因子個(gè)數(shù):

設(shè)，其中為正質(zhì)因子，，則

(1)總之正因子個(gè)數(shù)=(a+l)Q+l)(c+l)

(2)總之因子個(gè)數(shù)=2S+D0+D(c+D

(3)為之正因子總和二(l+p+p2+…+p°)(l+g+g2+…+gb)q+r+/+…+產(chǎn))

(同財(cái)嘔:㈤

正因?一數(shù)31泌收儀)

(4)月之正因子乘積A~~h

===(爐d?尸)2

找因子:

(1)2之倍數(shù)=末位為偶數(shù)

(2)4之倍數(shù)。末兩位為4之倍數(shù)

(3)8之倍數(shù)=末三位為8之倍數(shù)

(4)5之倍數(shù)。末位為0或5

(5)3之倍數(shù)=數(shù)字之和為3之倍數(shù)

(6)9之倍數(shù)o數(shù)字之和為9之倍數(shù)

(7)11之倍數(shù)。(奇位數(shù)字和)一(偶位數(shù)字和)恰為11的倍數(shù)

(8)7(13)之倍數(shù)o

末位起向左每三位為一區(qū)間(第奇數(shù)個(gè)區(qū)間之卻)一(第偶數(shù)個(gè)區(qū)間之和)為7(13)

之倍數(shù)

質(zhì)數(shù)檢驗(yàn):

設(shè)，，若沒有小于等于的正質(zhì)因子，則為質(zhì)數(shù)。

尤拉公式：

設(shè)，表質(zhì)因子，

(1)不大于而與互質(zhì)者：

pqr

(2)不大于，為的倍數(shù)但不為倍數(shù)者有個(gè)

(3)不大于，為的倍數(shù)但不為的倍數(shù)者有個(gè)

因倍數(shù)及公因子，公倍數(shù)性質(zhì):一

⑴，若，則為之公因子

⑵且，則

(3),，則必有二整數(shù)，使

(4),若

輾轉(zhuǎn)相除法原題一

若，，若，，，則

整數(shù)解：

(1)xy-axby,0型化為(x+b)(y+a)mab->(a,b)\nb

(2)以+”=C(Q也c為整數(shù))有整數(shù)解o(a,6)|c

⑶若己知有一解，則

有理數(shù)、實(shí)數(shù):

(1)有理數(shù)：凡是能寫成形如(都是整數(shù)，且)的數(shù)叫有理數(shù)。

(2),，若

(3)整數(shù)之離散性：設(shè)，若，則(不等整數(shù)之距離至少為1)

(4)實(shí)數(shù)之稠密性：設(shè)，若，則存在，使

(5)證無理數(shù)之另一方法：證為一方程式之根，但沒有有根,

或有理根不可能為。

復(fù)數(shù)：

(1)若；,則Z之實(shí)部之虛部，

又，

⑵為實(shí)數(shù)：

且Z=OoZ為純虛數(shù)OZ?<0

(3)若：，，則且

(4)設(shè).?則

(5)為實(shí)系數(shù)，為實(shí)數(shù)，則

等差與等比公式1

(1)級(jí)數(shù)成等差，若首項(xiàng)，公差，

則a*=T)d;

￡?我?4］卻

⑵級(jí)數(shù)成等比，若首項(xiàng)，等比

則公,”1;

若，

⑶調(diào)和級(jí)數(shù)：倒數(shù)成等差，故可用等差公式。

雜級(jí)數(shù)公式:

⑴連積之和

(a)1+2+3.??”.[4"I)

2

(b)12.2?3?…?力(月+1)++

(c)123+234+”5.1)5-2卜匕|5+1)("2)("3A(依此類推)

4

1

0欣)

1

（力2

女湍出目』一(A：*1)-2*

,、V>2*__泮_v沙

但）工伏7）（上.2）=^-FH

⑵

(a)]+(1+2)+??+?不)月(月+1)(胃+2)

6

(b)1,2(?-1)1)-2*wl+2)

6

無窮等比數(shù)列及級(jí)數(shù)之?dāng)可?/p>

若，則

(a)無窮等比級(jí)數(shù)

■]2

7or■?+"+8+????------

ZT】"

(b)無窮雜級(jí)數(shù)

>w*-1=1+2r+3r2+???3—

z0")

無窮循環(huán)小數(shù)，無窮幾何級(jí)數(shù):

⑴循環(huán)小數(shù)化為無窮等比級(jí)數(shù)求之

(2)化為數(shù)字9之級(jí)數(shù)

(3)北方?史3(其他類似)

990

⑷無窮幾何

級(jí)數(shù)求法要

領(lǐng)：先求首

項(xiàng)及公比

距離公式:

距離公式：

(1)A(),A(),

則

(2)中到三頂點(diǎn)等距支點(diǎn)為外心

⑶4(和坨，4%為)，.??>4(4,其)，

則討+可'+…+可’

在時(shí)，產(chǎn)生最小值。

分點(diǎn)公式：

(a)若A-P-B

則p(土衛(wèi)，迫2k)或(竺LL竺1.也也)

1+r1+rm+月?

(b)若A-B-P(或P-A-B),

則P7-2)或停］一,乃一孫)

1-r1-r-掰+力力

(c)4ABC中，A,B,C,重心為G,

則G=盧+；./1.5.萬)

斜率：m

（1）,

若，則：

若，則無斜率（不加以定義）

（2）直線L之斜率m,貝IJ

1.m>0,,則右上升；

m<0,則右下降；

m=0,為水平線

2.越大，則越接近鉛直；越小，則越接近水平。

（3）之斜率分別為仁丐=（引&=仍=啊

[4,GO--1

（4）A,B,C

三點(diǎn)共線

直線方程式：

直線方程式：

⑴點(diǎn)斜式：A（）,且斜率m之直線為

⑵斜截式：斜率叫截距b之直線為

(3)兩點(diǎn)式：過人(),B()且

則：

(4)截距式：，，且之直線為

⑸，，

則過4輿Zj交點(diǎn)之直線可設(shè)為左(年2/+4)+也/3?0

(6)過又在P

點(diǎn)之象限與兩軸圍成

最小面積之直線為

而最小面積

對(duì)稱點(diǎn)及對(duì)稱方程式:

對(duì)稱點(diǎn)及對(duì)稱方程式:

A(xo,yo)之對(duì)稱圖形f(x,y)二0之對(duì)

對(duì)稱軸(點(diǎn))

點(diǎn)坐標(biāo)稱圖形

(0,0)A'(-xo,-yo)F(-x,-y)=0

(a,b)A'(2a-xo,2b-yo)F(2a-x,2b-y)=0

X軸A'(xo,-yo)尸(x,-y)=0

Y軸A'("xo,yo)產(chǎn)(-X,y)-0

X=hA'(2h-xo,yo)M2h-x,y)=0

Y=kA'(xo,2k-yo)F(x,2k-y)=0

X+Y-k=OA'(k-yo,k-xo)Mk-y,k-x)=0

X-Y-k=OA'(yo+k,xo+k)My+k,x-k)=0

(注)：x+y-k=O=6.八〉x+y-k=O=

y-k-x\ysx-k

由此可幫助記憶最后二個(gè)公式

菱形與正方形之圖形：

若；,則

之圖形為一菱

形(a二b則為正方

形)，

而其圍成面積為

,當(dāng)然之圖

形亦為菱形，

只不過中心為

(h,k)而己,故其

面積仍為2abo

三角型面積:

三角型面積:

蛤”）、貼，R、C（X]”）

1a為】

則aAABC-占41?

2*3八】

一元二次方程式

設(shè)a,b,cR,a0對(duì)于ax2+bx+c=0中

⑴x二f上揚(yáng)?4"

⑵二相異實(shí)根，相等實(shí)根，共軌虛根。

（注）：若a,b,cQ,且為有理數(shù)之平方根為相異有理根

⑶根之正負(fù)：設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程式ax2+bx+c=0的兩根為a、0

1.皆為正根(a)0(b)(c)>0

2.皆為負(fù)根(a)(b)(c)>0

3.為同號(hào)（皆正或負(fù)）且>0

4.為異號(hào)（一正根一負(fù)根）<0

5.為純虛數(shù)b=0且>0

根與系數(shù)關(guān)系

(1)若a、P，為ax?+bx+c=0(aW0)之兩根

na+/?=—-、皿=—，ao2.ba+c=0、。優(yōu)+b0+c=Q

aa

(2)aa+2?--—，af)---，aa2-^ba，a『f--b。

aP

二次函數(shù)：

y*/(x)-a/?c(a嫉0)

=以/$)2+史心之圖形拋物線

2a4a

(D圖形坐標(biāo)：

(2)對(duì)稱軸：x--

2a

(3)。＞0=明口向上=有做小做空衛(wèi)

4a

(4)a＜0、冏口向下二＞智趣大佰

4a

最小二乘方定理

鼓％.%....?.€*已知

/(x)-(x-劣尸?a-的尸?…?(x-a.)3

，則當(dāng)

比較

時(shí)，有最小值

由二次圖形求不等式之解集

（令a"）：

A

ax（彳.￡）（彳-a）

時(shí)，

1.或

2.

時(shí)，

1.

2.或

恒正恒負(fù)條件

多項(xiàng)式之基本性質(zhì)

（1）若一多項(xiàng)式，則一切系數(shù)之和

1.?切奇式項(xiàng)之系數(shù)和

2.一切偶式項(xiàng)之系數(shù)和

（2）多項(xiàng)式之相等

1.同次向?qū)?yīng)系數(shù)相等

2.任何值a代換x恒有

3、不超過次，只要有n+1以上之值帶入相等，則

(其逆為真)

除法應(yīng)用

⑴求之近似值:

再以代入，適當(dāng)略去后面部分可得所求。

(2)除法求值：

若為之一根，為一多項(xiàng)

式，求時(shí)，

可用除法求出，使，則

余式定理跟因式定理

(1)余式定理：

除以之余式為

(2)因式定理：

又，且

求余式之假設(shè)法

⑴卜/(x)=(x-a)g(x)+/(a)

2、/(x)-(x-a)(x-b)Q(x)+*x(x-a)+/(a)

3、/(x)-(x-a)(x-6)(x-c)Q(x)*i(x-a)(x-A)*/(x-a)?/(x)

(2)/(x)■(彳?。)(/+6萬+c)Q*)*封/+加+c)?mx?犀

而mx+n為/(x)除以+t之余式

⑶[/(x)?Q(x)+R(x):除以g(x)之余式=取力”除以/(1)之余式

⑷x*-a除/(彳)之余式一/(x)卜"-a

(5)〃x)?4+4(x-a).4(x-a)'+

則/(k)除以(m尸之余式為4+4(x-。)

牛頓定理(一次因式之檢驗(yàn))

(1),,

,若有之因式，則，

⑵若為之因式，則

最高因式與最低公倍式

(1)利用析因式法

(先分解以知式，在觀察共同因式)

⑵利用輾轉(zhuǎn)相除法

(到整除時(shí)之最后除式為最高公因式)

(3)利用和差法：

⑷(」(x),g(x)){/(x),g(x)]-kf(x)xg(x)(無為常數(shù))

n次方程式：

(1)代數(shù)基本定理:每一n次程序，只要，至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。

(2)k重根算k個(gè)，則n次方程式有n個(gè)。

(3)實(shí)系數(shù)方程式之虛根成共規(guī)對(duì)出現(xiàn)c

又理系數(shù)方程式若有根式之根，亦成共捉對(duì)出現(xiàn)。

(4)為實(shí)系數(shù)，則

中間值定理與勘根定理

(1)設(shè)為一連續(xù)函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)必為連續(xù))，

若a>b且，則必有一根介于a與b之間。

(2)若a<b,k重根算k個(gè)根，則

1.間有奇數(shù)個(gè)根。

2.間無實(shí)數(shù)根或有偶數(shù)個(gè)實(shí)根

(3)利用勘根定理可勘查無理根位置，以求無理根之近似值。

(用二分逼近法或十分逼近法)

(A)指數(shù)率:

(1)

⑵卻產(chǎn)”

an

⑶(心小產(chǎn)

(4)尸=3

an

⑸a0=1

lm__

(6)/=指,戶=

(7)產(chǎn)+*=(產(chǎn)+b吸力4-昉(/+匕耳)

0Z_產(chǎn)2=d”一產(chǎn)1),+4_而⑷一bn)

⑻根數(shù)率:

(1)；a<0,b<0

(2)；a>0,b<0

⑶。邛|a?a20

-a?a<0

(C)對(duì)數(shù)定義及性質(zhì):

⑴設(shè)b>0,a>0,,則(定義)

,

⑵loga(a)=x；心2=工(定義之推論)

⑶運(yùn)算:

⑴103a伊卜mo&b

(2)(但A>0,B>0)

(3)(但A>0,B>0)

(4)圖=翁露（換底公式）

⑸logdMogbc」ogcd=logod(連鎖原理)

⑹1。凱蹲)吟1叫小log⑹⑺=log/

⑺logqMoga=1(倒數(shù)關(guān)系)

(8)/8/=/8產(chǎn)

⑻指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)圖形:

⑴及之圖形如下:

（l）a>l（增函數(shù)）（2）0<a〈l（減函數(shù)

⑵設(shè)a>b>l

（l）x>0時(shí)，的圖形恒在圖形的上方

（2）x<0時(shí),的圖形恒在圖形的下方

（E）指數(shù)與對(duì)數(shù)方程式：

（1）指數(shù)方程式:

(a)々""=/"=/(x)=g(x)。

(b)4小)-//“)=兩方取對(duì)數(shù)解之。

(c)指數(shù)常數(shù)化為系數(shù)。

(d)必要時(shí)適當(dāng)化改為之方程式先解之。

(2)對(duì)數(shù)方程式：

(a)先列出有意有之基本之限制

(真數(shù)，底數(shù)，底數(shù))

(b)(可化為同底時(shí)：

log]”=10g："=/(x)=g(x)

(c)不可化為同底時(shí)

利用換底公式求之。

(d)(求得之解代入(之有意義限制，除不合者。

(e)(必要時(shí)令，為之方程式解之。

(F)指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式：

(1)指數(shù)不等式：

⑴底數(shù)相同時(shí):

(a)a>0則

(b)0<a<1則

(2)底數(shù)不同，兩方取對(duì)數(shù)

(3)必要時(shí)，令，常數(shù)指數(shù)化為系數(shù)，轉(zhuǎn)成t之不等式。

(2)對(duì)數(shù)不等式：

(1)先注意本數(shù)有意義之限制

(2)底數(shù)相同時(shí)：

(a)若a>1欲解

(b)若0VaV1欲解

(3)底數(shù)不同時(shí)二》換底

(4)下列可當(dāng)公式用(當(dāng)然也可以直接討論)

(G)常用對(duì)數(shù)：

(1)以10為底之對(duì)數(shù)，稱常用對(duì)數(shù)，常省略其底，即

(2)科學(xué)記號(hào)表示法：若a>0,則存在，使，且

(3)設(shè)a>0且,,,稱n為loga之首數(shù)，logb稱為loga之

尾數(shù)

(4)logx之首數(shù)，=[logx],logx之尾數(shù)二logx-[logx]

(5)若且logb之首數(shù)為m則b之整數(shù)部分為m+1位；

若0VbV1且logb之首數(shù)為m,則b在小數(shù)點(diǎn)后最初有個(gè)0。

(6)首數(shù)二〉判斷位數(shù)：尾數(shù)了解用到之?dāng)?shù)字(有效之?dāng)?shù)字)。

例如：log345000之首數(shù)為5；尾數(shù)

之首數(shù)為-2；尾數(shù)！

(7)A為n位數(shù)彳

(8)LogA之首數(shù)為n((logA=n+b,。

(9)LogA與logB之尾數(shù)相同=>logATogB為整數(shù)

例如：logx之首數(shù)為1且與之尾數(shù)相同，求x可利用此原理

(10)log2=,log3=,Iog5=l-log2=,log7=

(H)加強(qiáng)及注意:

⑴了"

l+/(x)

1-/W

⑵

則產(chǎn))-/(?)?/(Z)、簿二)—(Z)

I?尸)\~yz

(3)a,b均正，

=111—T或x=y=z=A0

zXy

(4),比較2x,3y,5z之大小時(shí)

x,y,z為正

x二y=z=0=2x=3)=5z

x,y,z為負(fù)。

(5)判斷A+B為幾位數(shù)，可先求A之位數(shù)及首位數(shù)字;

B之位數(shù)及位數(shù)字然后判斷A+B位數(shù)。

(6)或型，

則兩方取，可化簡成之代數(shù)式，在令解之。

⑺由1。阮()吁)=O°g/)O°gM

=(10g6<2)(10gdC)=log/8”砌

0(?好“％.

(A)角之度量：

(1)弧度：弧長等于半徑所對(duì)圓心角稱一弧度，簡稱一驍.

(2)弧長s,半徑r,所對(duì)圓心角

⑶一周角=360°=2后

n克鹿?180°

01登二幽三57°1745‘

=1度二高jr強(qiáng)三001745強(qiáng)

loU

(4)如右圖:

扇形面積工二戶6」.

22

弓形面積二(扇形面積)一(三角形面積)

--r2G--r2sin。

22

1。

?—r3(^-sin^)

(0表圓心角之度量)

(5)(A)角之度量:

常用角

(1)

度之換

0°3m45°60°9m能二退=□一”邈:b

算表：斜逢C斜遣C

une=g|=a…共襄=匕

鄢是ba

D度

c…也攀=C

都遣b封造a

nnn

R0

7472(2)位于標(biāo)準(zhǔn)位置之

角終邊上之一點(diǎn)P(x,y)(xHO,yWO),則

7?T77?77

tan^=";cot6=一

xy

sec?！觥?escv■?

xy

(1)三

第一象限第二象限第三象限第四象限

角函數(shù)直在

各象限之正

負(fù)：

$jn6,c$c6++——

cos仇sec6+一—+

tan6,cot6+—+—

(2)函數(shù)值之增減(在第一象限):

sinG>tand?sec8為增函數(shù)

cos3?cot-，c$c8為減函數(shù)

(E)基本不等性質(zhì)：

(1)卜

0-1SsinSL-lMcosJSl、|sec^|^l,|csc

⑵若，則

若，則、

(3)|tand+cotd|^2;stnd+c$cfl|>72

+b'Wacos8+bsin6WJj+d

(F)基本恒等式：

⑴倒數(shù)關(guān)系:

sin仇C￡C9=1;co$6?sec8=l；tan0?cot6-\

(2)平方關(guān)系：

§而8+8/8=】：l+tan2^=sec2^；l+cod8=csc%

(3)商數(shù)關(guān)系：

sin9-cos6

tana=------.cot^=-------

8$8sin8

(4)次要恒等式：

1.

sin4cos4=1-2sin2仇coJ6

2.

1+2sin8?cos8=(cos8+sin

(G)化任意之三角函數(shù)為銳角三角形函

數(shù)值：

任一角之三角函數(shù)值，通常由某一銳角

之三角函數(shù)數(shù)值求出，其求法如下：

(1)負(fù)角之三角函數(shù)：

sin(-d)=-sin6；c$c(-d)=-c$c6

tan(一?)二一tan。；co5(—)=~cot0

但

1、n為偶數(shù)時(shí):

/(欄")=符跖⑻

例:

2、n為奇數(shù)時(shí)：

/(欄±6)=符豌赫函整廣⑻

例：、

(2)空欄符號(hào)乃要吾人填“+”號(hào)或，其取正或負(fù)需視為正銳角時(shí),

在第幾象限，對(duì)左邊原三角函數(shù)該選正或負(fù)。

(H)三角形a+b+c=2s之一些

關(guān)系：

(H)三角形a+b+c=2s之一些

關(guān)系：

(1)中，分別以，A,B,C代表；

a,b,c依序表之對(duì)邊長；，

「表內(nèi)切圓半徑，R表外接圓半徑,

依次表之內(nèi)部之傍切圓半徑

（2）BD=BF=s—b,AE=AF=s—a,CD=CE=s—c,

內(nèi)切圓半徑r,則△（面積）=，而

（3）AE=AF=s；BD=BE=s—c；CD=CF=s—b

=△（面積）=

tan-=^（看圖推出）

2s

（I）三角形之面積公

式：

A43c之面積

=-absinC=-6esin=-easmB

222

=/（￡-d）（6-母（S-C）

1,1..1,

=-a*.=一b%=-c徇=r*s

242》2,

=々?（?a”：S-6）=弓'（LC）

=abc

AR

（J）達(dá)形關(guān)系之重要定理:

（1）正弦定律:

sini4sin8sinC2h

a+b+c

sin^44-sin5+sinC

(注)：求外接圓半徑R,可由正弦定律求之。

(2)余弦定理：

1.

2.

3.

(1)由已知之編輯角，求未知之邊與角，叫解三角形。

(2)S.A.S之解法：第三邊用余弦定律求出

=在利用正弦定律求出另兩角。

(3)S.S.S之解法：利用余弦定律求出各角

(4)A.A.A之解法：利用三角度量和=求出第三角形,

利用正弦定律求其他邊長。

(5)S.S.A之解法:

例如：已知a,b及一角由a與b之大小

與之大小，可知是否可

能為直角、鈍角，

再由

,求出

(可能無解或

一組解或二

解)

(L)測量：

(L)測量：

測量問題：

(1)方法：從已知條件作三角形之關(guān)系圖形，

利用解三角形求出所要之邊長或角度。

(2)題型:

1.單方向求高度(觀測者向目標(biāo)移動(dòng)或仰視、俯視)

利用直角A解之

2.多方面求高度

作立體圖形，轉(zhuǎn)成地面之三角形解之。

3.航行方位問題

=由平面之方向作成平面之三角形解之

(A)和角公式：

⑴主要：

(1)

(2)sin(a+￡)=acos￡+cosasin/?

sin(a-=sinacos^-cosasin0

,—tana+tan0

tan(a+0=---------------J

(3)1IdUQt1201p

,小tana-tan0

tan(a-)?)=------------------

1+tanatanp

.mcotZ?cota-1

cotz(a+夕)=-N-----

(4)cotjy+cotCt

“mcotZ?cota+l

co?a-0)=—73一~—

cot0-cota

⑵推廣：

(1)tana+tan￡=^^

COSCtcos

(2)tana-tan

cosacos6

⑶8g+80空”⑷

sinasmB

(4)陰?！?。3=皿0

sinasinfi

(5)sinCx+^sinCx-.y)=sina^-sma7=cos3y-cosJx

(6)cos(彳+用8式工—>)=cosa-sin12=cos3j-$ina

(3)正余切和角公式之一次化

(1)y=a+￡

^tany-tana-tantanytanatan/?

(2)a+￡+y=rr

(a)tana+tanj?+tany=tanmtan0?tmy

/I\a66vva.

(b)tsm-tdn—+tdntsu—+tsn—tstti-=1

222222

(c)cot^+cot+cot——cot—cot,—cot—

222222

(d)cotacot6+cot/?coty+cotycota=1

(B)倍角公式

⑴

(1)sin2d=2smdcosd(由s1n(6+8)推之)

⑵cos加=cos%-sin%

=2cos2-1=1-2sin，6

2tan^

⑶tan26=

l-tan2d

cot2^-1

cot28=

2cot6

2tand

(2)sin2。=

l+tan“8

8加匕力

1+tan6

⑶

⑴sin3^=3sin5-4sin3d

(2)cos3d=4co?6-3co$8

⑷輔助公式:

(1)$in^$in(60*-0)sm(6(T+^)=—an36

4

(2)cos8cos(6(T■的向(60。+8)=-cos藥

A

(3)tan6tan(6(T-6)tan(6(T+m=tan藥

（C）半角公式

⑴修土（土號(hào)隨:在第幾象限而定）

coS1=±JEp?（土號(hào)隨:在第幾象限而定）

0.|l-co5^sin8

tsm—=±J=

2V1+cos^1+cos^

1-cos8_1-cos^+sm8

sin"l+co$6+sin6

[0

---l-cos8=2sm'—

87

cot-'

2

1+cos^=2CQ$

2

<rfr

eo2_2_l±$in^

⑶tan(-±-)=tan

2st嗚±6)8s8

(D)和差與積互化

門、.工?0,?a+6a-6

(Uana+smp=2sin------cos-------

22

a+￡a-6

sma-sinp=2cos-------sm-------

22

oa+0ct-B

cosa+cos^a=2cos-；-cos—；-

22

.a+￡a-￡

cosa-cosp="25in-------sin-------

22

(2)2sinaco$￡=Sin(a+/7)+Sin(a-^)

2cosassn/?=sjn(a+j(7)-sm(a-Q

2cosacos0=cos(a+0)+co$(a-0)

2smasin/?=cos(a-P)-co$(a+P)

(3)時(shí)，則

小..c.,a￡y

U；$ina+stnp+siny=4co$—cos-cos-

222

/\c?，?a?。.y

Un；cosa+cosp+cosy=l+4?n—sin-sin—

222

(3)sin2a+sin2S+$in2y=4smasin0?iny

(4)

cos2a+co$2￡+cos2y=l-4co$acos0cosy

(E)常見求極值:

⑴acosd+isin^

，'+/(二——cos8+3——sinff}

4^4^

=+b'sin(S+8)(其中

a

sin0=")

=G'+Pcos(統(tǒng)一e’)(其中

a

cos/=)

⑵drcos2x+65inxcosjc4-e$in2x

l+cos2x..sin2xJ-cosx

=可z一--z-s--.

222

=+—sin2x+---cos2x(可利用

222

(1)合并)

⑶/(x)=a+6(sinx+cosx)+csinxcosx

可令sinx+cosx=/?

sinxcosx=；(/-1)

/5)=。+從+](1-1)

(4)

|acosxcosy+bcosxsmy+esinx|?+J

(F)三角形邊角關(guān)系之補(bǔ)充公式:

(1)正切定律:

B/(6?c)G?a).

sin-=

Ajs(s-a).BCls(s-c)

8'2=，be'8；C”7桃

⑶分角線：

設(shè)為之一分線且

求證：

(4)中線：

設(shè)為之中線，則

存屋定=2而+2壽

⑸高:三邊長比

(5)高：三邊長比=a：b：c=l：l：-

⑹復(fù)數(shù)之絕對(duì)值:

(1)設(shè),

則，且不為負(fù)

(2)設(shè)，

則固+%隹片土刃

I㈤-閻|狙士&|

(3)設(shè)，

則一%卜

囪二邑|

⑷,

則Z.Z=1=>Z=1

⑸z=o?z=o

(6)Z[=西+乃】?Z?=^+乃？

則區(qū)「刃=瘋匚產(chǎn)后方

表4輿7之距離

(H)復(fù)數(shù)絕對(duì)值之幾何意義:

(1)設(shè)且在復(fù)數(shù)平面上

所對(duì)之點(diǎn)為，

則=卜而

(2)分點(diǎn)公式：

在復(fù)數(shù)平面上，設(shè)，

掰+壽

則2=吟+嗎

(3)在復(fù)數(shù)平面上，對(duì)軸之對(duì)稱點(diǎn)

對(duì)軸對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)原點(diǎn)之對(duì)

稱點(diǎn)

對(duì)丁軸對(duì)稱點(diǎn)為8(-2)，對(duì)原點(diǎn)之

對(duì)稱點(diǎn)舄(-Z)

(D復(fù)數(shù)之極式:

(1)設(shè)，之幅度為，

則Z之例式的(8$e+15in6)

(注)：由軸正向到之有角為幅

角，其中叫主幅角

,以表示

(2)隸美弗定理：

設(shè)，

貝！JZ*=^(cos/rf+rsinwtf)

(注)：亦可推出

[r(co$^-J$in

產(chǎn)(cos力+sin確

(3)若，

則g=COS6-J$ine=z;

Z"=cos/+j$in并8

Z"=cosnd-i^nn3

(J)復(fù)數(shù)平方根:

(1)任一復(fù)數(shù)，除0外，恰有二

個(gè)平方根

,此二平方根之和為0。

⑵平方根速算法：設(shè)

則

x-X=。

一.y=JaW

2xy=2>

x2=-a)

y2=5(42+力2-q)

2xy=b

（由b之正負(fù)決定

x，之同號(hào)或異號(hào)）

⑶之二杈為

平方根。

（不要用根式表示）

(K)復(fù)數(shù)方根:

⑴設(shè),滿足為己知復(fù)數(shù)）之Z叫次方根，通常有個(gè)解。

⑵若

而為其個(gè)方杈

則=0,1,2,

(3)上面之

洽分布在一圓上(圓心為原點(diǎn)，半徑),

且將此圓等分(即連接可得一正邊形)

⑷若，且，則

(a)為之虛根，而之解集合。

(b)

(c)

(d),若已知有一杈為，

則此方程式之解集為

(5)立方根”■土■叵之性質(zhì)

2

1W3-1

2.1?w?”2?0

3.

4w"+--1or2(?€

5.a1-(aw??6w)

6.x2-x+1=(x-w)(a-w2)

(L)加強(qiáng)及補(bǔ)充:

l+co5^1j$in^

■cosStisin?

I+cosG承sm8

理由：

3.x+2?2cos6,>x*+±?2cos〃8

L協(xié)(Z0.B(Z。.C(Z。，

若,尸(cosJTsin仍(r>0)

ZZ，?ZZ「1]

>p45|-r|^c|，靠之方向由

怠:方向增tn6角

,,,zLBAC?6

(求整數(shù)n，使"4"<幻

2以ZQ寤中心，黠4旋e到S5z?

HjZ2-Z0=(ZrZ0)(coe6+isinff)

ijZR-cos6?cos26+......*cosn6

及S,sin8+sin加+...?sin

可令a?=cos6+idne

■〉R+】S,<u+蘇?...求之

(A)向量定義:

(1)有向線段及向量：

若A、B是相異的兩點(diǎn)，線段賦與游A到B的方

向后，

就稱為是由A到B的有向線段，記為，簡稱為

向量

(2)有向線段之始點(diǎn)、終點(diǎn)、長：

向量的A叫始點(diǎn)，B叫終點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)的距離

(或之長)叫之長，以表示。

(3)零向量：

A二B時(shí)，稱為零向量，可用或表示。

(4)若。為原點(diǎn)，A之坐標(biāo)為(a,b),

則可用(a,b)表示，即=(a,b)

(5)若A(孫丹＞B(孫乃)，則衣可用

(乙-為仍-乃)表示

【注意】：(終點(diǎn))一(起點(diǎn))

(6),貝I」之長一

,而a叫之x分量，b叫之分量。

⑺0=(%巧)，8=(4內(nèi)〉

(B)方向角:

(1)3=(”)與x軸用向所夾之角闞需之

方向角，其中

(2)方向角：

(3),方向角為。，

則OA=(rcos^.rsmd)

C)向量加法：

(1):

設(shè)是任意兩個(gè)向量，點(diǎn)X使向量，

則稱向量為向量與向量的和，記做

(2)若，則

(3)對(duì)任意向量，我們定義

(4),則

(注):

在+而+第=6

(D)系數(shù)積：

(1)rAB

1.r>0=與而同方向且長

度為原來r倍

2.r<0=與酢反方向且長

度為原來r倍

3.r=0=AB=0

(2)向量系數(shù)積之坐標(biāo)表示：

設(shè)，則

(3)向量系數(shù)積之基本性質(zhì)：

1.產(chǎn)(a+b)=ra+rb

2.(r+i)a=m+so

(r*seR?a?3為向量)

3.(rs)a=r(sa)=式尸a)

(E)分點(diǎn)公式：

(1)A—P—B且，0為任意一點(diǎn)，

則麗=」_刀+上_而

(2)A—B—P(或P—A—B)且，。為任意一點(diǎn),

則配工如上而

m-n

面積比:

若1,m,n且

則LABP:LBCP:^ACP^\n\:|/|:\m\

（注）：若1,m,n同號(hào)，則在ABC內(nèi)部，若1,m,

n不同號(hào)，

則P在aABC外部。

（注）：若1,m,n同號(hào)，則在ABC內(nèi)部，若1,m,

n不同號(hào)，

則P在ZXABC外部。

（注）：若/,in,刀同號(hào)，則在AABC內(nèi)部，若1,m,

〃不同號(hào)，貝UP在△ABC夕卜部。

⑹共線:

（1）A,B,C為三點(diǎn)。

（2）設(shè)A,B,C為三點(diǎn)，。為任一點(diǎn)，x、yR且

則A,B,C共線x+y=1

內(nèi)積:

0)3-5=|1||5|cose(8瑪夾角)

可擄此求夾角，或:g，或內(nèi)稹?

⑵/N=l彳F(?X?=4A~B)

(3)7=a,M),百=(M.乃).

若/、用、厘間就，刖P在△ABC內(nèi)部

若，、用、力不同就，劃P在AABC外

刖N?2=XjXj+>山

(4)內(nèi)雕歸

1.ea=|npna0=6=。=6

2ab=Sa;

(eta)?》=」?(aZ>)=a(ab)

3a+c)=ab-￥ac

4(/*a+必).(ma+汕)=『+(rn^sm)ab+m|b「

(T)平行與垂直(aKO、bWO)

(1)a=(x^y^,b=(x2.^2),ali=0

(2)af/b^a-b?3reR，使得a=r「

⑶。=(小乂)石=(勺,必)，

則3虎=々力=0,

勺為

而a1.3=升盯+y1y2=0

(J)投影與投影量：

(1)「在單位向量1之正射影

=(|a|cosd)v

(其中°星］輿’之夾角)

(2)?同向之單位向量*

同

(3)￡在g之正射影

=布|8⑷缸用),『鏟石

(4)￡在g之正射影亦稱J在占之分向量

或在之投影，而稱為

在之分量(投影量)

(5)】在(g之諸平行向量)之投影(分向

量)均相等。

(K)科西一史瓦滋不等式：

(1)設(shè)任二向量，則

(2)若a-與口-(bf%)

則+4)電’地‘)2(。1V地尸

且等式成立&?生

々咕..14W及

(3)(a/+?……+。：購'+<+…+4’)2(。自+…+4也)'

等虢成立？.魯=......嗓

4%勾

(I,)三角形之五心:

(a)司聯(lián)ABC之內(nèi)心

且UalA+6

VaAJBCa2\IAC:aAIAB=^ra:^r6:^n:mabe

444

nR.，一力.‘一方.一^發(fā)

ab^cb^cc

(b)若IA篇在NA內(nèi)部之傍心Q宿任一黠且!J

OL^-^—OA^—L—OB^—L—OC

-a，b+cF+B+C-a，6，c

⑵若ORAABC之外心到

(a)(sin2a)0A.(sin2fi)0B+(sm2r)OC-0

{AO.AB^^

⑶IpO.AC-l:pc|2

(3)若雪呼藝重心.刖

⑷GA+GB>GC=0

???aAGBC：aAGWC：a^GAB-1：1：1

⑻旃；］(。舄任一Si)

(4)若H窟△ABC之垂心且！J

(a)AH?AB=AB*AC=AH*AC

(b)罰近=而而

(M)面

積：

(1)令0、A.B不共線,

則ABC之面糧?￡同川-(51尸

(2)若如=(小乃)，麗=(乙,乃)

貝！Ia^ABC-一勺為|

⑶力(國,乃),鞏孫乃).C(%為

則面積二1|4F"-必|

2G一“用?力

(N)二向量線性組合之終點(diǎn)圖

形：

⑴表一直線。

(可由滿足之二組求出兩點(diǎn)，連接之)

(2)

則

S之面積

其

他不同之、

限制，由作圖

后求之。

(0)直線之參數(shù)

式：

(0)直線之參數(shù)

式：

(1)點(diǎn)向式：設(shè)直線L過且與向量=(a,b)平行

■之方程式仁：IQ』

(2)點(diǎn)向式之推論:

,則L有一垂直向量(法向量)

為，有一平行向量

f