第75課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：

⑴理解函數(shù)單調(diào)性的概念

⑵會判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

過程與方法：

⑴通過具體實例的分析,經(jīng)歷對函數(shù)平均變化率和瞬時變化率的探索過程

⑵通過分析具體實例，經(jīng)歷由平均變化率及渡到瞬時變化率的過程

情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方

法

教學(xué)重點：函數(shù)單調(diào)性的判定

教學(xué)難點：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回憶

1.函數(shù)的單調(diào)性：

對于函數(shù)丁=/（x）定義域內(nèi)的任意一個子集A,如果對于集合A中的任意

兩個自變量花,無2,當(dāng)花＜當(dāng)時都有/（再）＜＜（々）（或/6）＞/（々））就稱〃1）

在集合A上增加（減少）

2.單調(diào)函數(shù)

如果函數(shù)丁=/（%）在其定義域上顯增加的（或減少的）則稱函數(shù)y=/（x）在

集合A上顯增函數(shù)（或減函數(shù)）

單調(diào)區(qū)間：

二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系

1.具體函數(shù)①一次函數(shù)：y=/（x）=2x+5,./（%）=2＞0,

y=/(x)=-3x+4/'⑶=-3<0

②二次函數(shù)：y=/(x)=/,/'(%)=2x

x>o時，y(x)>ox<o時，y(x)<o

③指數(shù)函數(shù)：y=2x/'(x)=2A-ln2>2xlnl=0

y=(1r/'(x)=(1r-in|<(|r-ini=o

④對數(shù)函數(shù)：y=log3xy'=-—>0,y=log,xy'=-5―-<0

xln3-

由以上具體實例，導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系？

2.抽象概括：(傾斜角)

1)如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x)>0,則在這個區(qū)間

上，函數(shù)y=/(x)是增加的

2)如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)_f(x)>0,則在這個區(qū)間

上，函數(shù)y=/(x)是減少的

反之呢？

對于在某個區(qū)間(a,8)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)y=/(x),如果函數(shù)在這個區(qū)間上是增加

的，那么在區(qū)間(a,3上,f(x)>0(或r(x)40)

如：y=x3在Rt/'(x)=3x2>0

說明：①單調(diào)性解決的是隨xty增還是減少問題

而導(dǎo)數(shù)刻畫的是y相對于自變量x變化快慢問題，導(dǎo)數(shù)里比單調(diào)

性更加精確地反映函數(shù)的變化趨勢的一個是

yt且且越來越快yt且且越來越慢

/'(x)>0且越來越大r(x)>o且越來越小

yI且越來越快yI且越來越慢

r(x)<o且越來越小r(x)<o且越來越大

如設(shè)r(x)是/(x)導(dǎo)數(shù)，y=_f(x)如下圖，則y=/(x)量有可能旦

3.例題講解

例1：求f(x)=2x3-3/-36x+16的遞增性與遞減區(qū)間

解:法1(定義法)西<馬/(x,)-/(x2)

法2/'(幻=6%2—6x—36=6(x+2)(x—3)

/'(x)>0時xe(-oo,2)或xe(3,+oo)f

_f(x)<0時，xe(-2,3)I遞減區(qū)間為(一2,3)

單調(diào)性決定圖象/(X)=2X3-3X2-36X+16

補:例2：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間①/(x)=3——2皿；f(x)-x4-2x2+5

生±=2(3/J〉。

解:f(x)=6x--

XXX

(一￥，())或哼小)t(0,爭或s―,)I

2(3r

正確:定義域{x又>0}/'(%)=~0VX>0

X

/"(x)>0°2,八21./八V3

J''3%2-1>0x>—??(-oo,0,-^")t

x>0

r（x）<03/一1<0（。,￥）I

注意定義域！步驟：①求/(幻定義域；②求1f(X)；③1f(x)〉Ot

舍參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的問題：/,(x)<0I

第76課時函數(shù)的極值

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：

⑴理解函數(shù)極值的概念

⑵會求給定函數(shù)在某區(qū)間上的極值

過程與方法：

通過具體實例的分析，會對函數(shù)的極大值與極小值

情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方

法

教學(xué)重點：函數(shù)極值的判定方法

教學(xué)難點：函數(shù)極值的判定方法

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回憶

單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，單調(diào)區(qū)間求法

二、新課

1.函數(shù)極值的定義

①極大值：在含X。的區(qū)間(。,6)內(nèi)，若y=/(x)在任意一點函數(shù)值都不大于

%。點值，/(x)</'(x0)加為y=/(x)極大值點，/(%)為函數(shù)極大值

②極小值：/(x)>/1(x0)③極值：極值點

說明：①極值是一個局部概念，一一適當(dāng)區(qū)間內(nèi)局部性質(zhì)在函數(shù)定義域區(qū)

間上可能有多個極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大

②曲線在極值點處切線的斜率為0,在極大值點左側(cè)斜率為正，右側(cè)為負(fù),

在極小值點左側(cè)斜率為負(fù)，右側(cè)為正

③如下表

X(a,/)(*0力)

八X)+0

y=f(x)t極大I

X(。,尤o)X。(x0,b)

f'(x)—0+

y=/(x)極小t

④求y=/(x)極值點步驟

①求出導(dǎo)數(shù)r(x)；②八x)=0；

③對ra)=o每一個解與，/(/)左右兩側(cè)符號

1)/‘(X。)在X。的兩側(cè)“左正右負(fù)”大

2)fa。)在工。的兩側(cè)“左負(fù)右正”小

3)/'(/)在/的兩側(cè)符號相同，不是極值點

例1：求函數(shù)/(幻=2/_3/—36》+5極值點解：/'(x)=6(x+2)(x-3)

例2：/'(x)=0x,=-2x2=3

X(一8,-2)-2(-2,3)3(3,+8)

y'+0一0+

y=/(x)t極大I極小t

例2：求/(x)=3x3-3x+l的極值

例3：求/(x)=x2-e~x極值

r)x_i_丫2

解：@/，f(x)=2x-+x2-(錯誤)!

ex

22x-ex—x-x22x-x2x1—x

②/'(，)=(/X),=

(，)2/

令/'(x)=0：.x=0^x=2

X(-℃,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(X)—0+0—

/0)1小t大1

4

.?.x=()極小/(0)=0x=2極大,/(2)=—

e

例4：若函數(shù)y=x3+ax2+以+/在x=1處取得極值10,求a,/?

.r/(i)=io4=47=-3

解：y'=?>x2+2ax+b,.Y或

[r⑴=o.b=-nJb=3

6Z=-3

當(dāng)/'(x)-3x2—6x+3>0/(x)T無極值

b=3

a=4a=4-

當(dāng)/'(%)=3x2+8x-ll令二一

*=一11

三、作業(yè)：課本P841②④23②④4②

第77課時習(xí)題課

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：

復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性和極值的求法

過程與方法：

通過具體實例的分析，會求復(fù)雜函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值

情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方

法

教學(xué)重點：單調(diào)區(qū)間的求法和列表法求極值的過程

教學(xué)難點：單調(diào)區(qū)間的求法和列表法求極值的過程

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回憶

①函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系②極值的求法

二、例題

例1：已知/(X)=/+?+"+］當(dāng)且僅當(dāng)％=_［或尤=］時取得極值，比較極

小值大4①求a,。；②求/(x)極值，設(shè)/(x)、g(x)分別是定義在R上奇數(shù)

和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，.r(x)?g(x)+/(x)-g'(x)>0且g(3)=0則不等式

.尸(x).g(x)<0,解集是.

A.(-3,0)U(3,+oo)B.(-3,0)11(0,3)C.(-oo-3)U(3,+oo)D.(-00-3)U(0,3)

解：Wg(x)為奇函數(shù)且x<0時，，x>0時t

”3)43)=0/(0).g(0)=0

例2：已知函數(shù)/(x)=ad+法?+ex在點X。處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)解,(x),

圖像經(jīng)過點(1,0),(2,0)如圖，求①人的值；②值.

3〃+2b+c=0

解：/(x)=+/?x+c=0時，x=l或x=2y

-4x3a+4》+c=0

用圖

X(-00,1)1(1,2)2(2,+8)

f\x)+0—0+

/(l)t極大1極小t

.??x=l時極大X0=1又/(I)=5代入a+/?+c=5

由上③式知。=2b=-9c=12

例3：[2009年天津]已知函數(shù)/@)=(一+ox-2a2+3a)/(xeR)

其中aeH①當(dāng)。=()時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處切線上的

斜率；②當(dāng)時，求了(X)單調(diào)區(qū)間與極值

解：①當(dāng)a=0時，f(x)^x2-e'.r(x)=(，+2x)e'/./'(I)=3e

2a2x

②f'(x)=[x+(a+2)x-2+4a]e

2

令/'(x)=0/.x,=-2ax2=a-2由知一2awa-2

2

①若ci>—，貝！J—2ava—2

3

X(-00,—2a)-2a(—2a,a—2)ci—2(a-2,+oo)

f,w+0—0+

/(x)t極大1極小t

2

②若a<—

3

X(-oo,a-2)ci—2(a—2,—2a)—2a(—2Q,+8)

/'(%)+0一0+

/(x)t大J小f

f(x)在％=a—2極大/①-2)=(4-3a)?N

作業(yè)：1.[2009年天津模]/(x)=-x(x-a)2\xeR,aeR)

①當(dāng)。=1時，求y=/(x)在點(2J(2))處切線方程；

②當(dāng)0時，求/(x)極大值和極小值

2J2009年北京］f(x-)=x-ekx

①求y=/(x)在(0,/(0))處切線方程；②求/(x)單調(diào)區(qū)間；

③若/(x)在區(qū)間(-1,1)個，求女范圍.

第78課時最大值與最小值問題

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：

會求函數(shù)的最大值與最小值

過程與方法：

通過具體實例的分析，會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方

法

教學(xué)重點：函數(shù)最大值與最小值的求法

教學(xué)難點：函數(shù)最大值與最小值的求法

教學(xué)過程：

函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：

⑴函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值

是對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性的概念；

⑵函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值則

可能不止一個，也可能沒有極值；

⑶在求可導(dǎo)函數(shù)最值的過程中，無需對各導(dǎo)數(shù)為零的點討論其是否為極值

點，而直接將導(dǎo)數(shù)為零的點與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較，這是與求可導(dǎo)函數(shù)的

極值有所區(qū)別的；

⑷函數(shù)極值點與最值點沒有必然聯(lián)系，極值點不一定是最值點，最值點也

不一定是極值點，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得。

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定和高考的要求，有關(guān)函數(shù)最大值與最小值的實際問題

只涉及單峰函數(shù)，因而只有一個極值點，這個極值就是問題中所指的最值，因

此在求有關(guān)實際問題的最值時，沒有考慮端點的函數(shù)值。

極值求法單調(diào)性判定

實際問題中導(dǎo)數(shù)定義：（P85-87）例2：/⑺=血?尸⑺=扁

-*、

三、

①對于y=/（x）在［a,b］上任意一個自變量x,總存在X。

若/（x）＜/（工0）總成立，則與是［a,句上最大值是

若/（x）N/Oo）總成立，則X。是［a,句上最小值是

②最值與極值區(qū)別與聯(lián)系

1）最值是整體概念，極值是局部性概念

2）函數(shù)在定義域區(qū)間上最大值，最小值最多只有一個而極值則可能不止一

個，也可能沒有

3）極值點不一定為最值點，最值點也不一定為極值點，極值在區(qū)間內(nèi)取，

最值可能在端點處取得

4）閉區(qū)間連續(xù)一定有最值，［a,。］不一定，有最大無最小等

③最值的求法：連續(xù)＞=/（?在［a,加上最值

1）求/（幻在［a,例上的極值

2）將/（幻的各極值與/（a）,/3）比較，其中最大的一個是最大值，最小一

個為最小值

說明：當(dāng)函數(shù)多項式的次數(shù)大于2或用傳統(tǒng)方法不易求最值時，可考慮用求導(dǎo)

方法求解

例1：課本P88例4

求：＞=/1(幻=尤3_2/+5在區(qū)間［-2,2］上最值

解：八x)=3/-4x令小)=。x_=0/4

44((2)

X-2(-2,0)0(o,-)2

3

/'W20十0—0十4

/(%)-11t極大l極小t5

"=。函數(shù)最大值5%T及小為野

"(0)=5八()=署/(-2)=-H"2)=5

比較4個值［-2,2］上最大5最小-11

(下節(jié))

例2：(P89例5)

解：①V=(48.2X)2.XJ.-,0<x<24

>0

②/(x0=(482+41—4x48x)x=4/一4x48/+482%

.r(x)=12/—2x4x48x+482=12(%-24)(x-8)

令/'(x)=0x,=8J=24

X(0,8)8(8,24)

/'(X)+0—

/(■V)/大

；.x=8為V(x)極大值"8)=8192

在(0,24)上Vj了大/(8)=8192

例3：(產(chǎn)量與利潤)P90

該企業(yè)生產(chǎn)成本y(單位：萬元)和生產(chǎn)收入z都是產(chǎn)量x函數(shù)，分別

為y=/_24/+63x+10z=18x

(1)W=z-y=-x3+24x2-45x-10

②W'=—3/+48%-45

W'(x)=0x,=1x2=15

X(0,1)1(1,15)15”,+8)

W'(x)—0+0—

W(x)小/大

x=15函數(shù)極大^(15)=1340W(0)=-10

第79課時實際問題中導(dǎo)數(shù)的定義

——最優(yōu)化問題

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：

⑴讓學(xué)生掌握在實際生活中問題的求解方法

⑵會利用導(dǎo)數(shù)求解最值

過程與方法：

通過分析具體實例，經(jīng)歷由實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程

情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方

法

教學(xué)重點：函數(shù)建模過程

教學(xué)難點：函數(shù)建模過程

教學(xué)過程：

例4：(面積容積最大問題)請您設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是高為1租的正

六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3〃?的正六棱錐(如圖所示)，試問當(dāng)帳篷的頂

點0到底面中心。?的距離為多少時，帳篷的體積最大？

思路點撥：設(shè)出項點0到底面中心。的距離X后，求出底面邊長，表示帳篷

的體積

解：設(shè)。。|為xm,則1cx<4

由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為(單位：m)732-(x-l)2=V8+2x-x2

于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)

6.--(78+2X-X2)2=^(8+2x-x2),帳篷的體積為(單位：加)

42

3c1n

V(x)=-(8+2x—x2)[-(x-l)+l]—(16+12x-x3)

232

求導(dǎo)數(shù)，得丫'@)=券(12-3-)

令V，(x)=O,解得x=—2(不合題意，舍去)，x=2

當(dāng)l<x<2時，V'(x)>0,V(x)為增函數(shù)；

當(dāng)2cx<4時，V'(x)<0,V(x)為減函數(shù).

所以，當(dāng)x=2時，V（x）最大

答：當(dāng)。。?為2〃?時，帳篷的體積最大，最大體積為16代小

方法技巧：設(shè)出一個變量后，其他變量都用這個變量表示，然后列出所求變量

的函數(shù)式，再求最值，這是這類題目的常規(guī)解決。

例5：（用料最省問題）統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗

油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為

13

y=---%3-—x+8（0<x<120）,已知甲、乙兩地相距100千米。

■12800080

⑴當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少

升？

⑵當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多

少升？

思路點撥：設(shè)出汽車的速度為x千米/小時，然后表示出從甲地到乙地的耗油

量

解：⑴當(dāng)x=4（）千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了電=2.5小時，要耗

40

13

油（------x403——x40+8）x25=17.5（升）

12800080

⑵當(dāng)速度為x千米/小時，汽車從甲地到乙地行駛了些小時，設(shè)耗油量為

X

〃（幻升，依題意得

久*)=(，/—」+8)x理1280015

--------X~H--------

1280008021280x4

V?(￥)V3-8O3

/?'(%)=-----浮=——(0<x<120)令〃'(x)=0,得x=8()

640x2640/

當(dāng)xe(0,80)時，〃'(x)<0,〃(x)是減函數(shù)

當(dāng)xe(80,120)時，h\x)>Q,/z(x)是增函數(shù)

.?.當(dāng)x=80時，h(x)取得極小值

3545

此時h(x)=(---------x803-—x80+8)x-—=11.25(升)

1280008044

答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油量少，

最少為11.25升

方法技巧：正確表示出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值，其中把實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題，正確列出解析式是解題的關(guān)鍵

例6：(費用量省問題)要設(shè)計一容積為V的有蓋圓柱形儲油罐蓋，已知側(cè)面

積的單位面積造價是底面積造價的一半；而儲油罐蓋的單位面積造價又是側(cè)面

積造價的一半，問儲油罐的半徑r和高人之比為何值時造價最省？

思路點撥：把圓柱的高用底面半徑/"表示出來，然后把造價表示為r的函數(shù)

解：由1/=42力，得/2==，設(shè)蓋的單位面積造價為a,則儲油罐的造價為

4。V

=am?+2a?+4a?m9=5ab9+------

r

由SC。-下4aV=。解得一[借W，于是仁V丁自12V

由問題的實際意義，上述S的唯一可能極值點就是S的最小值點

=1時，儲油罐的造價最省

方法技巧：本題用半徑r把高人表示出來，把實際問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑r的函

數(shù)問題是關(guān)鍵

例7：(利潤最大問題)某商品每件成本9元，銷售價30元，每星期賣出432

件。如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價

的降低值x(單位：元0WxW30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，

一星期多賣出24件

⑴將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；

⑵如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大

思路點撥：由x-2時，多賣出的商品件數(shù)為24件，可求得正比例函數(shù)，進(jìn)而

表示出利潤與x的關(guān)系

解：⑴設(shè)商品降低x元，多賣出的商品數(shù)為日工若記商品在一個星期的獲利

為/(%),則由題意/(%)=(30-尤一9)(432+&)=(21-x)(432+kx2)

又由已知條件24=h22得k=6

/(x)=-6x3+126x2-4321x+9072xe[0,30]

⑵由⑴知f'(x)=-18x2+125x-432