小專題03：線段和差問題考點(diǎn)：線段和差問題題型一：一般全等三角形中的線段和差例1．如圖，，，于點(diǎn)，且，請(qǐng)證明：．【答案】見詳解【詳解】證明：，，，在和中，，，，，【練習(xí)1】如圖，已知，，，．求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：如圖，，，，，（同角的余角相等），在與中，，，，，，即．題型二：含有角平分線的三角形中的線段和差例2．已知，平分．（1）在圖1中，若，求證：；（2）在圖2中，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】見詳解【詳解】解：（1）在中，，中，，，．（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖2，在上截取，連接，，是等邊三角形，，，，，在和中，，為等邊三角形，，，．【練習(xí)2】如圖，，和的角平分線相交于，過的直線分別交，于兩點(diǎn)．（1）判斷與的位置關(guān)系．并說明理由：（2）求證：【答案】見詳解【詳解】解：（1），理由：，，和的角平分線相交于，，，，，；（2）在上截取，連接，如圖所示：在和中，，，，，，，，在和中，，，，，即．題型三：“半角模型”中的線段和差例3．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)到點(diǎn)．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以70海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以90海里小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】見詳解【詳解】解：?jiǎn)栴}背景：由題意：，，，，．故答案為：．探索延伸：仍然成立．理由：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，又，在和中，，，，，又，，，．在和中，，，，又，．實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，在四邊形中，，，又，，符合探索延伸中的條件，結(jié)論成立．即，（海里）答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為320海里．【練習(xí)3】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】見詳解【詳解】解：成立．證明：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，，，．1．如圖，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，，垂足分別為、，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：（1）直線，直線，，在和中，，，，，；（2）由（1）得：，，，，．2．如圖，，和的平分線相交于，過的直線分別交、于、兩點(diǎn)．求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：在線段上取，連接，是的角平分線，，，，，，由又可得，，又，，是的平分線，，又，，，，．3．如圖所示，，，平分，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，試探求、與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．【答案】見詳解【詳解】解：，理由是：過作于，平分，，在與中，，，，同理可得：，，，．4．如圖1，在中，，是等腰直角三角形，過點(diǎn)在外作直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）求證：．（2）如圖2，若過點(diǎn)在內(nèi)作直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則猜想、與之間有什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，并寫出圖2中的全等三角形．【答案】見詳解【詳解】證明：（1），，，，，是等腰直角三角形，，在和中，，（2），，，，，，，在和中，，，，，，；圖2中的全等三角形是．5．我們可以通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整原題：如圖1，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，，連接，則，試說明理由．（1）思路梳理，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合．，，點(diǎn)、、共線．根據(jù)，易證，得．（2）類比引申如圖2，四邊形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，．若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊上，且．猜想、、應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．【答案】見詳解【詳解】解：（1）思路梳理，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，如圖1，，，點(diǎn)、、共線，則，，，，即，在和中，，，；故答案為：；；（2）類比引申時(shí)，；理由如下：，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，如