第2講

平面與平面垂直性質定理8.6.3

平面與平面垂直學習目標1.探究、發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直的性質定理.(重點)2.平面與平面垂直的性質定理、判定定理的綜合應用.(難點)2、平面與平面垂直的判定定理1、平面與平面垂直的定義一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.符號表示：b兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.復習回顧

溫故知新αβEF思考1

如圖，長方體中，α⊥β,(1)α里的直線都和β垂直嗎？(2)什么情況下α里的直線和β垂直？與AD垂直不一定新知探究思考2垂足為B，那么直線AB與平面β的位置關系如何？為什么？αβABDCE垂直新知探究∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,且BECD=B垂足為B.∴AB⊥則∠ABE就是二面角的平面角.證明:在平面內作BE⊥CD,αβABDCE新知探究平面與平面垂直的性質定理符號表示:DCAB

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．知識梳理（線是一個平面內垂直于兩平面交線的一條直線）面面垂直線面垂直作用：

①它能判定線面垂直.②它能在一個平面內作與這個平面垂

直的垂線.關鍵點：①線在平面內.②線垂直于交線.DCAB提升小結αβAbal解：在α內作垂直于交線的直線b，

∵∴∵∴a∥b.

又∵∴a∥α.

即直線a與平面α平行.典例分析教材160頁例9例2.如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.EPABCE∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAB證明：過點A作AE⊥PB，垂足為E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴AE⊥BC典例分析教材160頁例101、平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。2、證明線面垂直的兩種方法：線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直3、線線、線面、面面之間的關系的轉化是解決空間圖形問題的重要思想方法。線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直線面垂直線線垂直課堂小結例1

設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列選項中能得出a⊥b的是A.a?α，b⊥β，α∥β

B.a⊥α，b⊥β，α∥βC.a⊥α，b∥β，α⊥β

D.a?α，b∥β，α⊥β典例分析√空間中的垂直關系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關系不是孤立的，而是相互關聯(lián)的.它們之間的轉化關系如下：線線垂直線面垂直面面垂直跟蹤訓練1

若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是A.若m?β，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ鞏固提升√典例分析例2

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.應用面面垂直的性質定理的策略(1)應用步驟：面面垂直

線面垂直—→線線垂直.(2)應用類型：①證明線面垂直、線線垂直；②作直線與平面所成的角或二面角的平面角.提醒：面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.如圖，在平面PAB內，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD=A，PA，AD?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.跟蹤訓練2

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點.證明：平面DEF⊥平面PBC.鞏固提升因為平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，CB⊥AB，CB?平面ABCD，所以CB⊥平面PAB，因為E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點，所以EF∥CB，所以EF⊥平面PAB，因為PB?平面PAB，所以EF⊥PB，連接AF(圖略)，因為EF∥CB∥AD，所以A，D，E，F(xiàn)四點共面，因為PA=AB，所以PB⊥AF，因為AF∩EF=F，AF，EF?平面DEF，所以PB⊥平面DEF，因為PB?平面PBC，所以平面DEF⊥平面PBC.例3

如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足.當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.典例分析如圖，在平面ABC內取一點D，過點D作DF⊥AC于點F.∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF?平面ABC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.過點D作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.∵DG，DF?平面ABC，且DG∩DF=D，∴PA⊥平面ABC.連接BE并延長交PC于點H.∵點E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE=E，AE，BE?平面ABE，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.又PA⊥平面ABC，且AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.鞏固提升

(2)當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論.

當△ADB以AB為軸轉動時，總有AB⊥CD.證明：①當點D在平面ABC內時，因為AC=BC，AD=BD，所以點C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.②當點D不在平面ABC內時，由(1)知AB⊥DE.又因為AC=BC，所以AB⊥CE.又因為DE，CE?平面CDE，DE∩CE=E，所以AB⊥平面CDE.由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.隨堂演練1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，則BD與CC1A.平行

B.共面C.垂直

D.不垂直√2.如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則A.DM≠EN，且直線DM，EN是異面直線B.DM=EN，且直線DM，EN是異面直線C.DM≠EN，且直線DM，EN是相交直線D.DM=EN，且直線DM，EN是相交直線√3.(多選)以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△AB