第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年甘肅省蘭州二中高一（下）期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.cos45°cos15°?sin45°sin15°=(

)A.12 B.32 C.?2.集合A={x|2x≤4}，B={x|y=x?1A.? B.R

C.[1,2] D.(?∞,1]∪[2,+∞)3.已知復數(shù)z滿足z=i(3+i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是(

)A.3 B.3i C.?3 D.?3i4.設a，b為非零向量，則“|a|=|b|”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關在如圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關系正確的是(

)A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b6.已知向量a=(3,4)，b=(2,m)，c=(2,?1)，若(a?A.72 B.2 C.6 D.7.已知cosα+3sinα=35A.4750 B.?4750 C.?8.若a(sinx+cosx)≤2+sinxcosx對任意x∈(0,π2)恒成立，則a的最大值為A.2 B.3 C.522二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>1?i

C.若z=(1+2i)2，則復數(shù)10.已知函數(shù)f(x)=2x,x≤1A.f(0)<f(3) B.f(x)為增函數(shù)

C.f(x)的值域為(0,+∞) D.方程f(x)=a最多有兩個解11.△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.下列與△ABC有關的結論中正確的是(

)A.若a=1，b=3，A=π6，則滿足條件的三角形有2個

B.若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形

C.若△ABC是銳角三角形，則cosA<sinB

D.若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若a、b是兩個不共線的向量，若AB=2a+kb，BC=a+b，CD=2a+13.tan22.5°?1tan22.5°14.若0<α<π2，?π2<β<0，cosα=33四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

興隆山自然保護區(qū)位于蘭州市東南公里的榆中縣境內(nèi)，1982年建立，1988年批準為國家級自然保護區(qū)，總面積33301公頃.是國家“AAAA”級旅游勝地，在一片綠海碧濤之中，著名的棲云山景區(qū)、馬銜山景區(qū)、官灘溝景區(qū)等三十余處景點，宛如瑪瑙鑲嵌在翠玉之上，光彩奪目.現(xiàn)為更好地提升旅游品質(zhì)，興隆山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分(滿分100分)，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；

(2)估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)和平均數(shù)(得數(shù)保留兩位小數(shù))．16.(本小題15分)

設a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若b?acosC=33asinC．

(1)求角A；

(2)若a=2，△ABC的周長的為617.(本小題15分)

在邊長為2的等邊三角形ABC中．

(1)當點P是邊BC上距離B較近的三等分點時，請用AB和AC表示AP；

(2)當點P是邊BC上的動點，試判斷：AP?(18.(本小題17分)

某數(shù)學學習小組研究得到了以下的三倍角公式：①sin3θ=3sinθ?4sin3θ；②cos3θ=4cos3θ?3cosθ.根據(jù)以上研究結論，研究以下問題．

(1)在①和②中任選一個進行證明；

(2)當θ≠kπ+π2(k∈Z)時，嘗試用19.(本小題17分)

如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成60°的兩條數(shù)軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設e1，e1分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量a=xe1+ye2，則把實數(shù)對[x,y]叫做向量OP的“完美坐標”．

(1)若向量OP的“完美坐標”為[3,4]，求|OP|；

(2)已知向量a，b的“完美坐標”分別為[cosθ2,sinθ2]，[cos

參考答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.AD

10.ACD

11.ACD

12.1213.?2

14.?15.(1)根據(jù)題意可知，10×(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=1，可得x=0.03；

(2)根據(jù)10×(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.4<10×(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6，

所以40%分位數(shù)在區(qū)間[80,90)內(nèi)，令其為m，

則0.3+0.03×(m?80)=0.4，解得m=80+103≈83.33，

所以滿意度評分的40%分位數(shù)約為83.33，

由頻率分布直方圖可知，平均數(shù)為x?=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84．

16.解：(1)由b?acosC=33asinC，及正弦定理可得sinB?sinAcosC=33sinAsinC．

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA帶入上式，

整理得33sinAsinC=sinCcosA．

因為sinC>0，

所以tanA=3．

因為A∈(0,π)，

所以角A=π3．

(2)∵△ABC的周長為6，

得b+c=4，

由17.(1)由題可得，CP=2PB，

即AP?AC=2(AB?AP)，

所以AP=23AB+13AC；

(2)由題，取線段BC的中點O，連接AO，則AO⊥BC，

以點O為坐標原點，BC、AO所在直線分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

則A(0,3)，B(?1,0)，C(1,0)，

設點P(a,0)18.(1)①證明：sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ

因為sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=1?2sin2θ，

所以sin3θ=2sinθcos2θ+(1?2sin2θ)sinθ=2sinθ(1?sin2θ)+(1?2sin2θ)sinθ=3sinθ?4sin3θ.

②證明：cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ?sin2θsinθ，

因為cos2θ=2cos2θ?1，sin2θ=2sinθcosθ，

所以cos3θ=(2cos2θ?1)cosθ?2sin2θcosθ=2cos3θ?cosθ?2(1?cos2θ)cosθ=4cos3θ?3cosθ．

19.(1)因為向量OP的“完美坐標”為[3,4]，所以OP=3