PageSeq第17講數(shù)列遞推求通項(xiàng)15類【題型一】通過(guò)“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想1：基礎(chǔ)型【典例分析】已知數(shù)列中，已知，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：，，……，，，各式相加可得：，又，，.故選：B.【變式演練】1.已知數(shù)列滿足，，則（）A．510 B．512 C．1022 D．1024【答案】B【詳解】由,得，，，…，以上各式相加得，，所以，所以.故選：B.2.已知數(shù)列{an}滿足，，n∈N*，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.【答案】；【詳解】（1），，將以上個(gè)式子相加，得，即..又當(dāng)n=1時(shí)，也符合上式，.3.數(shù)列an中，a1=0,an+1【答案】100【詳解】∵an+1-an=∵an=9，即n-1=9，解得n=100【題型二】通過(guò)“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想2：換元型與同除型【典例分析】已知數(shù)列滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和【答案】C【詳解】令，則，又，所以，，，，，所以累加得，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為和，故選：C.【變式演練】1.在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，，則，…，，由累加法得，，即，則，所以，故選：D2.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的取值集合.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，，…，，所以，于?當(dāng)時(shí)，，所以.（2）因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列.因?yàn)?，，，，，所以，，，，，于是所有正整?shù)的取值集合為.3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an﹣an+1＝，則a10的值是（）A． B． C． D．【答案】C解：由可得：，則：＝，則．故選：C．【題型三】通過(guò)“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想3：復(fù)雜“同除換元型”【典例分析】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式____．【答案】【詳解】易知，由，得，∴，∴．∴當(dāng)時(shí)，有，，．．．．．．，將以上個(gè)等式相加得，又，∴，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)符合上式，∴【變式演練】1.已知數(shù)列滿足，則______.【答案】2020【詳解】因?yàn)?，所以，式子兩端除以，整理得：，即為常?shù)列.因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：20202.已知數(shù)列中，，，，則的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】由題意得，，即，則，即，所以，，，…，，相加得，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【題型四】累積法【典例分析】已知數(shù)列滿足，，則的值為_(kāi)__，的值為_(kāi)____.【答案】解：令，則，，令，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，有，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故答案為：，【變式演練?.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，故，得；（也可以累積法）設(shè)，所以，，，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，故.（Ⅱ）略.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.【答案】【詳解】由，可得當(dāng)時(shí)，，則，即，故，所以.當(dāng)滿足.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：3.數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.【答案】解：因?yàn)棰?；?dāng)時(shí)，②；①減②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以故答案為：【題型五】周期數(shù)列【典例分析】已知數(shù)列滿足，則A．0 B． C． D．【答案】A【詳解】由上述可知，數(shù)列是每三項(xiàng)一次循環(huán)的數(shù)列，則有故選A．【變式演練】1.數(shù)列中，，，，那么A．1 B．2 C．3 D．-3【答案】B【詳解】由題意，得，，，，，…，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，又，所以，故正確答案為B.2.在數(shù)列中，若，并有對(duì)且恒成立；則_______________．【答案】解：由條件及，得，即（且），則，從而知是數(shù)列的一個(gè)周期；由，及，得；故故答案為：.另解：由，又即對(duì)且，可得從而知是數(shù)列的一個(gè)周期；故.故答案為：3.設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，總有成立，則數(shù)列的前2019項(xiàng)的乘積為A． B．1 C．2 D．.3【答案】D【詳解】由題意可得：，故：，，，，，據(jù)此可得數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，注意到，且：，故數(shù)列的前2019項(xiàng)的乘積為：.故選D.【題型六】構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型）【典例分析】已知數(shù)列滿足：，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）略試題解析：（1）解：由知，代入得：，化簡(jiǎn)得：，即是等比數(shù)列，又，則，進(jìn)而有．（2）證明：由于，所以【變式演練】1.數(shù)列滿足則A．33 B．32 C．31 D．34【答案】A【詳解】數(shù)列滿足，是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，得到故答案為A．2.已知數(shù)列中，，（且），則數(shù)列通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，知：且()，而，，∴是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列，即，故選：C【題型七】分式遞推【典例分析】在數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第________________項(xiàng)．【答案】2018【分析】同取倒數(shù)，得到關(guān)于是等差數(shù)列；進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式即可求出項(xiàng)數(shù)．詳解】由已知得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，令，解得【變式演練】1.數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_____．【答案】【詳解】原等式可化簡(jiǎn)為：，所以數(shù)列為以3為首項(xiàng)，2公差的等差數(shù)列，則，所以.2.已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.【答案】【詳解】由題意，，取倒數(shù)得，即，又，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，所以.故答案為：.3.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,用數(shù)學(xué)歸納法證明:.【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析【詳解】（1）,是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列．【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列【典例分析】數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】∵∴，即∴是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列∴∴數(shù)列的前項(xiàng)和【變式演練】1.數(shù)列滿足，（），則__________．【答案】【解析】數(shù)列滿足，，變形得到則。2.數(shù)列{an}中，，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，即：，據(jù)此可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故：.本題選擇A選項(xiàng).3.如果數(shù)列滿足，，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差.所以.故答案為：B【題型九】前n項(xiàng)積型【典例分析】已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，若對(duì)，，都有成立，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)___．【答案】1023【分析】把化成，結(jié)合可知為等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)與其前項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)?，故即（），而，所以為等比?shù)列，故，所以，填.【變式演練】1.若數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，則_____________.【答案】【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.滿足.綜上所述，.故答案為：2.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，且，，下列結(jié)論正確的是（多選題）A． B．C．?dāng)?shù)列無(wú)最大值 D．是數(shù)列中的最大值【答案】ABD【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為q，若，則，又由，必有，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，必有，，則必有，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，數(shù)列各項(xiàng)均為正值，則，必有，A正確；對(duì)于B，若，則，B正確，對(duì)于C，根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易得D正確，故選：ABD.3.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)積滿足，則________，數(shù)列的前n項(xiàng)和________．【答案】【詳解】由，得．因?yàn)?，所以．由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)除以，得．因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，從而，故，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．故答案為：；.【題型十】特殊通項(xiàng)1：“和”型求通項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為()A．5B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以因此，，選B.【變式演練】1.知數(shù)列滿足：，且a1=2，則________________．【答案】【詳解】∵數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1+an=4n-3（n∈N*），∴當(dāng)n=1時(shí)，a2+a1=1，解得a2=-1．當(dāng)n≥2時(shí)，an+2+an+1=4n+1，∴an+2﹣an=4，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4；偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公差為4．∴a2k﹣1=2+4（k﹣1）=4k﹣2，即n為奇數(shù)時(shí)：an=2n．a(chǎn)2k=-1+4（k﹣1）=4k-5，即n為偶數(shù)時(shí)：an=2n-5．∴．2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則A．－5 B．－10 C．12 D．16【答案】C【詳解】由題意可得：，，兩式作差可得：，①進(jìn)一步有：，②①-②可得：，故數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且公差為4，據(jù)此可得：，即：，解得：.故選C.3.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則______.【答案】解：令，則①，②，①-②得：，即,又，所以，所以,即，所以所以.故答案為【題型十一】特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型【典例分析】已知數(shù)列中，，，則___________.【答案】-9【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故故答案為:-9【變式演練】1.已知數(shù)列滿足，則___________.【答案】5050【分析】【詳解】因?yàn)?，所以，左右分別相加得：，，，.故答案為：50502.數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則.【答案】7【思路分析】在已知數(shù)列遞推式中，分別取為奇數(shù)與偶數(shù)，可得與，利用累加法得到為奇數(shù)時(shí)與的關(guān)系，求出偶數(shù)項(xiàng)的和，然后列式求解．【解析】：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，可得，，累加可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可得，，，．可得．．，，即．故答案為：7．3.已知數(shù)列滿足，則的前40項(xiàng)和為_(kāi)_________．【答案】【詳解】∵，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),該數(shù)列前項(xiàng)和為．【題型十二】特殊數(shù)列3：奇偶討論型【典例分析】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則A．200 B．210 C．400 D．410【答案】B【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由題，，又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，可解的當(dāng)時(shí)，，與相減得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，則。故選B.【變式演練】1.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則=________．【答案】512【分析】利用已知將n換為n+1，再寫(xiě)一個(gè)式子，與已知作比，得到數(shù)列的各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為2，再求得，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】∵anan+1=2n，（）∴an+1an+2=2n+2．（）∴,（），∴數(shù)列的各個(gè)奇數(shù)項(xiàng)成等比，公比為2，數(shù)列的各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為2，又∵anan+1=2n，（），∴a1a2=2,又，∴，可得：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∴a20＝1?29＝512．故答案為512．2.在數(shù)列中，，，則下列結(jié)論成立的是（）A．存在正整數(shù)，使得為常數(shù)列B．存在正整數(shù)，使得為單調(diào)數(shù)列C．對(duì)任意的正整數(shù)，集合為有限集D．存在正整數(shù)，使得任意的、，當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，根據(jù)是否有解可判斷A選項(xiàng)的正誤；對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)，結(jié)合遞推公式，說(shuō)明兩種情況下數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)行推理，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)的正誤；設(shè)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明出數(shù)列有界，進(jìn)而可判斷C選項(xiàng)的正誤；由列有界可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，若為偶數(shù)時(shí)，，不符題意，若為奇數(shù)時(shí)，無(wú)解，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若為偶數(shù)，，，若為單調(diào)數(shù)列，即為遞減數(shù)列，而，可以為奇數(shù)，此時(shí)，，不滿足遞減數(shù)列.若為奇數(shù)，，，若為單調(diào)數(shù)列即為遞增數(shù)列，而，，不滿足遞增數(shù)列，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，不妨令（其中是一個(gè)給定的正整數(shù)），記，①若為奇數(shù)，當(dāng)、時(shí)，成立，為偶數(shù)，成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，那么時(shí)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，；若是偶數(shù)，則，若此時(shí)是奇數(shù)，則滿足，若是偶數(shù)，則滿足，即時(shí)結(jié)論成立；②若為偶數(shù)，當(dāng)、時(shí)，成立，成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，那么時(shí)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，；若是偶數(shù)，則，若此時(shí)是奇數(shù)，則滿足，若是偶數(shù)，則滿足，即時(shí)結(jié)論成立.綜上，對(duì)任意的正整數(shù)，若為奇數(shù)，則，若為偶數(shù)，則，所以，對(duì)任意的正整數(shù)，集合為有限集，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即各項(xiàng)的數(shù)值各不相同，則當(dāng)，集合有無(wú)窮多個(gè)元素，這與有上界矛盾，故不符合，故D錯(cuò).故選：C．3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）an＝.試題解析：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，∴a2＝.2anan＋1＝4Sn－3，①2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.∵an≠0，∴an＋2－an＝2.(2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時(shí)，an＝n.數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時(shí)，an＝n－.綜上所述，an＝.【題型十三】特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型【典例分析】已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】由求出，當(dāng)時(shí)，得出，并與相減，得出，代入，驗(yàn)證是否等于，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意，知當(dāng)時(shí)，。因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②①－②得，即，易知時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【變式演練】1.若數(shù)列滿足,,則______．【答案】【分析】利用遞推公式再遞推一步,得到一個(gè)新的等式,兩個(gè)等式相減,再利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用所求的通項(xiàng)公式可以求出的值.【詳解】得,,所以有,因此.故答案為：2.已知數(shù)列滿足，，則_________________．【答案】【分析】首先求得的值，然后結(jié)合遞推關(guān)系式求解時(shí)的通項(xiàng)公式即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由題意可得：，，兩式作差可得：，故，綜上可得：.3.在數(shù)列中，,則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式，得出數(shù)列從第二項(xiàng)起是以2為首項(xiàng)，3為公比等比數(shù)列，即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列滿足，所以兩式相減可得，即，令時(shí)，，所以，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【題型十四】特殊數(shù)列5：因式分解型求通項(xiàng)【典例分析】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足=,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】（1）；試題解析：(1)解關(guān)于的方程=可得或(舍去),==.【變式演練】1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則____，_____.【答案】【分析】由條件可得，可得，再由遞推即可得到所求通項(xiàng)．解：是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，可得，即有，由是的正項(xiàng)數(shù)列可得，則可得，．故答案為(1).(2).2.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；.；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，知，且，令和即可求出，，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)定義法證明出是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）由題可知，，且，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，由已知可得，且，∴的通項(xiàng)公式：.【題型十五】特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng)【典例分析】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）將題干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定義證明出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求出，利用放縮法得出，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證明出結(jié)論成立.【詳解】（1），.，，，即，則有且，【變式演練】1.在數(shù)列中，，，.（1）證明為等比數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由，構(gòu)造出的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由（1）得，利用累加法求解通項(xiàng)即可【詳解】解：（1）由得，又，所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，.所以時(shí)，..因此，.當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故.2.已知和滿足，，，．（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求和的通項(xiàng)公式；【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），【分析】（1）由，兩式相加減即可證明（2）由（1）解方程組得和的通項(xiàng)公式（3）利用錯(cuò)位相減求得，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可證明【詳解】（1）（其中），①（其中），②由①與②相加得，即（其中），又，故是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列由①與②相減得，即（其中），又，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知，（其中），③（其中），④得，，即，（），3.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，試求，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【答案】；證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)，分別求出時(shí)，，，猜想；，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明規(guī)則及遞推公式，即可證明.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，……猜想：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明：(1)當(dāng)時(shí)，已證；(2)假設(shè)時(shí)，成立；則時(shí)，，，，即，解得，∴當(dāng)時(shí)也成立，由(1)，(2)可得，對(duì)，總有成立.【題型十六】壓軸小題【典例分析】1.已如數(shù)列，，且，則_____，______.【答案】【詳解】由，可得，，兩式相除可得，所以時(shí)，;,所以，所以時(shí)，，所以.故答案為：；2.已知數(shù)列與滿足，且，則__________．【答案】【解析】分析：令和，得，令，得①，令，得,②①-②得：，利用累加求通項(xiàng)即可.詳解：由，當(dāng),；當(dāng),.由，令，得：,①令，得：,②①-②得：.從而得：，，…….上述個(gè)式子相加得：.由①式可得：，得.所以.故答案為.3.已知數(shù)列是共有k個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，且滿足，若，，，則_.【答案】【詳解】由題數(shù)列是共有個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，且滿足，則，則……以上各式子同向相加，將代入可得（舍）.故答案為50.4.已知數(shù)列滿足，且，則__________.【答案】【解析】由遞推關(guān)系可得：，則：，即，據(jù)此可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，則，據(jù)此可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.5.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．【答案】【解析】∵兩邊同除以，得：，整理，得：即是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.,即.【課后練習(xí)】1.在數(shù)列{an}中，a1=1，(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【答案】解：因?yàn)閍1=1，(n≥2)，所以，所以·…··1=.又因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，a1=1，符合上式，所以an=.2.已知數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______.【答