2025年高考數(shù)學(xué)理科壓軸題訓(xùn)練卷：立體幾何與空間向量一、選擇題1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)，點B(-1,0,1)，點C(0,1,-1)，若向量AB與向量AC的夾角為90°，則點D(0,0,0)到平面ABC的距離是（）（1）$\sqrt{2}$（2）$\sqrt{3}$（3）$\sqrt{5}$（4）$\sqrt{6}$2.已知空間四邊形ABCD中，AB=2，AD=3，BC=4，CD=5，且對角線AC與BD相交于點O，若向量AO與向量CO的夾角為90°，則向量BO與向量DO的夾角為（）（1）60°（2）90°（3）120°（4）150°二、填空題3.在空間直角坐標(biāo)系中，若點P(3,4,5)，點Q(2,1,0)，則向量PQ的坐標(biāo)是（）4.在空間直角坐標(biāo)系中，若向量$\overrightarrow{a}=(1,2,3)$，向量$\overrightarrow=(2,3,4)$，則向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角余弦值為（）5.在空間直角坐標(biāo)系中，若點A(1,2,3)，點B(-1,0,1)，點C(0,1,-1)，則平面ABC的法向量是（）三、解答題6.（1）已知空間四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5，求證：$\angleABC$為直角。（2）已知空間四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，求證：$\angleABC$與$\angleBCD$互為補角。四、解答題6.（3）已知空間四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，求證：$\angleADB$為直角。（4）已知空間四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5，求證：$\angleACD$與$\angleBDA$互為補角。五、證明題7.證明：在空間直角坐標(biāo)系中，若點A(1,2,3)，點B(-1,0,1)，點C(0,1,-1)，則平面ABC與平面BCD的夾角為90°。六、應(yīng)用題8.已知空間四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5，且向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{CD}$的夾角為120°，求向量$\overrightarrow{AD}$與向量$\overrightarrow{BC}$的夾角。本次試卷答案如下：一、選擇題1.解析：由于向量AB與向量AC垂直，根據(jù)向量的點積公式，有$AB\cdotAC=0$。計算得到$AB\cdotAC=(-1-1)\cdot(0-1)\cdot(-1-3)=0$，因此點D到平面ABC的距離即為向量AB的模長，即$\sqrt{(-1)^2+(0)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$。故選（1）$\sqrt{2}$。2.解析：由于向量AO與向量CO垂直，根據(jù)向量的點積公式，有$AO\cdotCO=0$。由向量AC和向量BD的中點O可得$AO=\frac{1}{2}AC$，$CO=\frac{1}{2}BD$。將AC和BD的坐標(biāo)代入，得到$AO=\frac{1}{2}[(2+1)^2+(3+1)^2+(4+1)^2]=\frac{1}{2}[(3)^2+(4)^2+(5)^2]=\frac{1}{2}(9+16+25)=\frac{1}{2}(50)=25$。同理，$CO=\frac{1}{2}[(1-1)^2+(2-0)^2+(3-1)^2]=\frac{1}{2}(0+4+4)=\frac{1}{2}(8)=4$。因此，向量AO與向量CO的夾角為90°，所以向量BO與向量DO的夾角為60°。故選（1）60°。二、填空題3.解析：向量PQ的坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即$(2-3,1-4,0-5)=(-1,-3,-5)$。4.解析：向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角余弦值由點積公式計算得到$\cos(\theta)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$。計算得到$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4=2+6+12=20$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}$。因此，$\cos(\theta)=\frac{20}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{29}}$。5.解析：平面ABC的法向量可以通過向量AB和向量AC的叉積得到。計算得到$AB\timesAC=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-1&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}=(0-1)\mathbf{i}-(0+1)\mathbf{j}+(-1+0)\mathbf{k}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$。三、解答題6.解析：（1）證明：由向量AB和向量AC的點積為0，即$AB\cdotAC=(-1-1)\cdot(0-1)\cdot(-1-3)=0$，得證$\angleABC$為直角。（2）證明：由向量AB和向量AD的點積為0，即$AB\cdotAD=(-1-1)\cdot(0-3)\cdot(-1-3)=0$，得證$\angleABC$與$\angleBCD$互為補角。四、解答題6.解析：（3）證明：由向量AD和向量BC的點積為0，即$AD\cdotBC=(3-1)\cdot(0-4)\cdot(-1-3)=0$，得證$\angleADB$為直角。（4）證明：由向量AC和向量BD的點積為0，即$AC\cdotBD=(0-2)\cdot(3-1)\cdot(-1-0)=0$，得證$\angleACD$與$\angleBDA$互為補角。五、證明題7.解析：證明：平面ABC的法向量可以通過向量AB和向量AC的叉積得到。計算得到$AB\timesAC=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-1&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$。同理，平面BCD的法向量可以通過向量BC和向量BD的叉積得到。計算得到$BC\timesBD=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}$。由于兩個法向量的點積為0，即$(-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})\cdot(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})=0$，得證平面ABC與平面BCD的夾角為90°。六、應(yīng)用題8.解析：由向量AB和向量CD的點積為0，即$AB\cdotCD=0$，得證$\angleABC$與$\angleBCD$互為補角。因此，$\angleABC+\angleBCD=90°$。又因為$\angleABC+\angleBCA+\angleBCD=360°$（空間四邊形內(nèi)角和），得證$\angleBCA=270°$。由向量AD和向量BC的點積為0，即$AD\cdotBC=0$，得證$\angleADB$為直角。因此，$\angleADB+\angleABD+\angleBDA=