五年20182022高考數(shù)學真題按知識點分類匯編5導數(shù)及其應用（含解析）一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A． B． C． D．6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+10．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．11．（2019·天津·高考真題）已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．12．（2019·全國·高考真題）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．13．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．14．（2018·浙江·高考真題）已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B． C． D．15．（2018·全國·高考真題）設函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為()A． B． C． D．16．（2018·全國·高考真題）函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．二、多選題17．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線19．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．21．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．22．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．23．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)_______．①；②當時，；③是奇函數(shù)．24．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是_______．25．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．26．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小值為______.27．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．28．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)．若，則a=_________．29．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.30．（2019·天津·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________.31．（2019·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為___________．32．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（e，1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是____.33．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.34．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線的斜率為，則________．35．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．36．（2018·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．37．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則的最小值是_____________．38．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．39．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)f(x)=exlnx，為f(x)的導函數(shù)，則的值為__________．四、解答題40．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．41．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；(3)證明：對任意的，有．42．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）43．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．44．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．45．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．46．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．47．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．48．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．49．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．50．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結論的實際含義．51．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．52．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．53．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))54．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．55．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．56．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.57．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．58．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．59．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.60．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．（Ⅰ）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）當時，求證：對任意的，且，有．61．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．62．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：（?。?；（ⅱ）．63．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．64．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式；右側曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關系式.已知點B到的距離為40米.（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?65．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．66．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．67．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．68．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.69．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.70．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調性．71．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調性；（2）證明：；（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.72．（2019·天津·高考真題）設函數(shù)為的導函數(shù).（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明；（Ⅲ）設為函數(shù)在區(qū)間內的零點，其中，證明.73．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).74．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.75．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．76．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.77．（2019·浙江·高考真題）已知實數(shù)，設函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）對任意均有求的取值范圍.注：為自然對數(shù)的底數(shù).78．（2019·江蘇·高考真題）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．79．（2019·江蘇·高考真題）設函數(shù)，為f（x）的導函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．80．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當時，求證：；（Ⅲ）設，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．81．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.82．（2019·天津·高考真題）設函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個零點（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.83．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．84．（2018·北京·高考真題）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．85．（2018·北京·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.86．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．87．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．88．（2018·浙江·高考真題）已知函數(shù)．（1）若在處導數(shù)相等，證明：；（2）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．89．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求的單調區(qū)間；（2）證明：只有一個零點．90．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）設是的極值點．求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．91．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內存在“點”，并說明理由．92．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.93．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明：；（III）證明：當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.94．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：．95．（2018·天津·高考真題）設函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列.（I）若求曲線在點處的切線方程；（II）若，求的極值；（III）若曲線與直線有三個互異的公共點，求d的取值范圍.五、雙空題96．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．97．（2019·北京·高考真題）設函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．參考答案：1．B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.2．D【分析】利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調遞增；在區(qū)間上，即單調遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D3．A【分析】由結合三角函數(shù)的性質可得;構造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構造函數(shù)因為當故，故，所以；設，，所以在單調遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構造函數(shù)因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．4．C【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導數(shù)法設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當且僅當取到，當時，得，則當時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是5．C【分析】構造函數(shù)，導數(shù)判斷其單調性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構造法設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調遞增，可得，即，所以在上單調遞增，可得，即，所以故6．D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.7．D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題11．C【解析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數(shù)的單調性，進行綜合分析．12．C【分析】先判定點是否為切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【點睛】本題考查利用導數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取導數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數(shù)求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程．13．D【解析】通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關系．14．B【分析】先證不等式，再確定公比的取值范圍，進而作出判斷.【詳解】令則，令得，所以當時，，當時，，因此，若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.【點睛】構造函數(shù)對不等式進行放縮，進而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如15．D【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項系數(shù)為零求得，進而得到的解析式，再對求導得出切線的斜率，進而求得切線方程.詳解：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡可得，故選D.點睛：該題考查的是有關曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應的參數(shù)值，之后利用求導公式求得，借助于導數(shù)的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果.16．D【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調性，由排除法可得結果.詳解：函數(shù)過定點，排除，求得函數(shù)的導數(shù)，由得，得或，此時函數(shù)單調遞增，排除，故選D.點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.17．AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．18．AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.19．BC【分析】方法一：轉化題設條件為函數(shù)的對稱性，結合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【整體點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．20．【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉化法，零點的問題轉為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構造新函數(shù)，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設函數(shù)，則，若，則在上單調遞增，此時若，則在上單調遞減，在上單調遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調遞減，此時若，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關系，由數(shù)形結合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構造新函數(shù)，多次求導判斷單調性，根據(jù)極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．21．【分析】設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關于的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：22．【分析】結合導數(shù)的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.23．（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）24．①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數(shù)，把問題轉化成所構造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結合函數(shù)的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．25．【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．26．1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數(shù)研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.27．【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導數(shù)求最大值.【詳解】設圓心到直線距離為，則，所以點P到AB的距離為或，且所以令（負值舍去）當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點睛】本題考查垂徑定理、利用導數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.28．1【分析】由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后得到關于實數(shù)a的方程，解方程即可確定實數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算法則，導數(shù)的計算，方程的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.29．【分析】設切線的切點坐標為，對函數(shù)求導，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】設切線的切點坐標為，，所以切點坐標為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.30．【分析】利用導數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．【詳解】，當時其值為，故所求的切線方程為，即．【點睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．31．.【分析】本題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．32．.【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設點，則.又，當時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標為.【點睛】導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．33．4.【分析】將原問題轉化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數(shù)確定切點坐標可得最小距離【詳解】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結合和轉化與化歸思想解題.34．【分析】求導，利用導數(shù)的幾何意義計算即可．【詳解】解：則所以故答案為3.【點睛】本題主要考查導數(shù)的計算和導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．35．【分析】求導，可得斜率，進而得出切線的點斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點睛】求曲線在某點處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點處的導數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡整理.36．【分析】方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調性，確定零點位置，求出參數(shù),再根據(jù)函數(shù)在上的單調性確定函數(shù)最值，即可解出.【詳解】［方法一］：【通性通法】單調性法求導得，當時，函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，且，所以函數(shù)在內無零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增．當時，；當時，．要使函數(shù)在區(qū)間內有且僅有一個零點，只需，解得．于是函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，，所以最大值與最小值之和為．故答案為：．［方法二］：等價轉化由條件知有唯一的正實根，于是．令，則，所以在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，且，當時，；當時，．只需直線與的圖像有一個交點，故，下同方法一．［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式同方法二得，，當且僅當時取等號，要滿足條件只需，下同方法一．［方法四］：等價轉化由條件知有唯一的正實根，即方程有唯一的正實根，整理得，即函數(shù)與直線在第一象限內有唯一的交點．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖2．設切點，因為，于是，解得，下同方法一．【整體點評】方法一：利用導數(shù)得出函數(shù)在上的單調性，確定零點位置，求出參數(shù)，進而問題轉化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；方法二：利用等價轉化思想，函數(shù)在上有唯一零點轉化為兩函數(shù)圖象有唯一交點，從而求出參數(shù)，使問題得解；方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；方法四：將函數(shù)在上有唯一零點轉化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解．37．【分析】方法一：由，確定出函數(shù)的單調區(qū)間，減區(qū)間，從而確定出函數(shù)的最小值點，代入求得函數(shù)的最小值.【詳解】［方法一］：【通性通法】導數(shù)法．令，得，即在區(qū)間內單調遞增；令，得，即在區(qū)間內單調遞減．則．故答案為：.［方法二］：三元基本不等式的應用因為，所以．當且僅當，即時，取等號．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是，此時．故答案為：.［方法三］：升冪公式＋多元基本不等式，，當且僅當，即時，．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．故答案為：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放縮，當且僅當時等號成立．故答案為：.［方法五］：萬能公式＋換元+導數(shù)求最值設，則可化為，當時，；當時，，對分母求導后易知，當時，有最小值．故答案為：.［方法六］：配方法，當且僅當即時，取最小值．故答案為：.［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應用＋導數(shù)法因為，所以，即函數(shù)的一個周期為，因此時，的最小值即為函數(shù)的最小值．當時，，當時，因為，令，解得或，由，，，所以的最小值為．故答案為：.【整體點評】方法一：直接利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，得出極值點，從而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通過對函數(shù)平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；方法三：基本原理同方法三，通過化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；方法四：通過化同角以及化同名函數(shù)，放縮，再結合多元基本不等式求解，難度較高；方法五：通過萬能公式化簡換元，再利用導數(shù)求出最值，該法也較為常規(guī)；方法六：通過配方，將函數(shù)轉化成平方和的形式，構思巧妙；方法七：利用函數(shù)的周期性，縮小函數(shù)的研究范圍，再利用閉區(qū)間上的最值求法解出，解法常規(guī)，是該題的最優(yōu)解．38．【分析】先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程.【詳解】【點睛】求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.39．e【分析】首先求導函數(shù)，然后結合導函數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則，即的值為e，故答案為.點睛：本題主要考查導數(shù)的運算法則，基本初等函數(shù)的導數(shù)公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.40．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導后分類討論結合零點存在定理可求.（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.（2）（i）當時，因為曲線和有公共點，故有解，設，故，故在上有解，設，故在上有零點，而，若，則恒成立，此時在上無零點，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無零點，故，設，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為在上有零點，故，故，而，故即，設，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，下證：對任意，總有，證明：當時，有，故成立.當時，即證，設，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當時，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調性結合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構建不等式關系，再利用分析法來證明目標不等式.41．(1)(2)在上單調遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結論可知在[0,+∞）上單調遞增，即得證.【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調遞增，∴，∴∴在上單調遞增，又因為，∴，所以命題得證.42．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.（2）（?。┯深}設構造關于切點橫坐標的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設不等式可轉化為，結合零點滿足的方程進一步轉化為，利用導數(shù)可證該不等式成立.【詳解】（1），當，；當，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設，則，當或時，；當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當時，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉化為關于切點方程的解的個數(shù)問題，而復雜方程的零點性質的討論，應該根據(jù)零點的性質合理轉化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.43．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.44．(1)(2)【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得解；（2）求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調性，把函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)的單調性與極值的問題.45．(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.46．(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導的定義域為，則令,得當單調遞減當單調遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調遞增即,所以令所以在單調遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設，則只需證構造，則故在上單調遞減故，即得證【點睛】關鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握47．(1)(2)【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域為當時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為（2）設若,當,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當,則所以在上單調遞增所以,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當,則,所以在上單調遞增所以存在,使得,即當單調遞減當單調遞增所以當當48．(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)的單調性，從而可得相應的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點，且：當時，即即，當時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為再次，證明存在b，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列，因為所以，又因為在上單調遞減，，即，所以，同理，因為，又因為在上單調遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.49．（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.【詳解】（1）.（2）設，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.51．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當時，構造函數(shù)，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．52．（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，由此可得出結果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.53．(1)時，在上單調遞增；時，函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調性；(2)將原問題進行等價轉化，然后構造新函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結合(2)的結論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調遞增；②若，當時，單調遞減，當時，單調遞增.綜上可得，時，在上單調遞增；時，函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調遞減，單調遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，故，又由知，，要證，只需，且關于的函數(shù)在上單調遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個不同零點，不妨設，由得（其中）．且．要證，只需證，即證，只需證．又，所以，即．所以只需證．而，所以，又，所以只需證．所以，原命題得證．[方法三]：若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點且．又，故進一步有．由可得且，從而．．因為，所以，故只需證．又因為在區(qū)間內單調遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．【整體點評】本題第二、三問均涉及利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，方法一：直接分析零點，將要證明的不等式消元，代換為關于的函數(shù)，再利用零點反代法，換為關于的不等式，移項作差構造函數(shù)，利用導數(shù)分析范圍.方法二：通過分析放縮，找到使得結論成立的充分條件，方法比較冒險！方法三：利用兩次零點反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調性，轉化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結論.54．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質可得出關于的等式，即可解出的值；（2）設點、、，利用導數(shù)求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數(shù)的基本性質可求得面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質求最小值由題意知，，設圓M上的點，則．所以．從而有．因為，所以當時，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點為，，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點弦方程+韋達定義判別式求弦長求面積法拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點A、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點弦法+分割轉化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過P作y軸的平行線交于Q，則．．P點在圓M上，則．故當時的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設直線AB方程法設切點A，B的坐標分別為，．設，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點P的坐標為，即．將點P的坐標代入圓M的方程，得，整理得．由弦長公式得．點P到直線的距離為．所以，其中，即．當時，．【整體點評】（1）方法一利用兩點間距離公式求得關于圓M上的點的坐標的表達式，進一步轉化為關于的表達式，利用二次函數(shù)的性質得到最小值，進而求得的值；方法二，利用圓的性質，與圓上點的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設點、、，利用導數(shù)求得兩切線方程，由切點弦方程思想得到直線的坐標滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理可得，，利用弦長公式求得的長，進而得到面積關于坐標的表達式，利用圓的方程轉化得到關于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關于坐標的表達式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理判別式得到，且．利用點在圓上，求得的關系，然后利用導數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標，進而利用弦長公式和點到直線距離公式求得面積關于的函數(shù)表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求得最大值；55．（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優(yōu)解】：轉化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數(shù)不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區(qū)間內是增函數(shù)，在區(qū)間內是減函數(shù)，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（ⅰ）當時，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質分類轉化分式不等式：當時，轉化為證明，當時，轉化為證明，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，進而證得；方法二利用不等式的性質分類討論分別轉化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后換元構造，利用導數(shù)研究單調性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構造函數(shù)，利用導數(shù)分析單調性，證得常見常用結論（當且僅當時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質證得要證得不等式，有一定的巧合性.56．（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.（2）根據(jù)及（1）的單調性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉化中注意等價轉化.57．（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負與函數(shù)的單調性的關系即可得到函數(shù)的單調性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數(shù)研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設函數(shù),則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內有兩個解．構造函數(shù)，求導數(shù)得．當時，在區(qū)間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當時，有，即，由函數(shù)在內有兩個零點知，所以，即．構造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內單調遞增；在區(qū)間內單調遞減；時，最大值為，所當且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區(qū)間內單調遞減，不滿足題意；當時，，由得在區(qū)間內單調遞增，由得在區(qū)間內單調遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉化，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，圖象，利用數(shù)形結合思想求解.方法二：將問題取對，構造差函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結論．方法四：直接求導研究極值，單調性，最值，得到結論.58．(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性；(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調遞增，當時，的解為：，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上可得：當時，在R上單調遞增，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.59．（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉換為證明：，然后構造對稱差函數(shù)，結合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調性即可證得題中的結論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉化由得，即．由，得．由（1）不妨設，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉換為證明：．令，則有，不妨設．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內單調遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內單調遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內單調遞減．，則，所以在區(qū)間內單調遞減．由得，所以，即．[方法四]：構造函數(shù)法由已知得，令，不妨設，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內單調遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉化是常見的數(shù)學思想，構造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性證明題中的不等式即可.方法四：構造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關于的式子，這是本方法證明不等式的關鍵思想所在.60．（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.【分析】(Ⅰ)(i)首先求得導函數(shù)的解析式，然后結合導數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用導函數(shù)與原函數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）首先確定導函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉化為與有關的函數(shù)，然后構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質即可證得題中的結論.【詳解】(Ⅰ)(i)當k=6時，，.可得，，所以曲線在點處的切線方程為，即.(ii)依題意，.從而可得，整理可得：，令，解得.當x變化時，的變化情況如下表：單調遞減極小值單調遞增所以，函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，單調遞增區(qū)間為(1，+∞)；g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.（Ⅱ）證明：由，得.對任意的，且，令，則.

①令.當x>1時，，由此可得在單調遞增，所以當t>1時，，即.因為，，，所以.

②由(Ⅰ)(ii)可知，當時，，即，故

③由①②③可得.所以，當時，任意的，且，有.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．61．（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切點的坐標，然后由點斜式可得結果；（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標軸上的截距，進一步得到三角形的面積，最后利用導數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，設切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導數(shù)法顯然，因為在點處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設時，結果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導數(shù)法

．因為為偶函數(shù)，不妨設，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因為，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增所以．所以當，即時，．因為為偶函數(shù)，當時，．綜上，當時，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當且僅當，即時取等號．所以當，即時，．因為為偶函數(shù)，當時，．綜上，當時，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換