專題02探索平行線的性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)（10大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一兩直線平行同位角相等題型二兩直線平行內(nèi)錯角相等題型三兩直線平行同旁內(nèi)角互補題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型六平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用題型七根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度題型八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明題型九求平行線間的距離題型十利用平行線間距離解決問題【知識梳理】知識點：平行線性質(zhì)性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）【經(jīng)典例題一兩直線平行同位角相等】【例1】（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．如果，那么的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式擺放，若，則的度數(shù)是（

）A．30° B．57° C．55° D．33°2．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別是三邊上的點，且平分．若，則的度數(shù)為．

3．（2023下·浙江衢州·七年級?？计谥校┤鐖D，把一張長方形沿折疊后，點分別落在的位置上，與相交于點．已知，則的度數(shù)是．

4．（2023下·河南信陽·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，，∠1＝115°．

(1)求∠2和∠4的度數(shù)；(2)請你根據(jù)（1）的結(jié)果進行歸納：如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系是；(3)利用（2）的結(jié)論解答：如果兩個角的兩邊分別平行，其中一角是另一個角的2倍少60°，求這兩個角的大?。窘?jīng)典例題二兩直線平行內(nèi)錯角相等】【例2】（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）如圖a是長方形紙帶，，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，，平分，，，；則下列結(jié)論：①；②平分；③，④，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的平分線與的平分線相交于點，過作交于，交于，若，則的長為．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校┮阎?，點D為射線上的一點，過點D作，為的平分線，則的度數(shù)是度．4．（2022上·四川眉山·七年級?？计谀┮阎?，點在直線上，點在直線上．(1)如圖，，．①若，求的度數(shù)．②試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖，平分，平分，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【經(jīng)典例題三兩直線平行同旁內(nèi)角互補】【例3】（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，，，則為()

A． B． C． D．2．（2023上·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，含有角的直角三角板的兩個頂點放在一個長方形的對邊上，點為直角頂點，，延長交于點，如果，那么的度數(shù)是．

3．（2023下·安徽合肥·七年級?？计谥校┤鐖D，，若，則的度數(shù)為．

4．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，線段與線段平行，P是平面內(nèi)一點，連接，射線分別平分．

(1)當(dāng)點P在線段的延長線上時：①在圖1中，依題意補全圖形；②請直接寫出直線與直線的位置關(guān)系：___________；(2)如圖2，當(dāng)點P在直線與直線之間時，射線，交于點Q，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若直線與直線平行，請直接寫出點P的位置：___________．【經(jīng)典例題四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系】【例4】（2022下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若，則、、之間關(guān)系是（

）

A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④2．（2023下·河南周口·七年級?？茧A段練習(xí)）如果兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少，那么這兩個角的度數(shù)分別為．3．（2023下·安徽阜陽·七年級校考期末）把一塊含角的直角三角尺（其中）按下圖所示的方式擺放在兩條平行線之間．

（1）如圖1，若三角形的角的頂點落在上，且，則的度數(shù)為．（2）如圖2，若把三角尺的直角頂點放在上，角的頂點落在上，則與的數(shù)量關(guān)系為．4．（2023下·遼寧營口·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．點P是射線AM上一動點（與點A不重合）、BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點C，D．(1)求的度數(shù)．(2)當(dāng)點P運動到使時，的度數(shù)是多少？為什么？(3)當(dāng)點P運動時，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化．請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例5】（2023下·黑龍江佳木斯·七年級?？计谥校┤鐖D，平分，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論有_______．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【變式訓(xùn)練】1．（2023下·甘肅張掖·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平分，則的度數(shù)等于（

）

A． B． C． D．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)校考期中）已知和，兩個角的兩邊分別平行，，則的大小為．3．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，平分，連接交于點，若，，則的度數(shù)為．

4．（2023上·四川眉山·七年級期末）已知，直線，．(1)如圖1，點在上，與交于點，若，則______；(2)如圖2，點在與之間，與交于點，與交于點，且的平分線與的平分線交于點．①若，求（用含的式子表示）；②求的度數(shù)．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例6】（2022下·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么兩次拐彎的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【變式訓(xùn)練】1、（2023下·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）請閱讀以下“預(yù)防近視”知識卡讀書、寫字、看書姿勢要端正．一般人正常的閱讀角度約為俯角（如圖視線與水平線的夾角度．在學(xué)習(xí)和工作中，要保持讀寫姿勢端正，可概括為“三個一”，包括：眼與書本的距離1尺；身體與桌子距離1拳；握筆時，手指離筆尖1寸．書本與課桌的角度要保持在30度至45度．已知如圖，桌面和水平面平行，與書本所在平面重合，根據(jù)卡片內(nèi)容，請判斷正常情況下，坐姿正確且座椅高度適合時，視線和書本所在平面所成角度不可能為以下哪個角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°2．（2022下·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角時，．3．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線按順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至邊便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至邊就停止旋轉(zhuǎn)，此時光線也停止旋轉(zhuǎn)．若光線先轉(zhuǎn)4秒，光線才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)時，光線旋轉(zhuǎn)的時間為秒．4．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時與水平方向的夾角的度數(shù)．【經(jīng)典例題七根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度】【例7】（2023下·云南玉溪·七年級統(tǒng)考期末）含的三角板和含的三角板如圖擺放，若，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·安徽合肥·七年級校考期中）如圖，，平分，平分，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．2．（2023上·四川眉山·七年級期末）已知直線，現(xiàn)將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號為．3．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谥校┮桓敝苯侨浅呷鐖D1疊放，現(xiàn)將含的三角尺ADE固定不動，將含的三角尺ABC繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當(dāng)時，有一組邊，再繼續(xù)轉(zhuǎn)動三角形的過程中，請你寫出符合要求的的度數(shù)是度．

4．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，小明同學(xué)在做光的折射實驗時發(fā)現(xiàn)：平行于主光軸的光線和經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線、的反向延長線交于主光軸上一點P．【提出問題】小明提出：、和三個角之間存在著什么樣的數(shù)量關(guān)系？【分析問題】我們學(xué)習(xí)過平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)可以把分成兩部分進行研究．【解決問題】請你幫小明解決這個問題，并說明理由．【舉一反三】（1）如圖①，若，，則度．（2）如圖②，已知，點E、F分別是、上的點，點P位于上方，．用含α和β的代數(shù)式表示下列各角．①的大小為．②如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，若和分別平分和，則的大小為．【經(jīng)典例題八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明】【例8】（2023上·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，判斷與的大小關(guān)系（

）

A． B． C． D．不能確定【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建莆田·七年級?？计谥校┤鐖D，下面推理過程正確的是（

）

A．因為，所以 B．因為，所以C．因為，所以 D．因為，所以2．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

3．（2023上·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，分別平分和，且相交于，，于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤平分，其中正確的結(jié)論是．

4．（2023下·山西晉城·七年級期末）如圖甲所示，已知點E在直線上，點F，G在直線上，且，平分．(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由．(2)如圖乙所示，H是上點E右側(cè)一動點，的平分線交的延長線于點Q，①若，，求的值．②設(shè)，．點H在運動過程中，寫出和的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【經(jīng)典例題九求平行線間的距離】【例9】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）把直線a沿水平方向平移，平移后的直線為直線b，則直線a與直線b之間的距離（

）A．等于 B．小于 C．大于 D．小于或等于【變式訓(xùn)練】1．（2023下·甘肅張掖·七年級?？计谥校┰谕黄矫鎯?nèi)，設(shè)、、是三條互相平行的直線，已知與的距離為，與的距離為，則與的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023上·甘肅蘭州·九年級蘭州十一中?？茧A段練習(xí)）如圖，直線ABCD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，則直線AB與直線CD之間的距離是cm．3．（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，已知直角三角形中，B，C在直線a上，A在直線b上，，，，則點A到直線a的距離為．

4．（2022上·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形中，，連接，點在邊上，點在邊上，且．

(1)求證：．(2)若，且．求與之間的距離．(3)若．試求點到直線的距離的取值范圍．【經(jīng)典例題十利用平行線間距離解決問題】【例10】（2023下·陜西商洛·八年級?？计谥校┤鐖D，直線，則可以表示這兩條直線之間距離的線段是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南株洲·八年級株洲市景弘中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，大正方形與小正方形的面積之差為S，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B．S C． D．2．（2023下·江西九江·八年級濂溪一中?？计谀┤鐖D：已知直線，點在上，點在上，若的面積為27，且，則平行線與之間的距離為．

3．（2023下·吉林松原·七年級統(tǒng)考期中）探究規(guī)律：我們有可以直接應(yīng)用的結(jié)論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點，無論這點在直線的什么位置，這點到另一條直線的距離均相等．例如：如圖1，兩直線，兩點、在上，于，于，則．如圖2，已知直線，、為直線上的兩點，、為直線上的兩點．(1)請寫出圖中面積相等的各對三角形：．(2)如果、、為三個定點，點在上移動，那么無論點移動到任何位置總有：與的面積相等；理由是：．4．（2023上·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點都叫做格點，點A、B、P均在格點上．（請利用網(wǎng)格作圖，畫出的線用鉛筆描粗描黑）（1）過點P畫直線AB的平行線；（2）連接PA、PB，則三角形PAB的面積=；（3）若三角形QAB面積與三角形PAB的面積相等，且格點Q與P不重合，則格點Q有個．【拓展培優(yōu)】1．（2023·廣東清遠·統(tǒng)考三模）如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別交于點D，E，射線直線c，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2022下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數(shù)量關(guān)系3．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將長方形沿折疊，使點落在點處，點落在邊上的點處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．5．（2023下·安徽宿州·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，在上任選一點E，將一直角三角板直角頂點放在E處，，當(dāng)，此時的大小是（

）

A． B． C． D．6．（2023上·上海青浦·八年級?？计谥校┤鐖D，平分，，，則．7．（2022下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形中，點D是射線上一點(不與點B、C重合)，交直線于E，交直線于F，則的度為．

8．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺如圖1疊放，現(xiàn)將含的三角尺固定不動，將含的三角尺繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當(dāng)時，有一組邊，再繼續(xù)轉(zhuǎn)動三角尺的過程中，請你寫出符合要求的（）的度數(shù)是度．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺燈，圖2為示意圖．固定底座于點O，BA與CB是分別可繞點A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿．在調(diào)節(jié)過程中，燈體CD始終保持平行于OE，臺燈最外側(cè)光線DM，DN組成的始終保持不變．如圖2，調(diào)節(jié)臺燈使光線，此時，且CD的延長線恰好是的角平分線，則．10．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階