高中數(shù)學：概率統(tǒng)計應用題

概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學分支。概率應用題的文

字敘述長，數(shù)量關(guān)系分散，且背景新穎而難以把握。大

膽的設(shè)定隨機變量，區(qū)分不同變量的類型，找出它們之

間的內(nèi)在聯(lián)系，建立相應的數(shù)學模型。

有關(guān)概率統(tǒng)計的應用問題，其關(guān)鍵就是要弄清楚待解問

題的本質(zhì)：明確已知與待求，找出數(shù)學模型；找出已知

與待求之間的關(guān)系；還要確定解決問題的過程。這是解

概率統(tǒng)計應用題所必需的。

一、連續(xù)型模型的應用

例1、某地抽樣調(diào)查，考生的英語成績（按百分制計

算）近似地服從正態(tài)分布，平均成績72分，96分以上

的占考生的2.3%,求考生英語成績在60?84分之間的

概率。

分析：這是一個實際問題，只要通過數(shù)學建模，就可以

知道其本質(zhì)是一個“正態(tài)分布求連續(xù)型隨機變量在某一

范圍內(nèi)取值的概率”。將題目中的已知條件轉(zhuǎn)化為標準

正態(tài)分布表達式，對于一般正態(tài)分布鞏.'），取值小于

尸⑶=①（口

x的概率\這就建立了概率值與函數(shù)值的對

等關(guān)系。

解：設(shè)考生的英語成績?yōu)殡S機變量打則"用e,），其

中〃=72。

96-72

0.023=產(chǎn)管>96)=1-戶(史96)=1-0

田tj

=①(歸)=Q977=b=12

則英語成績在60?84分之間的概率為

P(60<84)=尸("84)-尸位<60)=<5(1)-<5(-1)=20(1)-1=0.6826

二、離散型模型的應用

例2、某電器商由多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店出售的電冰箱的

臺數(shù)4是一個隨機變量，它的分布列

尸口）咱小1,21……’12）,設(shè)每售出一臺電冰箱，該臺

冰箱可獲利300元，若售不出則囤積在倉庫，每臺需支

付保管費100元/月，問：該電器商月初購進多少臺電

冰箱才能使自己的月平均收入最大？

分析：注重對離散型隨機變量的數(shù)學期望意義的理解，

關(guān)于離散型隨機變量的應用題，關(guān)鍵是找出相關(guān)變量之

間的關(guān)系，而列表是一個比較好的方法，它能清晰地反

映出變量之間的聯(lián)系，有利于解題。在實際問題中有時

用期望或方差兩個數(shù)字特征來反映事件的優(yōu)劣。找出離

散型隨機變量月收入萬與。的線性函數(shù)關(guān)系，用表格形式

列出乎與。的相關(guān)分布列，把月平均收入最大的實際問題

轉(zhuǎn)化為月售電冰箱利潤期望值的最大問題。

解：設(shè)電器商月初購進的電冰箱臺數(shù)為X,月收益為叩，

則

300x(^>x)

Y]=<

乎是隨機變量。的函數(shù)[300孑-100(x7)位<也其中1WX412

??????

1x-1Xx+112

7300xl-100(x-l)???300(x-1)-100x1300x300x???300x

11111

??????

P1212121212

xl-100(x-l)]x-l+[300x2-100(x-2)]x^+

+[300(x-1)-100]XA+300x(13-x)xA

=y(-2?+38x)

_-50<_19丫9025

所以當x=9或10時，叫值最大。

答：電器商月初購進9或10臺電冰箱時能使自己的月

平均收入最大。

三、離散型與連續(xù)型兼顧型的應用

例3、已知測量誤差”盟75明(單位：1n山)，求：必

須進行幾次測量才能使至少有一次測量的絕對誤差不超

過10mm的概率大于0.9?

分析：本題注重考查了將數(shù)字敘述性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學符

號的能力。對于文字語句過長的題型，初次閱讀可能分

不清變量類型，但經(jīng)過分層分類，深挖各種隱含條件，

尋求建模的可能。將離散型隨機變量測量誤差與連續(xù)型

隨機變量測量誤差區(qū)分開來，題目就轉(zhuǎn)化為多次重復測

量中至少有一次測量中該事件發(fā)生的概率，其中該事件

為“測量的絕對值誤差不超過10mm"o

解：設(shè)測量中絕對誤差不超過10mm的測量次數(shù)為￡則

。~3(孫P),尸=尸(同二10)

由〃~10(75,10)得：

尸=耳問W10)=①(W)-①I5)=①(°25)+①(175)-1=0.5586

所以P91)=1-P(§=0)=1-?0.