2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（探究性學(xué)習(xí)成果展示：立體幾何問題探究）一、選擇題1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，則該直三棱柱的體積為（）A.16√3B.32√3C.64√3D.128√32.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CD=DA=2，則對(duì)角線AC的長度為（）A.2√3B.2√2C.2√5D.2√73.在正四面體ABCD中，棱長為a，則該四面體的表面積為（）A.√3a^2B.2√3a^2C.3√3a^2D.4√3a^24.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，則對(duì)角線AC的長度為（）A.2√2B.2√3C.2√5D.2√75.在三棱錐S-ABC中，AB=AC=BC=2，側(cè)棱SA=SB=SC=√5，則該三棱錐的體積為（）A.1B.√2C.√3D.2二、填空題6.在正四面體ABCD中，棱長為a，則該四面體的體積為______。7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CD=DA=2，則對(duì)角線AC1的長度為______。8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，則該直三棱柱的表面積為______。9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，則對(duì)角線AC1的長度為______。10.在三棱錐S-ABC中，AB=AC=BC=2，側(cè)棱SA=SB=SC=√5，則該三棱錐的側(cè)面積______。三、解答題11.（15分）在正四面體ABCD中，棱長為a，求證：ABCD是菱形。12.（15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，求證：A1B1C1D1是矩形。13.（20分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，求證：對(duì)角線AC1、BD1、C1D1互相垂直。四、證明題14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，證明：平面ABC和平面A1B1C1D1垂直。15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，證明：對(duì)角線AC和BD相交于正方體的中心點(diǎn)。五、計(jì)算題16.在正四面體ABCD中，棱長為a，求該四面體的體積。17.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CD=DA=2，求對(duì)角線AC1的長度。18.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，求該直三棱柱的表面積。19.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，求對(duì)角線AC1的長度。20.在三棱錐S-ABC中，AB=AC=BC=2，側(cè)棱SA=SB=SC=√5，求該三棱錐的側(cè)面積。六、綜合題21.（25分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，5，6），點(diǎn)C（7，8，9），求：（1）向量AB和向量AC的夾角；（2）點(diǎn)B關(guān)于平面ACD的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)；（3）直線AB和直線BC的交點(diǎn)D的坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.32√3解析：直三棱柱的體積計(jì)算公式為底面積乘以高，底面為等邊三角形，其面積為√3/4*a^2，其中a為邊長，此處a=4，高為側(cè)棱長，即4，所以體積為√3/4*4^2*4=32√3。2.C.2√5解析：長方體的對(duì)角線長度可以通過勾股定理計(jì)算，即對(duì)角線長度為√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+2^2+2^2)=√(4+4+4)=√12=2√3。3.A.√3a^2解析：正四面體的表面積由4個(gè)相同的等邊三角形組成，每個(gè)三角形的面積為√3/4*a^2，所以總表面積為4*(√3/4*a^2)=√3a^2。4.B.2√3解析：正方體的對(duì)角線長度可以通過勾股定理計(jì)算，即對(duì)角線長度為√(AB^2+BC^2+CC1^2)=√(2^2+2^2+2^2)=√(4+4+4)=√12=2√3。5.A.1解析：三棱錐的體積計(jì)算公式為底面積乘以高除以3，底面為等邊三角形，其面積為√3/4*a^2，其中a=2，高為側(cè)棱長，即√5，所以體積為(√3/4*2^2*√5)/3=1。二、填空題6.正四面體的體積為(√2/3)*a^3。解析：正四面體的體積公式為(√2/3)*a^3，其中a為棱長。7.長方體的對(duì)角線AC1的長度為√(AB^2+BC^2+CC1^2)=√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3。解析：使用勾股定理計(jì)算對(duì)角線長度。8.直三棱柱的表面積為2*(底面積+側(cè)面積)，底面積為√3/4*a^2，側(cè)面積為3*a^2，所以表面積為2*(√3/4*4^2+3*4^2)=2*(4√3+48)=16√3+96。解析：計(jì)算底面積和側(cè)面積，然后相加。9.正方體的對(duì)角線AC1的長度為2√3。解析：同第四題解析。10.三棱錐的側(cè)面積由三個(gè)等邊三角形組成，每個(gè)三角形的面積為√3/4*a^2，所以側(cè)面積為3*(√3/4*2^2)=3√3。解析：計(jì)算每個(gè)等邊三角形的面積，然后相加。三、解答題11.（15分）證明：在正四面體ABCD中，棱長為a，ABCD是菱形。解析：由于ABCD是正四面體，所有棱長都相等，因此AB=BC=CD=DA=a，所以ABCD是菱形。12.（15分）證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，A1B1C1D1是矩形。解析：由于底面ABC為等邊三角形，且側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，所以A1B1C1D1的對(duì)邊平行且相等，因此A1B1C1D1是矩形。13.（20分）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，對(duì)角線AC1、BD1、C1D1互相垂直。解析：由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以對(duì)角線AC1、BD1、C1D1相交于正方體的中心點(diǎn)，且中心點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，因此它們互相垂直。四、證明題14.（15分）證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，平面ABC和平面A1B1C1D1垂直。解析：由于底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，所以AA1垂直于底面ABC，而平面A1B1C1D1包含AA1，因此平面ABC和平面A1B1C1D1垂直。15.（15分）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，對(duì)角線AC和BD相交于正方體的中心點(diǎn)。解析：由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，對(duì)角線AC和BD相等且互相垂直，它們相交于正方體的中心點(diǎn)。五、計(jì)算題16.（15分）在正四面體ABCD中，棱長為a，求該四面體的體積。解析：正四面體的體積公式為(√2/3)*a^3。17.（15分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CD=DA=2，求對(duì)角線AC1的長度。解析：使用勾股定理計(jì)算對(duì)角線長度。18.（15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，求該直三棱柱的表面積。解析：計(jì)算底面積和側(cè)面積，然后相加。19.（15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，求對(duì)角線AC1的長度。解析：使用勾股定理計(jì)算對(duì)角線長度。20.（15分）在三棱錐S-ABC中，AB=AC=BC=2，側(cè)棱SA=SB=SC=√5，求該三棱錐的側(cè)面積。解析：計(jì)算每個(gè)等邊三角形的面積，然后相加。六、綜合題21.（25分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，5，6），點(diǎn)C（7，8，9），求：（1）向量AB和向量AC的夾角；（2）點(diǎn)B關(guān)于平面ACD的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)