2025年考研數(shù)學（三）概率統(tǒng)計馬爾可夫鏈應(yīng)用專項試題一、填空題（每空2分，共10分）1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為P{X=k}=\frac{λ^ke^{-λ}}{k!}，則隨機變量Y=\frac{X}{λ}服從（）分布。2.設(shè)事件A，B，C相互獨立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，則P(A∩B∩C)=____。3.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若F(x)在x=a處連續(xù)，則P{X=a}=____。4.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，X的分布函數(shù)為F(x)，則Y的分布函數(shù)為____。5.設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，則隨機變量Y=3X+2的方差為____。二、選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，則以下哪個選項是正確的？（A）X的分布函數(shù)F(x)在x=μ處取得最大值。（B）X的分布函數(shù)F(x)在x=μ處取得最小值。（C）X的分布函數(shù)F(x)在x=μ處取得最小值，且該最小值為0。（D）X的分布函數(shù)F(x)在x=μ處取得最大值，且該最大值為1。2.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，X的數(shù)學期望為E(X)=a，方差為D(X)=b，則E(Y^2)=____。3.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則X的分布函數(shù)F(x)在x=0處的導數(shù)等于____。4.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，X的分布函數(shù)為F(x)，Y的分布函數(shù)為G(x)，則Z=X+Y的分布函數(shù)為____。5.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，X的分布函數(shù)為F(x)，則Y的分布函數(shù)為____。三、計算題（每題10分，共30分）1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}。2.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，X的分布函數(shù)為F(x)，Y的分布函數(shù)為G(x)，求Z=X+Y的分布函數(shù)F_Z(z)。3.設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，求E(X^2)和D(X)。4.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，X的分布函數(shù)為F(x)，Y的分布函數(shù)為G(x)，求Z=X+Y的分布函數(shù)F_Z(z)。5.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，X的分布函數(shù)為F(x)，則Y的分布函數(shù)為____。四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.某商店每天上午和下午各有一批顧客購買商品，上午的顧客到店時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，下午的顧客到店時間服從參數(shù)為μ的泊松分布。若上午顧客到達后，至少要等待5分鐘才有服務(wù)員接待，則下午顧客等待服務(wù)員接待的平均時間是多少？2.設(shè)某城市每天發(fā)生交通事故的數(shù)量X服從參數(shù)為λ的泊松分布。已知一天內(nèi)發(fā)生交通事故的概率至少為0.01，求λ的最小值。五、證明題（每題10分，共20分）1.證明：如果隨機變量X和Y獨立同分布，且E(X^2)=D(X)，則E(Y^2)=D(Y)。2.證明：如果隨機變量X和Y相互獨立，且E(X)=E(Y)，則E(XY)=E(X)E(Y)。六、綜合題（每題10分，共20分）1.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，求隨機變量Z=X+Y的分布函數(shù)F_Z(z)。2.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為p，現(xiàn)從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取n件進行檢查，設(shè)X為抽檢出的不合格產(chǎn)品數(shù)量，求X的概率質(zhì)量函數(shù)。本次試卷答案如下：一、填空題（每空2分，共10分）1.幾何分布2.0.063.F(a)4.F(y)5.9/4二、選擇題（每題3分，共15分）1.(D)2.b3.λ4.F(z)=F(x)G(z-x)5.F(y)=F(x)三、計算題（每題10分，共30分）1.解析：P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}=\frac{λ^2e^{-λ}}{2!}+\frac{λ^3e^{-λ}}{3!}+\frac{λ^4e^{-λ}}{4!}=λ^2e^{-λ}(1/2!+λ/3!+λ^2/4!)=λ^2e^{-λ}(1+λ/2+λ^2/12)=λ^2e^{-λ}(1+1/2λ+1/12λ^2)2.解析：Z的分布函數(shù)F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}當z<0時，F(xiàn)_Z(z)=0當z≥0時，F(xiàn)_Z(z)=∫_{0}^{z}F(x)G(z-x)dx=∫_{0}^{z}F(x)[1-F(z-x)]dx=∫_{0}^{z}F(x)dx-∫_{0}^{z}F(x)F(z-x)dx3.解析：E(X^2)=∫_{0}^{1}x^2f(x)dx=∫_{0}^{1}x^2dx=[x^3/3]_{0}^{1}=1/3D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1/3-(1/2)^2=1/124.解析：Z的分布函數(shù)F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}當z<0時，F(xiàn)_Z(z)=0當z≥0時，F(xiàn)_Z(z)=∫_{0}^{z}F(x)G(z-x)dx=∫_{0}^{z}F(x)[1-F(z-x)]dx=∫_{0}^{z}F(x)dx-∫_{0}^{z}F(x)F(z-x)dx5.解析：Y的分布函數(shù)F(y)=P{Y≤y}=P{X≤y}=F(x)，因為X和Y獨立同分布四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.解析：設(shè)下午顧客等待服務(wù)員接待的平均時間為E(T)。上午顧客等待時間服從指數(shù)分布，參數(shù)為1/5，因此E(T_{上午})=5分鐘。下午顧客等待時間服從指數(shù)分布，參數(shù)為1/μ，因此E(T_{下午})=1/μ分鐘。因為上午顧客至少等待5分鐘，所以下午顧客的等待時間可以看作是上午顧客等待時間加上5分鐘。所以E(T)=E(T_{上午})+5=5+1/μ分鐘。2.解析：P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e^{-λ}≥0.01解得λ≥ln(100)五、證明題（每題10分，共20分）1.解析：E(X^2)=D(X)+(E(X))^2E(Y^2)=D(Y)+(E(Y))^2因為X和Y獨立同分布，所以E(X)=E(Y)，D(X)=D(Y)。所以E(X^2)=E(Y^2)，即E(Y^2)=D(Y)。2.解析：E(XY)=∫_{-\infty}^{+\infty}∫_{-\infty}^{+\infty}xyf(x)f(y)dxdy=∫_{-\infty}^{+\infty}∫_{-\infty}^{+\infty}xyf(x)dxf(y)dy=∫_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dy∫_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=E(Y)E(X)六、綜合題（每題10分，共20分）1.解析：Z的分布函數(shù)F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}當z<0時，F(xiàn)_Z(z)=0當z≥0時，F(xiàn)_Z(z)=∫_{0}^{z}F(x)G(z-x)dx=∫_{0}^{