第三章流體運動學(xué)

3-1粘性流體平面定常流動中是否存在流函數(shù)？

答：對于粘性流體定常平面流動，連續(xù)方程為：

&")?。胸)=0

dxdy

存在函數(shù)：

P(x,yJ)=-pv和Q(x,yj)=pw,

并且滿足條件：

收)二a⑻

dxdy

因此，存在流函數(shù)，且為：

y,r)=jPdx+Qdy=j一(9"丫+(/cvz)Jy。

3-2軸對稱流動中流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程？

答：如果流體為不可壓縮流體，流動為無旋流動，那么流函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方

程。

3-3就下面兩種平面不可壓縮流場的速度分布分別求加速度。

xmy

(1)〃=——1,P=------；----

2萬r+y2期尸+y

GMV-/)-2Ktxy

(2)u=----------V=其中m,K為常數(shù)。

2(/+力2'

(.r+y)

答：(1)流場的加速度表達式為:

dudududvdvdv

a=—+〃—+v—,a=—+〃—+v—。

xrcitdx為，、Svta.r8)，

由速度分布，可以計算得到：—=0,—=0,因此:

otot

du_tny2-x2du_m-2xy

&2%卜2+)/尸Qy27(爐+y2y

dv_m-2xydv_mx2

&2%仔+、2—辦24(2

x可

代入到加速度表達式中:

9,

,、mxm）廠一廠mm一2不，

Cl=0H------,

2萬+)廣727r￥+y2)22兀/+),2FV+丁）2

mX

3)G+.V2)2

x、tn2xymymx_y

Cl=0H---------用22夕12

24x~+y2乃21+2x+y2+yJ

\2

my

(x2+y2)2

（2）由速度分布函數(shù)可以得到:

K(y2-12)方_-2Kxv

,"二^一

2丫

dtV+.y2A-2+y

卜23）；2）

3廠柒2s?歸洋

2"3y2）。

*2K"(r-3x)史=-2KM

￥+嚴0)，（F+y2）

代入到加速度表達式中:

2，22

）’一廠y一廠A-3V

a=K?+Kt-

x(丁+河

V+V7

2xy3/_y2

—Kt,?2K/y?

『+河G+V丫

},2-x22x

=K--(附w

..2xy“y2-x2(…、y2-3x2

%=-K「-----+Kt--y-,-------<j7-(-2K°).—

k+y2)k+y-jk+rj

-Kt-?A；V?(-23).J—3;

(3}(3)

=-K.2外_(/C/)22y

k+y~)k+y~)

3?4已知歐拉參數(shù)表示的速度場分布為〃=x+r,u=），+f,試求質(zhì)點位移和速度的拉格朗

日表達式。已知，=0時y=b?

答：(1)流體質(zhì)點的軌跡方程為：

dx-udt

9

dy=vdt

將速度分布帶入，得到：

dx=(x+t\lt

dy=(y+t\lt

兩個方程除了自變量之外，完全一致，只需要解一個即可。將第一個方程改寫為：

dx

----x=t

dt

該方程為一階非齊次常微分方程，非齊次項為人先求齊次方程的通解，齊次方程為:

dxdx

——=x,即一=dt；

dtx

兩端同時積分得到：

Inx=/+C,x=Ce'。

(2)令非齊次方程的特解為：

對其兩端求導(dǎo)得到：

dt

將上述/(。和4耍代入到原非齊次方程中，有：

at

。⑺d+C(f)d-C(r)e』。

整理得到：

兩端同時積分：

c(，)=卜%=4+I1T+G

代入到特解中得到：

/(/)=c(/).=[-1/++C,P=-(r+l)+C,^o

(3)將初始條件f=0時x代入上式,得到:

G=4+1，

因此：

x*(，)=-(f+l)+(a+lp,

同理可得：

y*(f)=-(r+l)+(/?+lpo

軌跡方程為：

改)=/(。:+),"?萬=[一G+1)+(6+1),1+[-?+1)+(/?+1)/]70

(4)用拉格朗日法表達的速度為：

v(r)=~~=[(〃+W-巾+[(〃+l)d一4。

3-5繪出下列流函數(shù)所表示的流動圖形(標明流動方向)，計算其速度、加速度，并求勢函

22

數(shù)，繪出等勢線。(1)y/=x+y；(2)w=&?、(3)=x/y；(4)=x+yo

答：(1)y/=x+y

①流動圖形：流線方程為x+y=C,流線和流動方向如圖中實線所示；

②速度:〃嚕=1,一新T,

v=ui+vj=1,流場為均勻流動:

③加速度：a=a,人i^-a.vy“j=0：

④求速度勢函數(shù)：

由于平均旋轉(zhuǎn)角速度：^.=1(--—=-(()-())=(),因此流場為無旋流場，勢函

2{dxdy

數(shù)0(%y)存在:

ay）（平）（？）

（p（x,j）=fudx+vdy=|udx+ivdy=x-y

（0.0）（0,0）（x.O）

⑤等勢線：等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。

(2)y/=xy

①流動圖形：流線方程為盯=。，流線和流動方向如怪中實線所示:

②速度：Y二x'一皆二』

v=ui+vj=xi-yi；

③加速度:

電

du上

--二At

a=u—+力-1-0=

Aro>,-e

a*y-

\

dvav---7|-

ay=U~dx+A-

d=a)+ayj=xi-yj；

④求速度勢函數(shù)：

由于平均旋轉(zhuǎn)角速度包一包〕二L(o-o)=o,流場為無旋流場，勢函數(shù)

2\dxdyJ2

e(x,y)存在：

(y)(￥)(x?)]

(p(x,y)=\ucLx-vvdy=Jxdx-JyJy=—(x2-y2)；

(O.O)(0.0)(A.o)2

⑤等勢線：等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。

(3)w=刈y

①流動圖形：流線方程為x/y=C,流線和流動方向如圖中實線所示;

_W_1

②速度…安v

4dxy

XT1T

v=ui+v/=—l一J

y~y

⑤加速度:

dudux

a=u—+v—=——-

ArdxdyV

dvdv1

④求速度勢函數(shù)：

由于口一包一包］二一二工。，流場為有旋流場，勢函數(shù)°（x,y）不存在.

2\dxdyJy-

（4）i//=x2+y2

①流動圖形：流線方程為一+），2=C,流線和流動方向如圖中實線所示；

②速度：u=型~=2y,v==-2x,

dydx

v=ui+w=2yi-Ixj。

③加速度:

&

du-=二

ar=u----h-4

xdx?-4

dva-v=y

%二〃ox尸.冰

a=axi+ayj=-4xi—4yj；

④求速度勢函數(shù)：

“,二!（皆一"）二一20°'為有旋流場'勢函數(shù)。（x,y）不存在°

3-6已知平面不可壓縮流體的速度分布為（1）〃=），，v=-x；（2）u=x-ytv=x+y；

2

（3）w=x-r+x,v=-（2xy+y）.判斷是否存在勢函數(shù)°和流函數(shù)”，若存在，則

求之。

答：（1）〃=y,v=-x

①求速度勢函數(shù)：

公=42-生=-（-1-1）=-1^0,為有旋流動，勢函數(shù)°（x,y）不存在。

21dxdyJ2

②求流函數(shù)：

由于包+絲=0+0=0,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)〃（X,），）存在：

dxdy

(￥)(芋)(Y)[

”(x,y)=I-vdx+udy=Ixdx-\-Jydy=一(尸+廠卜

(o.o)(o.o)(.t.o)2

(2)u=x—y,v=x-l-y

①求速度勢函數(shù)：

co.=-||=-(1+1)=1為有旋流動，勢函數(shù)0(x,y)不存在。

21dxdy)2

②求流函數(shù)：

,dudv

由于Tk+k=1+1=2工0,不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程,流函數(shù)以x,y）不存在。

dxdy

(3)u=X2-y2+x,y=_(2p+y)

①求速度勢函數(shù):

°,/但一絲］［-2y-（一2），）］=0,為無旋流動，勢函數(shù)w（x,y）存在:

2\dxdyJ2

(x,y)(x,o)(x,y)]

(p(x,y)=judx+vdy=J\x2+xjdx-j(2xy+y\ly=—(x2+y2)

(O.O)(O,O)(x.o)2

11,1o

=-r+—x~2-xy~——y-

x32’2)

②求流函數(shù):

由于蘭+?=（2x+l）-（2x+1）=o,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)”（x,y）

oxoy

存在:

(7)a*)

jG-52+)必,=2/y+盯一:V。

"(%)')=J-vdx+udy=|2xydx+

(0,0)(0.0)(工。)3

3-7已知歐技參數(shù)表示的速度分布為〃=Ax.口=-4），.求流體質(zhì)點的軌跡。

答：由軌跡方程包=電=力，并將〃=/U和u=-A），代入得至ij：

UV

dx=Axdt

dy=-aydt

或者寫成:

dx」

——=Adt

x

也一力

y

兩端同時積分，得到:

U4+G，即

A,

Iny=-At+C2y=C2e~

3-8已知流場的速度分布為〃=x+/,v=->'+Z,求/=0時通過(一1,1,1)點的流線。

答：將速度分布函數(shù)代入連續(xù)方程:

dudvdxv八

—+—+—=0

dxdydz

得到：

生二0

dz

因此可知，速度分布與z坐標無關(guān)，流動為二維流動。由流函數(shù)定義式得到:

(a)(x.o)(v.y)

j-vdx+udy=J(y-t)dx+J(x+t)dy=(y-r)x+(x+小。

(O.O)(O.O)(x.O)

由于流函數(shù)為常數(shù)時”=C表示流線，因此流線方程為:

(y-r)x+(x+r)y=Co

將將條件：當，=0,x=-l>y=l代入上式，得。=一2；因此該瞬時過(一1,1,1)的流線

方程為：

Ay+1=0o

3-9己知平面不可壓縮流體的速度分布為〃=v=-2xytf求1=1時過(-2,1)點的流

線及此時處在這一空間點上流體質(zhì)點的加速度和軌跡。

答：(1)求流線方程：

由于？■+蘭=2儀-2"=0,流函數(shù)〃(x,y/)存在，且為：

dxoy

(x,)(x.O)(*,)

y/(x,y.t)=J-vdx-vudy=JOdx+Jx2tdy=x2yt；

(O.O)(O,O)(.r.O)

則流線方程為:

x2yt=C；

將條件：當，=1時，x=-2、y=l代入，得C=4；則該瞬時過將（—2,1）點的流線方程

為：

x2y=4.

（2）求加速度:

dududu、

=—+U—+V—=X-+x2t?2xt+(-2AJ7)0=x2(1+2xt~)

dtdxdy

22

ay=￡+〃*+=-2xy+xt-(-2yt)+(-2xyt)-(-2xt)=-2xy+2xyt

將條件：，=1時，x=-2、），=1代入，得到該瞬時過將（一2,1）點的流體質(zhì)點的加速度為:

ax=-12

ay=12

（3）軌跡方程:

2

221

3-10設(shè)不可壓縮流體的速度分布為(1)u=cix+by+czyv=-dxy-eyz-fzx\

(y2z2(x2z2}

(2)u=In與4Lv=sino其中a>b、c、d、e、f為常數(shù)，試求第三個

速度分布氏。

答：（1）將速度分布代入連續(xù)方程："+2+孚=0,得至小

dxdydz

—=ez+(cl-2a)x,

兩端同時積分得到：

2

“x,y,z)=—ez-\-(d-2a)xz+C](x,y)。

dudvdw八

（2）將速度分布代入連續(xù)方程:—+—+—=0

dxdydz

由于:

包=0,2=0；

dx

因此：

生=0

dz

兩端同時積分得到：

vt(x,y,z)=C2(x,y)o

3-11有一擴大渠道，已知兩壁面交角為1弧度，在兩壁面相交處有一小縫，通過此縫隙流

出的體積流量為。=--t(m/s),試求(1)速度分布；(2)/=()時壁面上廠=2處的

_2_

速度和加速度。

答：(1)求速度分布：

設(shè)半徑為，,處的徑向速度為匕，周向速度為為。顯然為=0,且匕-S=。：其中：

5=lrl=r,因此徑向速度分布為：

1八9)

Vr=-Q=-\；

r八2

(2)求加速度：

dvrdvr\\(iV

rotdrr)

(3)當f=0時，在r=2處：

1(1八］111fl八丫17

-0=---O

2UJ4r22\2）32

3-12已知不可壓縮平面勢流的分速度為〃二3ax2-3ay2,（0,0）點上〃=u=0,試求通過

(0,0)及(0,1)兩點連線的體積流量。

答：(1)求速度分布：

由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程"+g

-=0,得到：

dxdy

dvdu.

—=----=—bax?

兩端同時對y積分：

v=-6axy+C(x)：

將條件：在(0,0)點u=0代入上式，得到：

C(x)=0,

因此：

v=-6cixyo

流動的速度分布為：

u=3ax~-3ay~,v=-6axy。

(2)求流函數(shù)：

(x.y)(x.o)(v.y)

2223

甲(x,y")=J—vdx-\-udy=J0?4v+|(3or-3ay\ly=3axy—ay<,

(o.o)(o.o)(.v.O)

(3)求流量：

利用流函數(shù)的性質(zhì)：流場中任意兩點的流函數(shù)之差等于通過兩點之間連線的體積流量。

由于:匕0,0)=°，匕0.1)=一°；因此流量為：

Q=^(0.0)-夕(0,1)=0_(-a)=4。

3-13設(shè)流場的速度分布為〃=ax,v=ay,w=-laz,其中。為常數(shù)。(1)求線變形速率,

角變形速率，體積膨脹率；(2)問該流場是否為無旋場？若是無旋場求出速度勢。

答：(1)線形變速率為：

OUC加3卬「

￡=——=a9￡="-=a,j=——=-2ci；

yy

*dxc射工dz

角形變速率為：

\(dvdu］八1(dw執(zhí)］八1(du。卬)八

￡「=------+——=0,￡.=-------+——=0,-------+—=0：

"dy)v2\dydzJ_21azdxJ

體積膨脹率為：

Jx+4/J=a+a--2a=0°

(2)求速度勢：

由于平均角速度的二個分量分別為:

\(dwSu、=0,1dvduy

co=-------嗎」僅一學(xué)=0,co.=0，

2〔分dz)213zox21axdy

因此:

―-?一

0)=①j+①、j+①=k=0

即流場為無旋流場，速度勢函數(shù)°存在，且為:

(p(x,y,z)=judx+ju力+jwdz=-ax2+-ay2-az2

oco22

3-14設(shè)流場的速度分布為〃=y+2z,u=z+2x,卬=x+2y。試求（1）渦量及渦線方程;

（2）為+），+z=1平面上通過橫截面積"4=1mn?的渦通量。

答：（1）求渦量和渦線方程:

流場的平均旋轉(zhuǎn)角速度打的二個分量分別為:

1(dvvdv

(o=---------(2-1)

21分dz44

3照-豺A）4

21f3dvdauy；4(2-1)4

69.=-------

因此平均旋轉(zhuǎn)角速度為:

5二/+/+。

則渦量為：

C=2a)=(z+j+E)

其三個分景分別為:

dxdydz

將其代入到渦線方程:，得到:

e百一電z

dx=dz

dJv=dz

兩端同時積分得到渦線方程：

X=Z+G

y=2+c2

(2)泯通量：

將渦量C在S上積分，得到渦通量為：

J=JJC.GdS=JJ(QJ+C/+C(nJ+nj+n:k\lS

ss

=JJ(Qn+%〃、+Qj達

5

其中：n=nJ+nJ+n.k,為平面x+y+z=1的單位外法向量。

設(shè)R(ay,z)=%+y+z-l,貝ij：

dF、dF.dF

oxdydz

S平面外法向量”在三個坐標軸I:的分量為:

dF

V3

3

1出

V1+1+1T

因此：

J=JJ(C,n+Q/v+CV〃)/S=仙1.?+1?￡+1.

ssIJ。，J

=V3-dS=V3-dA=V3

3-15己知流場的流線為同心圓族，速度分布為：廠45時，〃=一;y,v=1x；廠＞5時，

〃二-^^三，U=一巨干。試求沿圓周V+,，2=R2的速度環(huán)量，其中圓的半徑R分

x-+y~x-+y-

別為(1)R=3,(2