,c,10

10.c.oIn5-In-.c

(2)先換如數(shù),log；2=log/=8,■3In36In5i02

%秒殺秘籍：糖水不等式0

Tln-In---In-In一

3363

:若CI>b>0,"7>0,則一定有"+m>—,或者:

應(yīng)用三：證明隔項(xiàng)相乘無法約分的積式不等式

a+mab+mb

例3:求證：」廣<1352/z-l1

通俗的理解就是，，克的不飽和糖水里含有/，克糖，往糖水里面加入〃?克糖，則糖水更甜；-------<；

2G2462/2J2〃+1

b+mbcib+atn-ab-bin（a—h）ma+maab+bin-ab-am（a-b）m

證明：--------=------j---------='——>0;--------=------5---------=-~—<0

a+maa+amcr+amb+mbb“+bmb+Inn

“糖水不等式”的應(yīng)用flY.2.2.352^-1V,232n-12n

⑸342n~~\2^62n)<2'34

In2n+l

應(yīng)用一:關(guān)于判齊次分式函數(shù)的單調(diào)性

若/（x）為單調(diào)增函數(shù)，g（x）=g^，（a>z>）在其各自單調(diào)區(qū)間為增函數(shù)，g（x）=；；：；；（0>6）在其各自1.（2015湖北卷）將離心率為q的雙曲線G的實(shí)半軸長”和虛半軸長伙。工份同時(shí)增加個(gè)單位長度，得

到離心率為電的雙曲線G，則（）

單調(diào)區(qū)間為減函數(shù).例：g（x）=±1在區(qū)間（f-1）和（-1,位）為增函數(shù)；g（x）=1^l=|i~在區(qū)間

A.對(duì)任意的外8,有qB.當(dāng)a時(shí)，4>4；當(dāng)〃<〃時(shí)，弓<02

X4-1+NDI卜+』"I

C.對(duì)任意的見方,有,<e2D.當(dāng)a>匕時(shí)，et<e2;當(dāng)。v匕時(shí)，q>與

心,一|〕和為減函數(shù)；g（x）=WW=44在R上單調(diào)遞增；g（x）=ln?=ln（-N]在區(qū)2.（2015?湖南）設(shè)函數(shù)￡「）=1。（1+乂）-皿（1」）,則￡?。┦牵ǎ?/p>

A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)

間（T,l）上單調(diào)遞減。

C.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)

應(yīng)用二：關(guān)于指數(shù)和對(duì)數(shù)的比較大小

:

例1:若等比數(shù)列前〃項(xiàng)和為\（4>0,g>0）,比較SA/?與5?+1的大小

色+S”】

解：???s“2>>S?9=a+qsr=q_^〈,；故s?s?t2<sj.

S〃+I4+祝％+s“sn

q"

02

例2:（1）比較log；和log；的大??；（2）比較logJ與log0J

r4-1

,27,9,243.274.函數(shù)/（工）=1石的單調(diào)區(qū)間為.

.At”,.In-+In-In—In-

解：（1）log;=log：=-^-,logj=",logj=-^->^~~=^-=logj；

ln9In8in9]ng+jn_In9In85.已知1,試比較log"(〃+1)與log5T5+2)的大小.

8

9.（2004貴州）已知數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，出=6,%=162.

6.已知正數(shù)a,Ac滿足。＜6+c,求證：—（I）求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)S,,是數(shù)列曾“｝的前”項(xiàng)和，求證：S"：：*<I.

\+a1+b1+c

7.（2015安徽）設(shè)“eN，,x“是曲線y=x?"?+1在點(diǎn)（1,2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（I）求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；（II）記7；=工況…點(diǎn)一,求證：12

10.（2009山東）等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S.,已知對(duì)任意的"CN’,點(diǎn)（”,S“）均在函數(shù)y=6'+r（b>0且

b*1,瓦，?均為常數(shù)）的圖象上.（I）求，一的值；（II）當(dāng)。=2時(shí)，記6“=2（log,a?+1）（"eM）,求證:對(duì)任意的nwN*,

不等式空.婦匚.….久土1>成立.

及b2b?

8.（1995全國卷）設(shè)｛4｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S“是其前”項(xiàng)和，證明：

11.（98全國卷）已知數(shù)列電｝是等差數(shù)列,1=1,偽+/+...+%=145.

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)"；（U）設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)，，“=log”（l+；）（其中。>0.且axl），記S“是數(shù)列｛q,｝的

b?

前”項(xiàng)和.試比較5“與;iog“的大小，并證明你的結(jié)論.

14.若x>0,v>0,z>0,xyz=1,求證:1<—!—+―-—+——<2.

1+x1+y1+z

1242001高考全國卷)已知""I.〃是正整數(shù)目1<Y，"<n.(I冰證："'4<m'A'?(II諫證：(1+，")”>(l+n)m.

4444

15.求證:7；=—n1;1:F...H：<3.

3*-13--132--132-1

13.已知a.Ac分別是一個(gè)三角形的三邊長，求證：-<-^-+—+-^-<2.

2b+cc+aa+b

73“竟如看7號(hào)人，當(dāng)僅當(dāng)〃=1時(shí)

等號(hào)成立。

8.???S,,*2>S,“>S,,/.2<%■S,,「>S?S?t2

s,用%+qSn以+ss”

qn

16.(IMO數(shù)學(xué)競賽)若A,民Co,b,c,，?均為正數(shù)，求證：

.陶21叫”270g.s\.,=log”塔￡>bg?！?=0

A+a+B+b13+b+C+cA+a+C+c2?〃+l

-----------------+------------------>------------------

A+a+B+b+c+rB+b+C+c+a+rA+a+C+c+r+b

5+S

況

9(1)??=2-3"-';(U)?.?S.2>S,,“>-S.2/+“J;故S￡,2<S,,「.

S”+i4+小”%+冬

qn

10.(I)r=-l；(II)d=2”(〃￡N),=2w+l_『352〃+l

2n2〃

+1+2

In2nx//?+1

2〃2n+1

，=l

n(I)fc?=3,!-2(/(e/V);(II)S?=log?(1+1)[1+；)…(1+癮)0gJ(ri"IS

3"13/z3〃+l.(253〃-1丫23453〃一13〃3n4-1

3〃-2>3〃-1>33’，1丁7…3.-2>1>7,23,4=3/?+1,

3/7-23w-l3〃

故當(dāng)。>1時(shí)，*>3嗨(1+看］；當(dāng)0<a<l時(shí)，S?<|log,jl+1

總)和(總，刖；

1.D;2A;3.A;4.(g,〃〃一1〃-2/7-7+1故￡=(二]二…(〃T+1).4

12.(I)根據(jù)糖水不等式：一<------<------<???<-----；―-

mtn-\m-2m-i+i加ni^m-1)(/??-2)???(???-/4-1)A'n

噌“=MM>+>嗎=心2+]>幽叨=2.

即〃$<加4;

5.

ln?lnn+ln—ln(,,+1)ln(n+l)

(II)要證(1+，")">(1+"產(chǎn)，只需證"ln(l+，")>，”ln(l+"),只需證m(1+，")>ln(l+”),構(gòu)造函數(shù)

mn

.fc,cib+cbcbc

6.證明./Z?+c>a,----<-------=--------1--------<-----1-----.

\+a\+b+c\+b+c\+b+c\+bl+c

x=A+1

小)二皿1「),r()y2--------，令ga)=*Tn(l+x)，g⑼=。

11—x

g'(力=7-----7r------7=7-------，故當(dāng)無￡(0，”)時(shí)，g'(x)<0，g(x)<g(O)=O，故/'(x)<0,

(x+1)"x+\(x+l)'

/(x)在區(qū)間(0,+8)J,.">團(tuán)>1時(shí)，呵詈)>E。：、,命題得證.

2b

13.根據(jù)糖水不等式，7^-+±+展<T+廿1=2.再令

b+cc+4a+ba+b+cc+a+ba+b+c

a+b=x,b+c=y^c+a=z,

x+z-y,x+y-zy+z-xabcx+z-yx+y-zy+z-x

a----------,Z?=——,c=-----------,------+-------+-------=----------+——-——+------------

222b+cc+aa+b2y2z2x