專題09一線三垂直模型（K字型）模型一、一線三垂直模型（全等三角形）如圖所示，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二、一線三垂直模型（相似三角形）如圖，∠B=∠C=∠APE推出△ABP∽△PCD（一線三等角）例1．（2022·四川德陽(yáng)·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在BD的上方作正方形BDEF，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，BD的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C．1 D．8－例2．（2022·四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在BD的上方作正方形BDEF，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，BD的長(zhǎng)為_______．【變式訓(xùn)練1】（2020·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，B在y軸正半軸上，且C（4，﹣4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____．【變式訓(xùn)練2】（2022·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，連接PA，PB，若的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，取位于A點(diǎn)下方的點(diǎn)P，將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接BC，點(diǎn)M是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，連接MB，若，求滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】（2022·四川·威遠(yuǎn)縣鳳翔中學(xué)二模）【問題背景】如圖1所示，在中，，，點(diǎn)D為直線上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié).【問題初探】如果點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作交直線于F，如圖2所示，通過證明______，可推證是_____三角形，從而求得______°.【繼續(xù)探究】如果點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，求出的度數(shù).【拓展延伸】連接，當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的最小值.圖1

圖2

圖3課后訓(xùn)練1．（2022·四川·井研縣教育科學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別相交于點(diǎn)、點(diǎn)，以線段為邊作正方形，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，把邊長(zhǎng)為3的正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE與BC交于點(diǎn)P，ED的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)Q，交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．若BQ：AQ＝3：1，則AM＝__________．3．（2022·四川成都·九年級(jí)專題練習(xí)）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做幸運(yùn)三角形，這兩邊中較長(zhǎng)邊稱為幸運(yùn)邊，這兩邊的夾角叫做幸運(yùn)角．如圖，是幸運(yùn)三角形，為幸運(yùn)邊，為幸運(yùn)角，，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)是直角三角形且時(shí)，則k的值為_______．4．（2021·四川樂山·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，于點(diǎn)，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為________．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，請(qǐng)求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在中，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2021·四川達(dá)州·九年級(jí)期中）模型探究：（1）如圖1，在等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．求證：；模型應(yīng)用：（2）已知直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至直線，如圖2，求直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖3，已知點(diǎn)、在直線上，且．若直線與軸的交點(diǎn)為，為中點(diǎn)．試判斷在軸上是否存在一點(diǎn)，使得是以為斜邊的等腰直角三角形．7．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°<∠BAC<180°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請(qǐng)證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．8．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與邊AC交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________；(2)連接EF，求∠FEC的正切值；(3)如圖2，將△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)G處，求BG的長(zhǎng)度．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請(qǐng)猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請(qǐng)問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）11．（2020·四川成都）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；（3）如圖2，連接，，過點(diǎn)作直線，點(diǎn)，分別為直線和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使．若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2021·四川成都）如