四川省樂山四中2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)、、、，且滿足:，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè),且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，由坐標(biāo)軸和曲線所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．5．己知點(diǎn)A是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．6．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為A． B．C． D．7．①線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于；③在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若位于區(qū)域內(nèi)的概率為，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為；④對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大．其中真命題的序號(hào)為()A．①④ B．②④ C．①③ D．②③8．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．9．已知函數(shù)f(x)=2x3+ax+a.過點(diǎn)M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-310．某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念,制定節(jié)能減排的目標(biāo),先調(diào)查了用電量y(單位:千瓦·時(shí))與氣溫x(單位:oC)之間的關(guān)系,隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫,x（單位：oC171410-1y（單位：千瓦?時(shí)）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程:y=-2x+a,則由此估計(jì):當(dāng)某天氣溫為12oC時(shí),A．56千瓦?時(shí) B．36千瓦?時(shí) C．34千瓦?時(shí) D．38千瓦?時(shí)11．已知雙曲線，若其過一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明“若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)______．14．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則的共軛復(fù)數(shù)________．15．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，若使直線與圓有交點(diǎn)的概率為，則__________．16．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，最后輸出的S值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若不等式至少有一個(gè)負(fù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）求證：.20．（12分）設(shè)全體空間向量組成的集合為，為中的一個(gè)單位向量，建立一個(gè)“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設(shè)，，若，求向量；（2）對(duì)于中的任意兩個(gè)向量，，證明：；（3）對(duì)于中的任意單位向量，求的最大值.21．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間：（Ⅱ）關(guān)于的方程在范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求的取值范圍.22．（10分）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案．【詳解】由題意，，所以表示第二象限角，故選B．本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2、D【解析】

作出函數(shù)的圖象，可得出當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍，根據(jù)圖象得出，，并求出實(shí)數(shù)的取值范圍，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用雙勾函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由于二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，由題意可知，，，，可得，，由，即，解得.，令，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，因此，的取值范圍是，故選：D.本題考查函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，解題時(shí)要充分利用圖象的對(duì)稱性以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出一些定值條件，并將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以某個(gè)變量為自變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想的應(yīng)用，屬于中等題.3、B【解析】

利用不等式性質(zhì)判斷或者舉反例即可.【詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí)不滿足對(duì)B,因?yàn)閯t成立.故B正確.對(duì)C,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.對(duì)D,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.故選：B本題主要考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用等,屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，求出積分值即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，故選C.本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)題目可知，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義，結(jié)合，可得，設(shè)的傾斜角為，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，即可求出的的坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線得離心率。【詳解】由題意知，由對(duì)稱性不妨設(shè)P點(diǎn)在y軸的右側(cè)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則根據(jù)則拋物線的定義，可得，設(shè)的傾斜角為，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，令，解得可得，又此時(shí)點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上雙曲線的實(shí)軸故答案選B。本題主要考查了雙曲線與拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，在解決圓錐曲線相關(guān)問題時(shí)常用到方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想。6、B【解析】

根據(jù)題意，由可得：，代入化簡即可求出答案.【詳解】由伸縮變換，得代入，得，即．選B.本題考查坐標(biāo)的伸縮變換公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】對(duì)于①，因?yàn)榫€性回歸方程是由最小二乘法計(jì)算出來的，所以它不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，一定經(jīng)過，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，根據(jù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)知，兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故正確；對(duì)于③，變量服從正態(tài)分布，則，故正確；對(duì)于④，隨機(jī)變量的觀測值越大，判斷“與有關(guān)系”的把握越大，故錯(cuò)誤.故選D.點(diǎn)睛：在回歸分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實(shí)質(zhì)上回歸直線方程必過點(diǎn)，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上.8、B【解析】

將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)橢圓的方程可求，進(jìn)而可得長軸.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，，所以，故長軸長為故選：本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，利用切點(diǎn)與點(diǎn)M連線的斜率等于曲線C在切點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)建立有關(guān)t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當(dāng)x<-324或x>本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，在處理過點(diǎn)作函數(shù)的切線時(shí)，一般要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線與點(diǎn)連線的斜率等于切線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于中等題。10、B【解析】

計(jì)算出x和y的值，將點(diǎn)x,y的坐標(biāo)代入回歸直線方程，得出a的值，再將x=12代入可得出【詳解】由題意可得x=17+14+10-14由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)x,y，則-2×10+a回歸直線方程為y=-2x+60，當(dāng)x=12時(shí)，y=-2×12+60=36（千瓦·本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)x,11、B【解析】分析：利用過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．12、B【解析】試題分析：記直線的傾斜角為，∴，故選B.考點(diǎn)：直線的傾斜角.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立。【詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，所以應(yīng)假設(shè)，填。反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．14、【解析】

把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線上，由此得到復(fù)數(shù)，即可求出答案【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，代入直線，可得，解得：，故復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；故答案為本題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。15、【解析】

分析：先根據(jù)直線與圓相交的關(guān)系得出不等式得b的取值范圍，然后由概率為建立等式求解即可.詳解：圓心到直線的距離：故答案為：點(diǎn)睛：考查直線與圓的位置關(guān)系，然后再結(jié)合幾何概型求解即可.屬于中檔題.16、10.【解析】分析：根據(jù)流程圖進(jìn)行計(jì)算即可直到計(jì)算S大于等于9為止.詳解：由題可得：故輸出的S=10點(diǎn)睛：本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由，有，即，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)；（2）不等式可化為，分別作出拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，結(jié)合圖象求得兩個(gè)臨界位置，即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，有，即，則，解得，即，故函數(shù)的零點(diǎn)為；（2）不等式可化為，如圖所示，曲線段和分別是拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，因?yàn)椴坏仁街辽儆幸粋€(gè)負(fù)解，由圖象可知，直線有兩個(gè)臨界位置，一個(gè)是與曲線段相切，另一個(gè)是通過曲線段和軸的交點(diǎn)，后者顯然對(duì)應(yīng)于；前者由可得到方程，由，解得，因此當(dāng)時(shí)，不等式至少有一個(gè)負(fù)解，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及利用函數(shù)的圖象求解不等式的有解問題，其中解答中熟記函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及合理利用函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.18、（1）見證明；（2）【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義可以證明；（2）由（1）可求的通項(xiàng)公式，結(jié)合可得，結(jié)合通項(xiàng)公式公式特點(diǎn)選擇分組求和法進(jìn)行求和.【詳解】證明：（1）∵，∴.又∵，∴.又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）求解知，，∴，∴.本題主要考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列求和，一般地，數(shù)列求和時(shí)要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特征來選擇合適的方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、見解析.【解析】分析：直接利用組合數(shù)的公式計(jì)算證明.====.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查組合數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)組合數(shù)公式：===(∈，，且)這里兩個(gè)公式前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證明恒等式及合并組合數(shù)簡化計(jì)算20、（1）或；（2）見解析；（3）最大值為.【解析】分析：（1），設(shè)，代入運(yùn)算得：，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，，，則利用“向量函數(shù)”的解析式化簡，從而可得結(jié)果；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，即最大值為.詳解：（1）依題意得：，設(shè)，代入運(yùn)算得：或；（2）設(shè)，，，則從而得證；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，故最大值為.點(diǎn)睛：新定義問題一般先考察對(duì)定義的理解，這時(shí)只需一一驗(yàn)證定義中各個(gè)條件即可.二是考查滿足新定義的函數(shù)的簡單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).21、（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可解出，再求導(dǎo)判斷即可．（Ⅱ）由（I）可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，，畫出草圖即可得出答案．【詳解】解：（I）函數(shù)，則且.因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，所以則，則.所以，.當(dāng)時(shí)故為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)故為單調(diào)遞增.所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）因?yàn)榉匠淘诜秶鷥?nèi)有兩個(gè)解，所以與在又兩個(gè)交點(diǎn)由（I）可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以在有極小值為，且.又因?yàn)楫?dāng)趨于正無窮大時(shí)，也趨于正無窮大.所以.本題考查根據(jù)函數(shù)的切線方程求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬