福建省龍巖市長(zhǎng)汀縣新橋中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，分別為棱長(zhǎng)為的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為面對(duì)角線和棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列關(guān)于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值2．長(zhǎng)春氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，7月15日凈月區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)事件為下雨，事件為刮風(fēng)，那么（）A． B． C． D．3．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且.已知，則函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第二象限的概率為()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20004．設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如右圖，則的充要條件是（）123A．B．C．D．5．觀察下列各式：，則的末尾兩位數(shù)字為（）A．49 B．43 C．07 D．016．若函數(shù)在上有最大值無(wú)最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．函數(shù)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)9．若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．10．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．11．已知為橢圓M:+=1和雙曲線N:-=1的公共焦點(diǎn)，為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，那么橢圓M和雙曲線N的離心率之積為（）A． B．1 C． D．12．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有（）A．250個(gè) B．249個(gè) C．48個(gè) D．24個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．科目二，又稱小路考，是機(jī)動(dòng)車駕駛證考核的一部分，是場(chǎng)地駕駛技能考試科目的簡(jiǎn)稱.假設(shè)甲每次通過(guò)科目二的概率均為，且每次考試相互獨(dú)立，則甲第3次考試才通過(guò)科目二的概率為_(kāi)_________．14．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________（結(jié)果用區(qū)間表示）。15．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，此時(shí)若則_______．16．設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如果，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）如果，求的取值范圍.20．（12分）在中，角,,所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求的值；（2）若，，，為垂足，求的長(zhǎng).21．（12分）如圖，在平行四邊形中，，將沿對(duì)角線折起，折后的點(diǎn)變?yōu)?，且?Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅲ）E為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)為多少時(shí)，與平面所成的角正弦值為？22．（10分）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點(diǎn)到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【詳解】分別為棱長(zhǎng)為的正方體的棱的中點(diǎn)，所以，又，故點(diǎn)到的距離為定值，則面積為定值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為平面構(gòu)不成四面體，故只能無(wú)限接近點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無(wú)最小值故選D本題主要考查了四面體體積的判斷，運(yùn)動(dòng)中的定量與變量的分析，空間想象與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題2、B【解析】

確定，再利用條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，可知，利用條件概率的計(jì)算公式，可得，故選B.本題主要考查了條件概率的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題，熟記條件概率的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第二象限的概率為，故選C.4、B【解析】

由題設(shè)及數(shù)學(xué)期望的公式可得，則的充要條件是．應(yīng)選答案B．5、B【解析】

通過(guò)觀察前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)末尾兩位數(shù)分別為49、43、01、07，以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，由此即可推出的末尾兩位數(shù)字?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，得，發(fā)現(xiàn)的末尾兩位數(shù)為49，的末尾兩位數(shù)為43，的末尾兩位數(shù)為01，的末尾兩位數(shù)為07，（）；由于，所以的末兩位數(shù)字為43；故答案選B本題以求的末尾兩位數(shù)的規(guī)律為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和歸納推理的一般方法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

分析：函數(shù)在上有最大值無(wú)最小值，則極大值在之間，一階導(dǎo)函數(shù)有根在，且左側(cè)函數(shù)值小于1，右側(cè)函數(shù)值大于1，列不等式求解詳解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a(chǎn)＝1時(shí)，f′（x）＝4x+1＞1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)極值，舍去．a(chǎn)≠1時(shí)，△＝16﹣12a．由△≤1，解得，此時(shí)f′（x）≥1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)極值，舍去．由△＞1，解得a（a≠1），由f′（x）＝1，解得x1，x2．當(dāng)時(shí)，x1＜1，x2＜1，因此f′（x）≥1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)極值，舍去．當(dāng)a＜1時(shí)，x1＞1，x2＜1，∵函數(shù)f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值無(wú)最小值，∴必然有f′（x1）＝1，∴12，a＜1．解得：a．綜上可得：a．故選：C．點(diǎn)睛：極值轉(zhuǎn)化為最值的性質(zhì)：1、若上有唯一的極小值，且無(wú)極大值，那么極小值為的最小值；2、若上有唯一的極大值，且無(wú)極小值，那么極大值為的最大值；7、D【解析】

根據(jù)各選項(xiàng)的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A錯(cuò)誤，同時(shí)和一個(gè)平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項(xiàng)D正確，由，便得，又，，即.故選：D.本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡(jiǎn)單證明，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以，由零點(diǎn)存在定理可得：區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).故選B本題主要考查判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，熟記零點(diǎn)的存在定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由實(shí)部與虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解即可.【詳解】表示的點(diǎn)在第一象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C．本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、乘方運(yùn)算，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．10、C【解析】

先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).11、B【解析】

根據(jù)題意得到，根據(jù)勾股定理得到，計(jì)算得到答案.【詳解】為橢圓M:+=1和雙曲線N:-=1的公共焦點(diǎn)故，故，故即故選：本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解析】先考慮四位數(shù)的首位，當(dāng)排數(shù)字4,3時(shí)，其它三個(gè)數(shù)位上課從剩余的4個(gè)數(shù)任選4個(gè)全排，得到的四位數(shù)都滿足題設(shè)條件，因此依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得滿足題設(shè)條件的四位數(shù)共有個(gè)，應(yīng)選答案C。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】甲第3次考試才通過(guò)科目二，則前兩次都未通過(guò)，第3次通過(guò)，故所求概率為.填14、【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義域需滿足，解不等式.【詳解】根據(jù)題意可得，，，即函數(shù)的定義域是故填：.本題考查了函數(shù)多的定義域，屬于簡(jiǎn)單題型.15、【解析】

由二項(xiàng)分布性質(zhì)可知Dx=np(1-p)=2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二項(xiàng)分布公式代入解得p>0.5，可求得p.【詳解】由二項(xiàng)分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因?yàn)?，所以，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7.本題綜合考查二項(xiàng)分布公式應(yīng)用及二項(xiàng)分布的性質(zhì)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用。16、；【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入導(dǎo)函數(shù)中，即可求出的值.【詳解】，.本題考查了導(dǎo)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，正確掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】分析：由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件得到關(guān)于x,y的方程組，求解方程組可得.詳解：由題意得，解得.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、(1).(2).【解析】分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的解集，列出方程求解即可；（2）利用，若存在，使得不等式成立，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)函數(shù)的最小值以及函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可.詳解：（1）顯然，當(dāng)時(shí)，解集為，，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解集為，，，綜上所述.(2)當(dāng)時(shí)，令由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取到最小值-2，由題意知，，.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.19、（1）答案見(jiàn)解析；上是增函數(shù)；（2）.【解析】分析：（1）求導(dǎo)得：,分類討論可知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).（2）由（1）可知，時(shí)，函數(shù)有最小值，據(jù)此可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，且滿足題意，據(jù)此可知.詳解：（1）求導(dǎo)得：,當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則.①當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)；②時(shí)，，所以在上是增函數(shù).（2）由（1）可知，時(shí)，，，，解得，又由于，綜上所述：.點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得結(jié)果，（2）先根據(jù)余弦定理求，再利用三角形面積公式求AD.【詳解】（1）因?yàn)?，所以因?yàn)椋?即.因?yàn)?，所以，所?則.（2）因?yàn)?，所?.在中，由余弦定理可得，即.由，得.所以.本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由已知條件得知，再利用勾股定理證明，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，最后利用平面與平面的判定定理可證明出結(jié)論；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計(jì)算異面直線和所成角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)，將向量的坐標(biāo)用實(shí)數(shù)表示，求出平面的一個(gè)法向量，由題中條件得求出的值，于此可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（Ⅰ）在中，.四邊形是平行四邊形，又，又平面又平面，平面平面；（Ⅱ）如圖，過(guò)作的垂線，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,從而,異面直線與所成角的余弦值等于.；（Ⅲ）.設(shè)則取平面的一個(gè)法向量為，記與平面所成的角為，則，，解得，即本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成的角以及直線與平面所成角的探索性問(wèn)題，在求解空間角時(shí)，一般利用空間向量來(lái)進(jìn)行求解，解題時(shí)注意將空間角轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量的夾角來(lái)計(jì)算，屬于中