10.2.1代入消元法一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章"二元一次方程組"中10.2.1節(jié)"代入消元法"，內(nèi)容包括：通過實(shí)際問題理解消元思想，掌握用代入法解二元一次方程組的完整步驟，能根據(jù)方程組特點(diǎn)選擇最優(yōu)解法，并能建立方程模型解決生活應(yīng)用問題。2.內(nèi)容解析

代入消元法是解二元一次方程組的基本方法，其核心是通過代數(shù)變形將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程。本課內(nèi)容銜接小學(xué)簡易方程思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式組、函數(shù)圖像法解方程奠定基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維和模型意識(shí)的重要載體。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)

(1)能準(zhǔn)確描述代入消元法的操作步驟，獨(dú)立完成系數(shù)為1或-1的方程組求解。

(2)能根據(jù)系數(shù)特征選擇最佳代入變量，優(yōu)化解題過程。

(3)能建立二元一次方程組模型解決快遞計(jì)費(fèi)、商品包裝等實(shí)際問題。2.目標(biāo)解析

通過觀察方程結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生應(yīng)掌握"選擇系數(shù)簡單的變量→代數(shù)變形→代入消元→回代求解"的完整思維鏈條。在解決快遞員收入、商品分裝等現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，發(fā)展從具體情境抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的建模能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)與幾何中的方程組應(yīng)用積累經(jīng)驗(yàn)。三、教學(xué)問題診斷分析代數(shù)變形錯(cuò)誤：改寫y=步驟缺失：23%學(xué)生會(huì)忘記將求得的x值回代求y，直接得出最終解。策略選擇困難：面對(duì)系數(shù)復(fù)雜的方程組時(shí)，無法快速判斷應(yīng)消去x還是y。建模障礙：將"送件單價(jià)+攬件單價(jià)=總報(bào)酬"錯(cuò)誤理解為總價(jià)x+四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情景引入問題1快遞員小李周一配送120件包裹，攬收45件包裹，獲得270元報(bào)酬；周二配送90件，攬收25件，獲得185元。如果每配送和攬收的報(bào)酬固定，如何計(jì)算單價(jià)？

（學(xué)生嘗試用算術(shù)方法解決，發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)未知量難以處理）問題2若設(shè)配送每件報(bào)酬為x元，攬收每件為y元，請(qǐng)列出數(shù)學(xué)關(guān)系式：

120x

（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程組與問題1的等價(jià)關(guān)系）問題3能否像小學(xué)應(yīng)用題那樣，只設(shè)一個(gè)未知數(shù)解決此問題？

（展示轉(zhuǎn)化過程：由120x+45y=設(shè)計(jì)意圖：通過生活實(shí)例建立一元與二元方程的聯(lián)系，滲透消元思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(3)。（二）合作探究1探究1解基礎(chǔ)型方程組：

x教師追問：方程①中，用x表示y的表達(dá)式是什么？

（學(xué)生回答：y=將y=6?x代入②式后，方程變成什么形式？

（學(xué)生計(jì)算：求得x=2后，如何確定y的值？

（強(qiáng)調(diào)必須回代到變形后的方程完整解題展示：

由①得

變形y

代入②得

代入2x

解得

解一元方程x

將x=2代入變形式y(tǒng)

∴方程組的解為

x（三）鞏固練習(xí)1解方程組：

3x

解析：

由①得

系數(shù)優(yōu)先y

代入②得

4x

回代得

y

最終解：

x解方程組：

5x

解析：

由①得

系數(shù)需變號(hào)y

代入②得

3x

（此設(shè)計(jì)故意制造分?jǐn)?shù)解，檢驗(yàn)計(jì)算嚴(yán)謹(jǐn)性）（四）合作探究2探究2解系數(shù)復(fù)雜方程組：

2x猜想驗(yàn)證：方程①中x系數(shù)為2，y系數(shù)為-5方程②中x系數(shù)為9，y系數(shù)為7選擇改寫x：由①得x選擇改寫y：由①得y=2x完整解題過程：

由①得

分?jǐn)?shù)表達(dá)式需規(guī)范x

代入②得

9

回代得

x

∴方程組的解為

x設(shè)計(jì)意圖：通過系數(shù)對(duì)比強(qiáng)化策略選擇意識(shí)，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)。（五）典例分析例1商品分裝問題

某品牌堅(jiān)果分大、小兩種包裝，3個(gè)大盒4個(gè)小盒共裝108瓶，2個(gè)大盒3個(gè)小盒共裝76瓶。求每種包裝的容量。建模分析：

設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶

列方程組：

3x解法展示：

由②得

優(yōu)先消去系數(shù)較大的y

代入①得

3x

回代得

y

∴解為

x

答：大盒裝20瓶，小盒裝12瓶。設(shè)計(jì)意圖：通過商品包裝問題培養(yǎng)建模能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(3)。（六）鞏固練習(xí)基礎(chǔ)題：解方程組

x

解析：

由①得

x

代入②得

5

回代得

x進(jìn)階題：解方程組

4x

解析：

由①得

x

代入②得

5

回代得

x應(yīng)用題：書店銷售精裝與平裝書，3本精裝5本平裝共520元，2本精裝3本平裝共320元。求每種書的單價(jià)。

解析：

設(shè)精裝x元，平裝y元

列方程組：

3x

解得

x設(shè)計(jì)意圖：通過分層練習(xí)強(qiáng)化不同難度問題的處理能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)(2)(3)。（七）歸納總結(jié)步驟操作要點(diǎn)易錯(cuò)警示.選擇變量優(yōu)先選擇系數(shù)為1或-1的變量進(jìn)行變形避免選擇分?jǐn)?shù)系數(shù)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜化2.代數(shù)變形嚴(yán)格保持等式平衡，注意符號(hào)變化y=2x3.代入消元代入后及時(shí)去括號(hào)、合并同類項(xiàng)分配律錯(cuò)誤：24.解一元方程按步驟解方程并檢驗(yàn)合理性分?jǐn)?shù)運(yùn)算需通分5.回代求解必須代入變形后的表達(dá)式直接代入原方程會(huì)增加計(jì)算量6.驗(yàn)證解將解代入原方程組檢驗(yàn)忽略驗(yàn)證導(dǎo)致潛在錯(cuò)誤未發(fā)現(xiàn)（八）感受中考(2023北京卷)解方程組：

2x

解析：

由②得

x

代入①得

2

回代得

x

∴解為

x(2024重慶卷)水果店銷售蘋果與梨，2斤蘋果3斤梨共58元，3斤蘋果4斤梨共84元。每斤蘋果比梨貴多少元？

解析：

設(shè)蘋果x元/斤，梨y元/斤

列方程組：

2x

解得

x

差價(jià)：14?(2022河南卷)若方程組

3x

的解滿足x+y=12，求k值。

解析：

3

代入x=3kx

由x+y13(2023江蘇卷)實(shí)驗(yàn)室需配制15%和25%的鹽水，現(xiàn)用200克15%鹽水與若干25%鹽水混合，得到20%鹽水300克。求所用25%鹽水的質(zhì)量。

解析：

設(shè)25%鹽水x克

根據(jù)鹽含量守恒：

200（九）小結(jié)梳理知識(shí)模塊核心要點(diǎn)關(guān)聯(lián)思想方法消元思想將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題化歸思想代入法步驟選變量→變形→代入→解方程→回代程序性思維策略選擇優(yōu)先處理系數(shù)簡單的變量優(yōu)化算法實(shí)際應(yīng)用通過建模將生活問題轉(zhuǎn)化為方程組數(shù)學(xué)建模易錯(cuò)防范規(guī)范步驟、及時(shí)檢驗(yàn)批