江蘇省鎮(zhèn)江市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）1．（2023?鎮(zhèn)江）（1）計(jì)算：﹣4sin45°+（）0；（2）化簡(jiǎn)：（1﹣）÷．二．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）2．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點(diǎn)，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，∠ACO＝45°．（1）m＝，k＝，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)P在x軸上，若以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F．（1）k＝；（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝﹣2；（3）連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）4．（2022?鎮(zhèn)江）一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、原點(diǎn)O和一次函數(shù)y＝x+1圖象上的點(diǎn)B（m，）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，一次函數(shù)y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點(diǎn)C作直線l1⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作直線l2⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥l2于點(diǎn)F．①x1＝，x2＝（分別用含n的代數(shù)式表示）；②證明：AE＝BF；（3）如圖2，二次函數(shù)y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數(shù)y＝x+1的圖象交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），過點(diǎn)P作直線l3⊥x軸，過點(diǎn)Q作直線l4⊥x軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，過點(diǎn)A′作A′M⊥l3于點(diǎn)M，過點(diǎn)B′作B′N⊥l4于點(diǎn)N．①A′M與B′N相等嗎？請(qǐng)說明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．5．（2021?鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣4，8），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對(duì)稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是．③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)△PDQ～△PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．四．三角形綜合題（共2小題）6．（2023?鎮(zhèn)江）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，OA、OB分別表示門框和門所在位置，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的定點(diǎn)，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定長(zhǎng)，∠MFN大小可變．（1）圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度數(shù)；（2）圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置OB（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值＝．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．7．（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB、AC分別與y軸交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，EF＝2．（1）分別求點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)（用含m、n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；（2）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m、縱坐標(biāo)n滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m的代數(shù)式表示n）；（3）將線段EF繞點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E'、F'．當(dāng)線段E'F'與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．五．四邊形綜合題（共3小題）8．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中點(diǎn)D、E，在邊BC上作MN＝DE．②連接EM，過點(diǎn)D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．③將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．④延長(zhǎng)PQ、ST交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．[任務(wù)1]請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點(diǎn)P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長(zhǎng)．9．（2022?鎮(zhèn)江）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH＝AB；（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當(dāng)AE、CF的大小有關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點(diǎn)O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，F(xiàn)H長(zhǎng)為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．10．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABCDEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動(dòng)】小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案：如圖2，將這個(gè)L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請(qǐng)用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點(diǎn)M，N，過MN的中點(diǎn)O的直線分別交邊BC，AF于點(diǎn)P，Q，直線PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應(yīng)用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P，Q，求PQ長(zhǎng)的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，當(dāng)GH的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的長(zhǎng)為．（2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍．六．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）11．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，?O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．七．切線的性質(zhì)（共1小題）12．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對(duì)角線BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫圓，⊙A與BC′相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．（1）求證：BE＝BG；（2）當(dāng)r＝1，AB＝2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．八．圓的綜合題（共1小題）13．（2022?鎮(zhèn)江）（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓O的一個(gè)圓心角．【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【交流】當(dāng)n＝11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分嗎？從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、（）°所對(duì)的弧去找（）°的三分之一即（）°所對(duì)的弧我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再試試：當(dāng)n＝28時(shí)，（）°、60°、（）°之間存在數(shù)量關(guān)系．因此可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．【探究】你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分？說說你的理由；（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．九．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）14．（2021?鎮(zhèn)江）如表是第四至七次全國人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù)．年份我國大陸人口總數(shù)其中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)每10萬大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)1990年11336825011612467814222000年12658300004571000036112010年133972485211963679089302020年141177872421836076715467（1）設(shè)下一次人口普查我國大陸人口共a人，其中具有大學(xué)文化程度的有b人，則該次人口普查中每10萬大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)為；（用含有a，b的代數(shù)式表示）（2）如果將2020年大陸人口中具有各類文化程度（含大學(xué)、高中、初中、小學(xué)、其他）的人數(shù)分布制作成扇形統(tǒng)計(jì)圖，求其中表示具有大學(xué)文化程度類別的扇形圓心角的度數(shù)；（精確到1°）（3）你認(rèn)為統(tǒng)計(jì)“每10萬大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)”這樣的數(shù)據(jù)有什么好處？（寫出一個(gè)即可）一十．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）15．（2023?鎮(zhèn)江）香醋中有一種物質(zhì)，其含量不同，風(fēng)味不同，各風(fēng)味香醋中該種物質(zhì)的含量如表：風(fēng)味偏甜適中偏酸含量（mg/100ml）71.289.8110.9某超市銷售不同包裝（塑料瓶裝和玻璃瓶裝）的以上三種風(fēng)味的香醋，小明將該超市1﹣5月份售出的香醋數(shù)量繪制成如下的條形統(tǒng)計(jì)圖：已知1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%．（1）求出a、b的值；（2）售出的玻璃瓶裝香醋中的該種物質(zhì)的含量的眾數(shù)為mg/100ml，中位數(shù)為mg/100ml；（3）根據(jù)小明繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖，你能獲得哪些信息（寫出一條即可）？一十一．列表法與樹狀圖法（共1小題）16．（2022?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于；（2）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出一個(gè)球．用列表或畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．

江蘇省鎮(zhèn)江市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類參考答案與試題解析一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）1．（2023?鎮(zhèn)江）（1）計(jì)算：﹣4sin45°+（）0；（2）化簡(jiǎn)：（1﹣）÷．【答案】（1）1；（2）．【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+1＝2﹣2+1＝1；（2）原式＝×＝．二．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）2．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點(diǎn)，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，∠ACO＝45°．（1）m＝﹣3，k＝﹣3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，0）；（2）點(diǎn)P在x軸上，若以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，0）或（2.5，0）．【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即點(diǎn)B（1，﹣3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式得：k＝﹣3×1＝﹣3，即反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣，根據(jù)正比例函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)A（﹣1，3），由點(diǎn)O、A的坐標(biāo)得，OA＝，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，由直線AB的表達(dá)式知，tan∠AOH＝3，而∠ACO＝45°，設(shè)AH＝3x＝CH，則OH＝x，則AO＝x＝，則x＝1，則AH＝CH＝3，OH＝1，則CO＝CH+OH＝4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（﹣4，0），故答案為：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，∵∠BOP＞90°＞∠AOC，又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，∴△BOP和△AOC不可能相似；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，∠AOC＝∠BOP，若△AOC∽△BOP，則，則OP＝OC＝4，即點(diǎn)P（4，0）；若△AOC∽△POB，則，即，解得：OP＝2.5，即點(diǎn)P（2.5，0），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，0）或（2.5，0）．3．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F．（1）k＝2；（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝﹣2；（3）連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：（，）．【答案】（1）2；（2）證明見解答過程；（3）（，）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，∴＝1，解得k＝2，故答案為：2；（2）在△ACF和△BDF中，，∴△ACF≌△BDF（AAS），∴S△BDF＝S△ACF，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，），則可得C（0，），∴AC＝a，OC＝，即a×（﹣m）＝a×（+m），整理得am＝﹣2；（3）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），則C（0，），D（0，﹣），∵E（2，1），∠CED＝90°，∴CE2+DE2＝CD2，即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，解得a＝﹣2（舍去）或a＝，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）4．（2022?鎮(zhèn)江）一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、原點(diǎn)O和一次函數(shù)y＝x+1圖象上的點(diǎn)B（m，）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，一次函數(shù)y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點(diǎn)C作直線l1⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作直線l2⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥l2于點(diǎn)F．①x1＝，x2＝（分別用含n的代數(shù)式表示）；②證明：AE＝BF；（3）如圖2，二次函數(shù)y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數(shù)y＝x+1的圖象交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），過點(diǎn)P作直線l3⊥x軸，過點(diǎn)Q作直線l4⊥x軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，過點(diǎn)A′作A′M⊥l3于點(diǎn)M，過點(diǎn)B′作B′N⊥l4于點(diǎn)N．①A′M與B′N相等嗎？請(qǐng)說明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．【答案】（1）y＝x2+2x；（2）①，；②證明見解答；（3）①A′M＝B′N，證明見解答；②t＝3或8．【解答】（1）解：∵直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵直線y＝x+1經(jīng)過點(diǎn)B（m，），∴m+1＝，解得：m＝，∴B（，），∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），O（0，0），B（，），設(shè)y＝ax（x+2），則＝a××（+2），解得：a＝1，∴y＝x（x+2）＝x2+2x，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x；（2）①解：由題意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），解得：x1＝，x2＝，故答案為：，；②證明：當(dāng)n＞1時(shí)，CD位于AB的上方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，當(dāng)＜n＜1時(shí)，CD位于AB的下方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，∴當(dāng)n＞﹣且n≠1時(shí)，AE＝BF；（3）①設(shè)P、Q平移前的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P′、Q′，則P′Q′∥PQ，∴P′Q′∥AB，∵平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，由（2）②及平移的性質(zhì)可知：A′M＝B′N；②∵A′M+3B′N＝2，∴A′M＝B′N＝，∵平移前二次函數(shù)y＝x2+2x的圖象的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣1），平移后二次函數(shù)y＝（x﹣t）2+2的圖象的頂點(diǎn)為（t，2），∴新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移（t+1）個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的，∴B（，）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（t+，），∵B′N＝，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t+1或t+2，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+或y＝（t+2）+1＝t+2，∴Q（t+1，t+）或Q（t+2，t+2），將點(diǎn)Q（t+1，t+）代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2，解得：t＝3，將點(diǎn)Q（t+2，t+2）代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+2＝（t+2﹣t）2+2，解得：t＝8，綜上所述，t＝3或8．5．（2021?鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣4，8），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對(duì)稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是A，D．③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)△PDQ～△PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝+，D（﹣4，﹣）．（2）①作圖見解析部分．②A，D．③點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（﹣10，）．【解答】解（1）由題意得：，解之得：a＝，b＝，c＝2，∴y＝+，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝＝﹣，∴D（﹣4，﹣）．（2）①如圖1中，點(diǎn)N，直線l即為所求．②如圖2中，設(shè)線段MN的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P，交MN于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MH⊥CD，過點(diǎn)Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．由題意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），∴直線AC的解析式為y＝4x+24，直線AB的解析式為y＝x+2，直線BC的解析式為y＝﹣x+2，∵M(jìn)N∥AB，∴可以假設(shè)直線MN的解析式為y＝x+t，由，解得，∴M（，），由．解得，∴N（，），∴Q（，），∵QJ⊥CD，QT⊥MH，∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，∴QJ＝QT，∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，∴△PJQ≌△MTQ（AAS），∴PQ＝MQ，∵∠PQM＝90°，∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴＝，故選項(xiàng)D正確，B，C錯(cuò)誤，∵將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，∴折痕與AB垂直，故選項(xiàng)A正確，故答案為：A，D．③設(shè)P（﹣4，m）．∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），把Q的坐標(biāo)代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，解得m＝或﹣（舍棄），∴Q（2，），根據(jù)對(duì)稱性可知Q′（﹣10，）也滿足條件，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（﹣10，）．四．三角形綜合題（共2小題）6．（2023?鎮(zhèn)江）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，OA、OB分別表示門框和門所在位置，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的定點(diǎn)，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定長(zhǎng)，∠MFN大小可變．（1）圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度數(shù)；（2）圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置OB（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值＝0.75．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．【答案】（1）∠MNB的度數(shù)為143°；（2）作圖見解答；（3）0.75．【解答】解：（1）如圖2，∵OA⊥OB，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的定點(diǎn)，∴∠MON＝90°，∵∠MFN＝180°，∴M、F、N三點(diǎn)在同一條直線上，∵OM＝27cm，ON＝36cm，∴tan∠ONM＝＝＝0.75，∴∠ONM＝37°，∴∠MNB＝180°﹣37°＝143°，∴∠MNB的度數(shù)為143°．（2）如圖3，作法：1．以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)N為半徑作弧，2．以點(diǎn)F為圓心，以FN為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)N、點(diǎn)N′，3．作射線OB、射線OB′，射線OB或射線OB′就是此時(shí)門的位置．（3）如圖4，作OD⊥MN于點(diǎn)D，則∠ODN＝90°，∴sin∠ONM＝＝，∴當(dāng)OD最大時(shí)，sin∠ONM的值最大，∵OM≥OD，∴OD≤27cm，∴OD的最大值為27cm，當(dāng)OD取得最大值27cm時(shí)，sin∠ONM＝＝0.75，∴在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值是0.75，故答案為：0.75．7．（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB、AC分別與y軸交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，EF＝2．（1）分別求點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)（用含m、n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；（2）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m、縱坐標(biāo)n滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m的代數(shù)式表示n）；（3）將線段EF繞點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E'、F'．當(dāng)線段E'F'與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．【答案】（1）E（0，﹣），F(xiàn)（0，﹣），m＜﹣3；（2）n＝m2﹣1；（3）m的取值范圍為9﹣6．【解答】解：（1）由直線AB與y軸交于E，得m≠3，∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴C（﹣m，﹣m），由直線AC與y軸交于點(diǎn)F，得﹣m≠3，即m≠﹣3，綜上所述，m≠±3，設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，將A（3，0），B（m，n）代入y＝kx+b得，，解得b＝﹣，∴E（0，﹣），同理F（0，﹣）；由點(diǎn)F在點(diǎn)E上邊可以求出m＜﹣3；（2）由題意得，EF＝﹣﹣（）＝2，整理得，n＝m2﹣1；（3）∵n與m的關(guān)系式為n＝m2﹣1，∴B（m，n）在函數(shù)y＝x2﹣1（x≠±3）的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，yE′＝1，當(dāng)E′在點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象上時(shí)，xE′2﹣1＝1，解得xE′＝，∵線段E'F'與點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，∴﹣3或3，由旋轉(zhuǎn)得，﹣3或3；∵yE＝﹣，∴m的取值范圍為9﹣6．五．四邊形綜合題（共3小題）8．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中點(diǎn)D、E，在邊BC上作MN＝DE．②連接EM，過點(diǎn)D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．③將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．④延長(zhǎng)PQ、ST交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．[任務(wù)1]請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點(diǎn)P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長(zhǎng)．【答案】[任務(wù)1]見解析；[任務(wù)2]見解析；[任務(wù)3]．【解答】[任務(wù)1]證明：由旋轉(zhuǎn)得，∠QAD＝∠ABC，∠TAE＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠QAD+∠DAE+∠TAE＝180°，∴點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；[任務(wù)2]證明：連接AQ并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于E，∵AD∥BC，∴∠DAQ＝∠E，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴DQ＝CQ，∵∠AQD＝∠EQC，∴△ADQ≌△ECQ（AAS），∴AQ＝EQ，AD＝CE，∵P是AB的中點(diǎn)，∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ＝BE＝（CE+BC），∴PQ＝（AD+BC）；[任務(wù)3]解：由[任務(wù)2]知PQ∥BC，PQ＝5，作DR⊥BC于R，在Rt△DCR中，DR＝CD?sin∠DCB＝9×＝，∵四邊形GEST是正方形，∴GE＝6，PE＝3，∴QE＝＝4，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴CQ＝，作QH⊥BC于H，∴QH＝CQ?sin∠DCB＝，∴CH＝＝，∵PQ∥BC，∴∠PQE＝∠QMH，∵∠PEQ＝∠QHM，∴△PEQ∽△QMH，∴，∴，∴HM＝，∴BM＝BC﹣HM﹣CH＝8﹣＝．9．（2022?鎮(zhèn)江）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH＝AB；（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當(dāng)AE、CF的大小有AE＝CF關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點(diǎn)O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，F(xiàn)H長(zhǎng)為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析部分；（2）AE＝CF．證明見解析部分；（3）結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形．證明見解析部分．【解答】（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AEH+∠AHE＝90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠AHE，在△AEH和△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，∴AE+AH＝AE+BE＝AB；（2）解：當(dāng)AE＝CF時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由：如圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF，DH＝DG，∴∠AEH＝∠BEF＝45°，∴∠HEF＝90°同法可證，∠EHG＝90°，∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．故答案為：AE＝CF；（3）解：結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形．理由：如圖3中，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M．，交EG于點(diǎn)N．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵AE＝DG，AE∥DG，∴四邊形AEGD是平行四邊形，∴AD∥EG，∴EG∥BC，∴＝，∵OE：OF＝4：5，設(shè)OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，則＝，∴h＝4（4﹣x），∴S＝?OE?HN＝×4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，∵﹣8＜0，∴x＝2時(shí)，△OEH的面積最大，∴OE＝4x＝8＝EG＝OG，OF＝5x＝10＝HF＝OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．10．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABCDEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動(dòng)】小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案：如圖2，將這個(gè)L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請(qǐng)用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點(diǎn)M，N，過MN的中點(diǎn)O的直線分別交邊BC，AF于點(diǎn)P，Q，直線PQ是（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應(yīng)用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P，Q，求PQ長(zhǎng)的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，當(dāng)GH的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的長(zhǎng)為．（2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍t＞．【答案】【活動(dòng)】所畫圖形如圖1，見解答；【思考】是；【應(yīng)用】（1）①PQ長(zhǎng)的最大值為；②；（2）t＞．【解答】解：【活動(dòng)】如圖1，直線O1O2是該L圖形的面積平分線；【思考】如圖2，∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥BC，∴∠NQO＝∠MPO，∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，∴ON＝OM，在△OQN和△OPM中，，∴△OQN≌△OPM（AAS），∴S△OQN＝S△OPM，∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，即SABPON＝SCDEFQOM，∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，∴直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線．故答案為：是；【應(yīng)用】（1）①如圖3，當(dāng)P與B重合時(shí)，PQ最大，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，L圖形ABCDEF的面積＝4×6﹣（4﹣1）×（6﹣1）＝9，∵PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線，∴梯形CDQP的面積＝×（DQ+BC）×CD＝，即×（DQ+6）×1＝，∴DQ＝CH＝3，∴PH＝6﹣3＝3，∵QH＝CD＝1，由勾股定理得：PQ＝＝；即PQ長(zhǎng)的最大值是；②如圖4，當(dāng)GH⊥AB時(shí)GH最短，過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，設(shè)BG＝x，則MG＝1﹣x，根據(jù)上下兩部分面積相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，解得x＝，即BG＝；故答案為：；（2）∵＝t（t＞0），∴CD＝tAF，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，如圖5，直線DE將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，延長(zhǎng)DE交AB于G，延長(zhǎng)FE交BC于H，只需要滿足S矩形AGEF＜S矩形EHCD，即S矩形ABHF＜S矩形CDGB，∴6CD＞4AF，∴＞，∴t＞．故答案為：t＞．六．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）11．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，?O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．【答案】（1）證明見解析部分．（2）．【解答】解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于E．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，∴AP是直徑，∴AP＝＝＝5，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵OA＝OP，AH＝HB，∴OH＝PB＝，∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，∴四邊形AHED是矩形，∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，∴OE＝OP，∴直線CD與⊙O相切．（2）如圖2中，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于T，連接PQ．∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，∴△ADE≌△TCE（ASA），∴AD＝CT＝4，∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，∵∠ABT＝90°，∴AT＝＝＝4，∵AP是直徑，∴∠AQP＝90°，∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，∴PB＝PQ，設(shè)PB＝PQ＝x，∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，∴×4×8＝×4×x+×4×x，∴x＝2﹣2，∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．備注：本題也可以用面積法，連接PQ，PE，設(shè)BP＝x，在Rt△PEQ中，PE2＝x2+（2﹣4）2，在Rt△PEC中，PE2＝（4﹣x）2+22，則x2+（2﹣4）2＝（4﹣x）2+22，解得x＝PB＝2﹣2，∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．七．切線的性質(zhì)（共1小題）12．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對(duì)角線BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫圓，⊙A與BC′相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．（1）求證：BE＝BG；（2）當(dāng)r＝1，AB＝2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解答】（1）證明：連接AE，∵BC′與圓相切于E，∴半徑AE⊥BE，∴∠BEG+∠AEG＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝2，∴∠BAF＝90°，∴∠AGF+∠F＝90°，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEG，∴∠AGF＝∠BEG，∵∠AGF＝∠BGE，∴∠BEG＝∠BGE，∴BE＝BG；（2）解：∵∠AEB＝90°，AE＝1，AB＝2，∴sin∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，由折疊的性質(zhì)得到∠CBD＝∠DBC′，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝×（90°﹣30°）＝30°，∴BC＝CD＝2．八．圓的綜合題（共1小題）13．（2022?鎮(zhèn)江）（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓O的一個(gè)圓心角．【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【交流】當(dāng)n＝11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分嗎？從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、（）°所對(duì)的弧去找（）°的三分之一即（）°所對(duì)的弧我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再試試：當(dāng)n＝28時(shí)，（）°、60°、（）°之間存在數(shù)量關(guān)系60°﹣9×（）°＝（）°．因此可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．【探究】你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分？說說你的理由；（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）【操作】作圖見解析部分；【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．【探究】所以對(duì)于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．（2）作圖見解析部分．【解答】解：（1）【操作】三等分點(diǎn)如圖所示：【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．故答案為：60°﹣9×（