高一希望杯試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)4.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.2D.-25.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.46.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((-4,-6)\)7.函數(shù)\(y=\log_2x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{2^x}\)D.\(y=\log_x2\)8.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((2,2)\)D.\((-1,-1)\)9.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\sqrt{a}\lt\sqrt\)10.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，且\(f(2)=3\)，則\(f(-2)\)的值為（）A.-3B.3C.0D.6答案：1.B2.B3.B4.C5.B6.A7.A8.A9.C10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)3.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1=b_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(b_1\neqb_2\)4.對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，以下說法正確的是（）A.若\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.若\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列C.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）5.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)B.\((a^m)^n=a^{mn}\)C.\((ab)^n=a^nb^n\)D.\(a^m\diva^n=a^{m-n}\)（\(a\neq0\)）6.已知集合\(M=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(N=\{1,2\}\)，則（）A.\(M=N\)B.\(M\subseteqN\)C.\(N\subseteqM\)D.\(M\capN=\varnothing\)7.函數(shù)\(y=\sinx\)的性質(zhì)正確的是（）A.周期是\(2\pi\)B.最大值是1C.最小值是-1D.是奇函數(shù)8.以下哪些點(diǎn)在直線\(y=x+1\)上（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((-1,0)\)D.\((2,3)\)9.不等式\(x^2-2x-3\lt0\)的解集可以表示為（）A.\(\{x|-1\ltx\lt3\}\)B.\((-1,3)\)C.\(\{x|x\lt-1或x\gt3\}\)D.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)10.已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)等于（）A.\(x_1x_2+y_1y_2\)B.\(|\overrightarrow{a}|\times|\overrightarrow|\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角）C.\(x_1y_2+x_2y_1\)D.\(|\overrightarrow{a}|\times|\overrightarrow|\sin\theta\)答案：1.AC2.ABCD3.AD4.ACD5.ABCD6.ABC7.ABCD8.ABD9.AB10.AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）3.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱。（）6.若\(A\capB=A\)，則\(A\subseteqB\)。（）7.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）8.向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)與\(\overrightarrow=(0,1)\)垂直。（）9.不等式\(x^2\geq0\)的解集是\(R\)。（）10.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）恒過點(diǎn)\((0,1)\)。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-4\)，對(duì)稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,1)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，求\(a_3\)的值。答案：\(a_3=S_3-S_2\)，\(S_3=3^2=9\)，\(S_2=2^2=4\)，所以\(a_3=9-4=5\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性，并說明理由。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因?yàn)閈(x_1\ltx_2\)且\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.探討等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義、通項(xiàng)公式和性質(zhì)上的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：定義上，等差數(shù)列是后項(xiàng)減前項(xiàng)為常數(shù)，等比數(shù)列是后項(xiàng)除前項(xiàng)為常數(shù)；通項(xiàng)公式形式不同；性質(zhì)上，如等差數(shù)列有等差中項(xiàng)，等比數(shù)列有等比中項(xiàng)且運(yùn)算不同。聯(lián)系：在特殊情況下，常數(shù)列既是等差數(shù)列（公差為0）也是等比數(shù)列（公比為1）。3.已知直線\(l\)與圓\(C\)，討論直線\(l\)與圓\(C\)的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，計(jì)算圓心到直線的距離\(d\)，與圓半徑\(r\)比較