甘肅省天水市一中2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期第一階段考試試題文(數(shù)學(xué))一、選擇題要求：請(qǐng)從下列各題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)最符合題目要求的答案。1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，若$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,2)$對(duì)稱，則$f(2)=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=10$，$S_8=30$，則$a_6=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$3.若$|x-1|+|x-2|+|x-3|=4$，則$x$的取值范圍是（）A.$(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$B.$(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$C.$[1,2]\cup[3,+\infty)$D.$(-\infty,1]\cup[2,3]$4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)為$a_1,a_2,a_3$，若$a_1+a_2=8$，$a_2+a_3=12$，則$\frac{a_2}{a_3}=$（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{3}{5}$5.已知函數(shù)$y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像與直線$y=kx+b$有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則$k$和$b$的取值范圍是（）A.$k\neq0$，$b\neq0$B.$k\neq0$，$b=0$C.$k=0$，$b\neq0$D.$k=0$，$b=0$二、填空題要求：請(qǐng)將正確答案填寫(xiě)在橫線上。6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-2x-15}{x-3}$的定義域?yàn)?D$，則$D=$____________。7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公差為$3$，則$a_{10}=$____________。8.若$\log_2(x+3)+\log_2(4-x)=1$，則$x$的取值范圍是$x\in$____________。9.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)為$a_1,a_2,a_3$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_2^2=a_1\cdota_3$，則$a_2=$____________。10.若$|x-1|+|x-2|+|x-3|=4$，則$x$的取值范圍是$x\in$____________。三、解答題要求：請(qǐng)將解答過(guò)程寫(xiě)清楚，步驟完整。11.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求$f(x)$的定義域，并化簡(jiǎn)$f(x)$。12.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=10$，$S_8=30$，求$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。四、證明題要求：證明下列各題中的等式成立。13.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a$和$b$，有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。14.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，有$x^2-4x+4\geq0$。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)題目要求，列出方程或方程組，并求解。15.已知某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，第一種產(chǎn)品每件利潤(rùn)為$50$元，第二種產(chǎn)品每件利潤(rùn)為$30$元。該工廠每天可以生產(chǎn)$100$件產(chǎn)品，但每天生產(chǎn)第一種產(chǎn)品的數(shù)量不能超過(guò)$50$件。為了最大化利潤(rùn)，工廠應(yīng)該如何安排生產(chǎn)？16.某市計(jì)劃在道路兩旁種植樹(shù)木，每側(cè)道路長(zhǎng)$200$米，每棵樹(shù)之間的距離為$5$米。為了使道路兩旁的樹(shù)木數(shù)量最多，每側(cè)應(yīng)種植多少棵樹(shù)？六、綜合題要求：綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。17.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，并畫(huà)出函數(shù)的大致圖像。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B。因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,2)$對(duì)稱，所以$f(2)=f(0)$，代入$f(x)$得到$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4=8-12+4=0$。2.C。由等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，得到$S_5=\frac{5(2+a_6)}{2}=10$，解得$a_6=4$。3.A。根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的最小值為$2$，當(dāng)$x\leq1$或$x\geq3$時(shí)，所以$x$的取值范圍是$(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$。4.B。由等比數(shù)列的性質(zhì)$a_2^2=a_1\cdota_3$，得到$a_2^2=a_1\cdot(a_1+d)$，代入$a_1+a_2=8$和$a_2+a_3=12$，解得$a_2=4$。5.B。因?yàn)楹瘮?shù)$y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像與直線$y=kx+b$有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以$k\neq0$且$b=0$。二、填空題6.$D=\{x|x\neq3\}$。因?yàn)楫?dāng)$x=3$時(shí)，分母為零，所以$x\neq3$。7.$a_{10}=2+3\cdot(10-1)=2+3\cdot9=2+27=29$。8.$x\in(1,2)$。因?yàn)?\log_2(x+3)+\log_2(4-x)=1$，所以$x+3>0$且$4-x>0$，解得$1<x<2$。9.$a_2=6$。由等比數(shù)列的性質(zhì)$a_2^2=a_1\cdota_3$和$a_1+a_2+a_3=6$，解得$a_2=6$。10.$x\in(-\infty,1]\cup[2,3]$。根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的取值范圍為$[2,6]$，所以$x$的取值范圍是$(-\infty,1]\cup[2,3]$。三、解答題11.解答：$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3$（$x\neq1$）。定義域?yàn)?D=\{x|x\neq1\}$。12.解答：由$S_5=\frac{5(2+a_6)}{2}=10$，得到$a_6=4$。由$S_8=\frac{8(2+a_8)}{2}=30$，得到$a_8=5$。所以公差$d=a_8-a_6=1$。因此通項(xiàng)公式為$a_n=2+(n-1)\cdot1=n+1$。四、證明題13.解答：左邊$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。右邊$a^2+2ab+b^2$。左右兩邊相等，所以等式成立。14.解答：$x^2-4x+4=(x-2)^2$。因?yàn)槠椒娇偸欠秦?fù)的，所以$(x-2)^2\geq0$。所以$x^2-4x+4\geq0$。五、應(yīng)用題15.解答：設(shè)生產(chǎn)第一種產(chǎn)品$x$件，則生產(chǎn)第二種產(chǎn)品$100-x$件。利潤(rùn)$P=50x+30(100-x)=5000-20x$。為了最大化利潤(rùn)，求$P$的最大值，即求$-20x$的最小值。由于$x$的取值范圍是$0\leqx\leq50$，所以$-20x$的最大值為$-20\cdot0=0$。所以當(dāng)$x=0$時(shí)，利潤(rùn)最大，即生產(chǎn)第一種產(chǎn)品$0$件，第二種產(chǎn)品$100$件。16.解答：每側(cè)道路可以種植的樹(shù)木數(shù)量為$\frac{200}{5}-1=39$。因?yàn)槊總?cè)種植的樹(shù)木數(shù)量必須為整數(shù)，所以每側(cè)應(yīng)種植$39$棵樹(shù)。六、綜合題17.解答：求導(dǎo)$f'(x)=3x^2-12x+11$，