數學分析3期末試卷及答案一、填空題（每題3分，共30分）1.函數f(x)=x^2+1的導數為______。2.極限lim(x→0)(1-cosx)/x^2的值為______。3.函數f(x)=x^3-3x+1的極值點為______。4.函數f(x)=x^2+2x+1在區(qū)間[-3,1]上的最小值為______。5.函數f(x)=e^x的不定積分為______。6.函數f(x)=lnx的原函數為______。7.函數f(x)=x^2+3x-4的零點為______。8.函數f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐點為______。9.函數f(x)=x^2-4x+4在x=2處的切線方程為______。10.函數f(x)=x^3-3x的單調增區(qū)間為______。二、選擇題（每題4分，共20分）11.以下哪個函數是奇函數？A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=x^4D.f(x)=x^512.以下哪個函數是周期函數？A.f(x)=e^xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=ln(x)D.f(x)=x^213.以下哪個函數在x=0處不連續(xù)？A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=e^x14.以下哪個函數在x=0處取得極小值？A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=x^4D.f(x)=x^515.以下哪個函數的不定積分為ln|x|+C？A.f(x)=1/xB.f(x)=xC.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)三、計算題（每題10分，共40分）16.求極限lim(x→∞)(x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)。解：lim(x→∞)(x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)=lim(x→∞)(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x+1/x^2)=1。17.求函數f(x)=x^3-6x^2+11x-6的極值點。解：f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x1=1，x2=11/3。經檢驗，x1=1為極小值點，x2=11/3為極大值點。18.求函數f(x)=x^2-4x+4的單調區(qū)間。解：f'(x)=2x-4，令f'(x)>0，解得x>2；令f'(x)<0，解得x<2。因此，函數f(x)在(-∞,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增。19.求函數f(x)=x^3-3x的不定積分。解：∫(x^3-3x)dx=(1/4)x^4-(3/2)x^2+C。四、證明題（每題10分，共20分）20.證明函數f(x)=x^2在(-∞,+∞)上單調遞增。證明：任取x1，x2∈(-∞,+∞)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2)。由于x1<x2，所以x1-x2<0，x1+x2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)。所以函數f(x)=x^2在(-∞,+∞)上單調遞增。21.證明函數f(x)=lnx在(0,+∞)上單調遞增。證明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=lnx1-lnx2=ln(x1/x2)。由于x1<x2，所以0<x1/x2<1，因此ln(x1/x2)<0，即f(x1)<f(x2)。所以函數f(x)=lnx在(0,+∞)上單調遞增。五、綜合題（每題10分，共20分）22.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的單調區(qū)間、極值點和極值。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0，解得x>2或x<0；令f'(x)<0，解得0<x<2。因此，函數f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減。經檢驗，x=0為極大值點，極大值為2；x=2為極小值點，極小值為-2。23.已知函數f(x)=x^2-4x+m，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最小值。解：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。經檢驗，x=2為極小值點。又因為f(-1)=5+m，f(3)=9-12+m=m-3，所以f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最小值為min{m-3,2-m}。答案：1.2x2.1/23.1