PAGE1-其次節(jié)不等式的證明與應(yīng)用[考綱傳真]1.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.2.能夠利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法．1．基本不等式定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．定理2：假如a，b為正數(shù)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．定理3：假如a，b，c為正數(shù)，則eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立．定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)假如a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立)．(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)α或β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ(α，β為非零向量)時，等號成立．(3)柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，則eq\r(x1－x22＋y1－y22)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x32＋y1－y32).(4)柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．3．不等式的證明方法(1)比較法比較法是證明不等式最基本的方法，可分為求差比較法和求商比較法兩種．名稱求差比較法求商比較法理論依據(jù)a＞b?a－b＞0a＜b?a－b＜0a＝b?a－b＝0b＞0，eq\f(a,b)＞1?a＞bb＜0，eq\f(a,b)＞1?a＜b(2)分析法從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達(dá)到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法．(3)綜合法從已知條件動身，利用不等式的性質(zhì)(或已經(jīng)證明過的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法．(4)放縮法通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)比較法最終要推斷式子的符號得出結(jié)論． ()(2)綜合法是從緣由推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件動身，經(jīng)過逐步推理，最終達(dá)到待證的結(jié)論． ()(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論動身，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最終達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)． ()(4)運(yùn)用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，其中恒成立的是()A．①③ B．②③C．①②③ D．①②D[由①得x2＋3－3x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)＞0，所以x2＋3＞3x；對于②，因?yàn)閍2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；對于③，因?yàn)楫?dāng)ab＜0時，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)－2＝eq\f(a－b2,ab)＜0，即eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＜2，故選D．]3．若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\r(6)－eq\r(5)，c＝eq\r(7)－eq\r(6)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>c>a D．c>a>bA[“分子”有理化得a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5))，c＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，∴a>b>c.]4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．4[由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．]用綜合法與分析法證明不等式【例1】設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：(1)若ab＞cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要條件．[證明](1)因?yàn)?eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).②充分性：若eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因?yàn)閨a－b|＜|c－d|.綜上，eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要條件．[規(guī)律方法]分析法與綜合法經(jīng)常結(jié)合起來運(yùn)用，稱為分析綜合法，其實(shí)質(zhì)是既充分利用已知條件，又時刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書寫證題過程．設(shè)x≥1，y≥1，求證：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.[證明]由于x≥1，y≥1，要證x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，只需證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因?yàn)閇y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，因?yàn)閤≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．用放縮法證明不等式【例2】若a，b∈R，求證：eq\f(|a＋b|,1＋|a＋b|)≤eq\f(|a|,1＋|a|)＋eq\f(|b|,1＋|b|).[證明]當(dāng)|a＋b|＝0時，不等式明顯成立．當(dāng)|a＋b|≠0時，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|?eq\f(1,|a＋b|)≥eq\f(1,|a|＋|b|)，所以eq\f(|a＋b|,1＋|a＋b|)＝eq\f(1,\f(1,|a＋b|)＋1)≤eq\f(1,1＋\f(1,|a|＋|b|))＝eq\f(|a|＋|b|,1＋|a|＋|b|)＝eq\f(|a|,1＋|a|＋|b|)＋eq\f(|b|,1＋|a|＋|b|)≤eq\f(|a|,1＋|a|)＋eq\f(|b|,1＋|b|).[規(guī)律方法]1.在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧．常見的放縮變換有：(1)變換分式的分子和分母，如eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)，eq\f(1,k2)＞eq\f(1,kk＋1)，eq\f(1,\r(k))＜eq\f(2,\r(k)＋\r(k－1))，eq\f(1,\r(k))＞eq\f(2,\r(k)＋\r(k＋1)).上面不等式中k∈N*，k＞1；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性；(3)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0＜a＜b，m＞0，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m)”．2．在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度．設(shè)n是正整數(shù)，求證：eq\f(1,2)≤eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜1.[證明]由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得eq\f(1,2n)≤eq\f(1,n＋k)＜eq\f(1,n).當(dāng)k＝1時，eq\f(1,2n)≤eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,n)；當(dāng)k＝2時，eq\f(1,2n)≤eq\f(1,n＋2)＜eq\f(1,n)；…當(dāng)k＝n時，eq\f(1,2n)≤eq\f(1,n＋n)＜eq\f(1,n)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(n,2n)≤eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜eq\f(n,n)＝1.∴原不等式成立．柯西不等式的應(yīng)用【例3】(2024·江蘇高考)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8.[證明]由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.[規(guī)律方法]1.運(yùn)用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一樣形式時，就可運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行證明．2．利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,1))＋\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋\f(1,a\o\al(2,n))))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在運(yùn)用柯西不等式時，要留意右邊為常數(shù)且應(yīng)留意等號成立的條件．已知大于1的正數(shù)x，y，z滿意x＋y＋z＝3eq\r(3).求證：eq\f(x2,x＋2y＋3z)＋eq\f(y2,y＋2z＋3x)＋eq\f(z2,z＋2x＋3y)≥eq\f(\r(3),2).[證明]由柯西不等式及題意得，eq\f(x2,x＋2y＋3z)＋eq\f(y2,y＋2z＋3x)＋eq\f(z2,z＋2x＋3y)·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18eq\r(3)，∴eq\f(x2,x＋2y＋3z)＋eq\f(y2,y＋2z＋3x)＋eq\f(z2,z＋2x＋3y)≥eq\f(27,18\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝eq\r(3)時，等號成立．1．(2024·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.[證明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋eq\f(3a＋b2,4)(a＋b)＝2＋eq\f(3a＋b3,4)，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.2．(2024·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，M為不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|.[解](1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\v