福建省廈門市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某同學(xué)同時拋擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別記為、，則雙曲線的離心率的概率是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，若，，那么下列四個命題中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命題的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個4．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．6．在某次體檢中，學(xué)號為（）的四位同學(xué)的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學(xué)的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種7．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）8．用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，共有種不同的涂色方案．A．420 B．180 C．64 D．259．若命題p：，，則是（）A．， B．，C．， D．，10．已知，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱，則為（）A． B． C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與直線交于E，G兩點(diǎn)，若，則拋物線C的方程是（）A． B．C． D．12．正方體中，若外接圓半徑為，則該正方體外接球的表面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在上隨機(jī)地取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為__________．14．的化簡結(jié)果為____________15．若隨機(jī)變量，且，則______.16．已知向量，則向量的單位向量______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設(shè)實(shí)數(shù)，證明：．18．（12分）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）證明：對一切，都有成立.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量,.(1)當(dāng)時,求的值；(2)若，且.求的值.21．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個不同點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個等腰三角形.22．（10分）已知在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為是為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系；(2)在曲線上求一點(diǎn),使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

對進(jìn)行變形，得到，令，，即的整數(shù)個數(shù)為3，再由的函數(shù)圖像和的函數(shù)圖像，寫出限制條件，得到答案【詳解】，即設(shè)，其中時，時，即符合要求，所以時，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，為極小值.有三個整數(shù)解，則還有一個整數(shù)解為或者是①當(dāng)解集包含時，時，所以需要滿足即，解得②當(dāng)解集包含時，需要滿足即整理得，而，所以無解集，即該情況不成立.綜上所述，由①②得，的范圍為故選D項.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，兩個函數(shù)圖像的位置關(guān)系與解析式大小之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，題目較綜合，考查內(nèi)容比較多，屬于難題.2、A【解析】由題意知本題是一個古典概型，∵試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，共有6×6=36種結(jié)果滿足條件的事件是e=∴b＞a，符合b＞a的情況有：當(dāng)a=1時，有b=3，4，5，6四種情況；當(dāng)b=2時，有a=5，6兩種情況，總共有6種情況．∴概率為．故選A3、A【解析】分析：函數(shù)是連續(xù)的，故在閉區(qū)間上，的值域也是連續(xù)的，令，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得①正確；利用特值法可得②③④錯誤，從而可得結(jié)果.詳解：函數(shù)是連續(xù)的，故在閉區(qū)間上，的值域也是連續(xù)的，令，對于①，，故①正確.對于②，若，則，無意義，故②錯誤.對于③，時，不存在，使得，故③錯誤.對于④，可能為，則無意義，故④錯誤，故選A.點(diǎn)睛：本題主要通過對多個命題真假的判斷，主要綜合考查函不等式的性質(zhì)及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因為某一處知識點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，利用定理、公理、結(jié)論以及特值判斷，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.4、C【解析】

分析：由推導(dǎo)出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.5、D【解析】

因為-2為極值點(diǎn)且為極大值點(diǎn)，故在-2的左側(cè)附近>0，-2的右側(cè)<0,所以當(dāng)x>-2且在-2的右側(cè)附近時，排除BC，當(dāng)x<-2且在-2的左側(cè)附近時，，排除AC，故選D6、D【解析】

根據(jù)中等號所取個數(shù)分類討論，利用組合知識求出即可.【詳解】解：當(dāng)中全部取等號時，情況有種；當(dāng)中有兩個取等號，一個不取等號時，情況有種；當(dāng)中有一個取等號，兩個不取等號時，情況有種；當(dāng)中都不取等號時，情況有種；共種.故選：D.本題考查分類討論研究組合問題，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，是中檔題.7、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。8、B【解析】分析：由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．詳解：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法∴共有5×4×3×3=180種不同的涂色方案．故答案為：B.點(diǎn)睛：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．9、B【解析】

利用全稱命題的否定是特稱命題來判斷.【詳解】解：命題p：，，則：，.故選：B.本題考查特稱命題的否定，注意特稱命題的否定要變?nèi)Q命題，并且要否定結(jié)論，是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由平移后，得，再由圖象關(guān)于軸對稱，得，解之即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得圖象關(guān)于軸對稱，即又時滿足要求.故選：D本題考查了三角函數(shù)圖象的平移和函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.11、C【解析】

作，垂足為點(diǎn)D．利用點(diǎn)在拋物線上、，結(jié)合拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】作，垂足為點(diǎn)D．由題意得點(diǎn)在拋物線上，則得．①由拋物線的性質(zhì)，可知，，因為，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故拋物線C的方程是．故選C．本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，屬于中檔題.12、C【解析】

設(shè)正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，求得其外接圓的半徑，求得的值，進(jìn)而求得球的半徑，即可求解球的表面積，得到答案．【詳解】如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，設(shè)其外接圓的半徑為，則，即，由，得，所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的表面積為，故選C．本題主要考查了求得表面積與體積的計算問題，同時考查了組合體及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用球的性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點(diǎn)】直線與圓位置關(guān)系；幾何概型【名師點(diǎn)睛】本題是高考?？贾R內(nèi)容，考查幾何概型概率的計算.本題綜合性較強(qiáng)，具有“無圖考圖”的顯著特點(diǎn)，涉及點(diǎn)到直線距離的計算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.14、18【解析】

由指數(shù)冪的運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.【詳解】因為.故答案為18本題主要考查指數(shù)冪運(yùn)算以及對數(shù)的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、4【解析】

由隨機(jī)變量，且，可得的值，計算出,可得的值.【詳解】解：由隨機(jī)變量，且，可得，，，.故答案為：4.本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，熟悉二項分布的期望和方差的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

計算出，從而可得出，即可求出向量的坐標(biāo).【詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.本題考查與非零向量同向的單位向量坐標(biāo)的計算，熟悉結(jié)論“與非零向量同向的單位向量為”的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）對分、、三種情況討論，去絕對值，分別解出不等式，可得出不等式的解集；（2）證法一：由題意得出，，將不等式兩邊作差得出，由此可得出所證不等式成立；證法二：利用分析法得出所證不等式等價于，由題意得出，，判斷出的符號，可得出所證不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式化為：，解得；當(dāng)時，不等式化為：，解得；當(dāng)時，不等式化為：，解得.綜上可知，；（2）證法一：因為，，所以，.而，所以；證法二：要證，只需證：，只需證：，因為，，所以，.所以成立，所以成立.本題考查利用分類討論法解絕對值不等式，以及利用分析法和比較法證明不等式，證明時可結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)合理選擇證明方法，考查分類討論思想和邏輯推理能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為設(shè)的方程為：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直線斜率不存在時，即，∵∴，即又∵點(diǎn)在橢圓上∴，即∴，∴，故的面積為定值1②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得：∴，，∴所以三角形的面積為定值1.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問題，解題時要注意解題技巧的運(yùn)用，如常用的設(shè)而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，借助韋達(dá)定理，結(jié)合向量所提供的坐標(biāo)關(guān)系，然后經(jīng)過計算推理過程中消去變量，從而得到定值.19、(I).（Ⅱ）見解析.【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值．（2）對一切，都有成立，即，結(jié)合（1）中結(jié)論可知，構(gòu)造新函數(shù)，分析其最大值，可得答案．【詳解】（1）的定義域為，的導(dǎo)數(shù)．令，解得；令，解得．從而在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時，取得最小值．（2）若則，由（1）得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值；設(shè)，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值故對一切，都有成立．本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，屬于難題．20、（1）；（2）．【解析】分析：(1)直接帶入即可(2)利用向量數(shù)量積打開后再利用二倍角公式變形化同名詳解：(1)當(dāng)時，，，所以.(2)，若.則，即.因為，所以，所以，所以.點(diǎn)睛：三角函數(shù)跟向量的綜合是高考當(dāng)中的熱點(diǎn)問題，常常需要利用二倍角公式的逆用對得到的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡，最終