專題16取對(duì)數(shù)法考向考向一解指數(shù)方程【方法儲(chǔ)備】1.等式兩邊取對(duì)數(shù)的原則：當(dāng)?shù)仁揭贿叧霈F(xiàn)指數(shù)的時(shí)候，等式兩邊可以同時(shí)取對(duì)數(shù).取對(duì)數(shù)運(yùn)算可將乘法運(yùn)算或除法降格為加法或減法運(yùn)算，也可以將根式、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算，一般在采取這一策略之后會(huì)讓解題更加簡(jiǎn)單方便.注意：等式兩邊必須都是正數(shù)時(shí)，才能同時(shí)取對(duì)數(shù).2.常見(jiàn)的四種指數(shù)方程的一般解法：（1）方程afx=ba>0,b>0,a≠1（2）方程afx=（3）方程afx=方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：ln（4）方程a2x+令ax=t,注意新變量范圍，將原方程化為關(guān)于t【典例精講】例1.(2023·遼寧省·模擬題)在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于a的方程aea?2=e4和關(guān)于b的方程b(lnb?2)=e3λ?1A.e8 B.e C.ln6 解：對(duì)aea?2=e4兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln?a+a=6①，

對(duì)b(lnb?2)=e3λ?1兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln?b+ln?(ln?b?2)=3λ?1，

即ln?b?2+ln設(shè)F(x)=ln?x+x，x>0，則F'(x)=1x+1>0，所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以方程F(x)=6的解只有一個(gè)，所以a=ln?b?2，

所以ab=(lnb?2)b=b(lnb?2)=【拓展提升】練11(2023·湖北省·月考試卷)對(duì)任意的x>1，不等式1aex?ln(x?1)?5+2lna≥0恒成立，則a解：由題意得a>0

設(shè)f(x)=1aex?ln(x?1)?5+2lna，則f'x=1aex?1x?1=exx?1?aax?1，

設(shè)gx=exx?1?a?x>1，則g'x=xex>0∴gx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，

∵g1=?a<0,ga+1∴fxmin=fx0=1練12(2023·北京市·月考試卷)著名田園詩(shī)人陶淵明也是一個(gè)大思想家，他曾言：勤學(xué)如春起之苗，不見(jiàn)其增，日有所長(zhǎng)；輟學(xué)如磨刀之石，不見(jiàn)其損，日有所虧.今天，我們可以用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)對(duì)這句話重新詮釋，我們可以把“不見(jiàn)其增”量化為每天的“進(jìn)步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不見(jiàn)其損”量化為每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365.可以計(jì)算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的1.013650.99365≈1481倍.那么，如果每天的“進(jìn)步率”和“落后率”都是20%A.17天 B.19天 C.23天 D.25天解：經(jīng)過(guò)x天后，“進(jìn)步”與“落后”的比

1.2x所以

32x兩邊取以

10

為底的對(duì)數(shù)得

x?lg32≥4

，又

lg2≈0.301

，所以

x?(lg?3?lg?2)≈x(0.477?0.301)=0.176x?4解得

x≥40.176所以大約經(jīng)過(guò)

23

天后，“進(jìn)步”是“落后”的

10000

倍．故選：C．考向二考向二構(gòu)造數(shù)列【方法儲(chǔ)備】遞推關(guān)系式如an+1①若P=1，則等式兩邊取常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，化為lga得到首項(xiàng)為lga1，公比為q的等比數(shù)列l(wèi)ga②若P≠1，則等式兩邊取以P為對(duì)數(shù)，化為logP【典例精講】例2.(2023·湖南省·聯(lián)考題)已知數(shù)列an=32an?1A.63log23?31 B.31log23解：由an=32an?12+3an?1+12可得an+1=在等式an+1=3令bn=log2an+1所以，數(shù)列bn+log23∴b即log2a5+1=32【拓展提升】練21

(2023·江蘇省揚(yáng)州市·模擬題)若數(shù)列{An}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列(1)證明：數(shù)列{an+1}(2)設(shè)bn=lg(an+1)，cn=2n+4，定義a?b=a,a≤b,解：(1)∵點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，∴an+1=an2+2an，

∴an+1+1=(an+1)2，∴{an+1}是“平方遞推數(shù)列”．

因?yàn)閘g(a1+1)=lg(9+1)=1>0，

對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lg(an+1+1)=2lg(an+1)，

∴數(shù)列{lg(a練22(2023·河北省·月考試卷)已知數(shù)列{an}，an=(an?1)nn?1(n≥2)，a解：(1)∵a1=e，an=(an?1)nn?1>0，

則ln?an=ln?an?1nn?1，即ln?an=nn?1ln?an?1，

也就是ln考向三解復(fù)雜不等式考向三解復(fù)雜不等式【方法儲(chǔ)備】1.用取對(duì)數(shù)法可以使要證明的不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)易證明的等價(jià)不等式，從而達(dá)到所要證明不等式的目的.2.解不等式兩邊取對(duì)數(shù)需滿足的條件：（1）首先等式兩邊都得大于零，（2）如果對(duì)數(shù)底數(shù)小于1,則不等號(hào)方向變化，（3）如果對(duì)數(shù)的底數(shù)大于1,則不等號(hào)方向不變.【典例精講】例3.(2023·湖南省岳陽(yáng)市·模擬題)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，則下列不等式恒成立的是（）A.x2+y2≥22 B.xxyy≤xyyx C.xx·yy?12 D.yx·xy?12

解：對(duì)于A，取x=12,y=12，x2+y2=14+14=兩邊取對(duì)數(shù)ln(yx由題可知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，即證xln(1?x)+(1?x)lnx?ln12，

構(gòu)造函數(shù)f(x)=xln(1?x)+(1?x)lnx，(0<x<1)，f′(x)=ln1?xx+1?2xx(1?x)

令t(x)=ln1?xx+1?2xx(1?x)，(0<x<1)，t′(x)=?x2+x?1x2(1?x)2<0，故t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

且t(12)=0，∴t(x)在(0,1【拓展提升】練31(2023·福建省·月考試卷)（多選）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a>0且ab?a2≥1，則(

)A.b+sina>a+sinb B.bsina>asinb

C.log2b>log解：方法一：ab?a2≥1，則b≥1a+a>a>0，f(x)=x?sinx在(0,+∞)單調(diào)遞增，

∴f(b)>f(a)，∴b?sinb>a?sina，即b+sina>a+sinb，A對(duì)．

當(dāng)a=3π2，b=414π時(shí)，bsina<0，asinb>0，此時(shí)bsina<asin?b，B錯(cuò)．

又b≥1a+a≥2，log2b≥1，logba<logbb=1，∴l(xiāng)og2b>logba，C對(duì)．

令g(x)=ln(x+1)x，g′(x)=xx+1?ln(x+1)x2

令h(x)=xx+1?ln(x+1)，h′(x)=1(x+1)2?1x+1=?x(x+1)2<0

故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，

∴h(x)<h(0)=0，∴?g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，

∴g(a)>g(b)，∴l(xiāng)n(a+1)a>ln(b+1)b，∴bln(a+1)>aln(b+1)

∴(a+b)b>(b+1)a，D練32(2023·廣東省·月考試卷)已知函數(shù)f(x)=ex+alnx?xa?x(a>0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828?).當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為

;若f(x)?解：由題意當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex+lnx?2x，f'x=ex+1x?2，

則f(1)=e?2，f'(1)=e?1，

所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線