BC上截取CG=AC，連接AG，

∵∠C=90°，AC=CG，

∴△ACG為等腰直角三角形，

∴∠AGC=45°，

∴∠AGB=180°?∠AGC=135°，

∵∠ADE=135°，

∴∠AGB=∠ADE，

又∵AB⊥AE，

∴∠BAE=90°，

∴∠DAE+∠BAC=90°，

又∵∠B+∠BAC=90°，

∴∠B=∠DAE，

在△ABG和△EAD中，

∠AGB=∠EDA∠B=∠DAEAB=AE，

∴△ABG≌△EAD(AAS)，

∴BG=AD，

∴BG+CG=AD+CA，

∴BC=DC；

(2)證明：如圖4，過D作DG⊥AF于G，則∠AGD=∠FGD=90°，

∵AB⊥AM，

∴∠BAM=90°，

∴∠BAC+∠DAG=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠BAC+∠B=90°，

∴∠B=∠DAG，

在△ABC和△DAG中，

∠B=∠DAG∠C=∠AGD=90°AB=AD，

∴△ABC≌△DAG(AAS)，

∴BC=AG，

∵EF⊥DF，

∴∠EFD=90°，

∴∠AFE+∠AFD=90°，

又∵∠AFD+∠FDG=90°，

∴∠AFE=