北京東城北京二中2025屆高二下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果，那么的值是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．都是奇數(shù) D．都是偶數(shù)4．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．5．已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．甲、乙二人進(jìn)行圍棋比賽，采取“三局兩勝制”，已知甲每局取勝的概率為，則甲獲勝的概率為()．A． B．C． D．7．2019年6月7日，是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”。這天，小明的媽媽煮了7個(gè)粽子，其中3個(gè)臘肉餡，4個(gè)豆沙餡。小明隨機(jī)抽取出兩個(gè)粽子，若已知小明取到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為臘肉餡的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知變量，滿足回歸方程，其散點(diǎn)圖如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，10．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A． B．4 C．5 D．11．雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為（）A． B． C． D．12．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回歸方程必過A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最大值是_____．14．高一（10）班有男生人，女生人，若用分層抽樣的方法從該班的全體同學(xué)中抽取一個(gè)容量為的樣本，則抽取男生的人數(shù)為__________人．15．若某圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是__________．16．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同．則雙曲線的方程為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知拋物線：過點(diǎn)（1）求拋物線的方程：（2）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，變?yōu)?，且平面平面．?）求證：；（2）求二面角的大?。?9．（12分）已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，命題q：關(guān)于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集為R.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．20．（12分）求證：21．（12分）甲、乙兩人各進(jìn)行次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)次的概率．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出曲線的普通方程;（2）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由誘導(dǎo)公式，可求得的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可．【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以而所以選D本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】分析：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．詳解：函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，f（x）=1有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴f（x）=﹣a必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．3、B【解析】

用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選：B.本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，求一個(gè)命題的否定，屬于中檔題.4、D【解析】

連結(jié)AB后，AB長(zhǎng)為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長(zhǎng)一定，在點(diǎn)C由A到B的過程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時(shí)，三角形的面積減或增較慢，故選D．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

函數(shù)在時(shí)取得最大值,在或時(shí)得,結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得的取值范圍.【詳解】二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線.最大值為，且在時(shí)取得，而當(dāng)或時(shí)，.結(jié)合函數(shù)圖象可知的取值范圍是．故選:C．本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.6、C【解析】

先確定事件“甲獲勝”包含“甲三局贏兩局”和“前兩局甲贏”，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【詳解】事件“甲獲勝”包含“甲三局贏兩局”和“前兩局甲贏”，若甲三局贏兩局，則第三局必須是甲贏，前面兩局甲贏一局，所求概率為，若前兩局都是甲贏，所求概率為，因此，甲獲勝的概率為，故選C．本題考查獨(dú)立重復(fù)事件的概率，考查概率的加法公式，解題時(shí)要弄清楚事件所包含的基本情況，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中等題．7、B【解析】

設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，計(jì)算（A）、的值，從而求得的值．【詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，則（A），，．故選：B．本題主要考查古典概型和條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.8、D【解析】

由約束條件，作出可行域如上圖所示陰影部分，要使可行域存在，必有，可行域包括上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)在直線的上方，且在直線的下方，故有，解得，選D.點(diǎn)睛：平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃的一類重要題型，在解答本題時(shí)，關(guān)鍵是畫好可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．9、D【解析】

由散點(diǎn)圖知變量負(fù)相關(guān)，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1．可得答案.【詳解】由散點(diǎn)圖可知，變量之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系．

回歸直線的方程的斜率．

回歸直線在軸上的截距是正數(shù)．

故選：D本題考查了散點(diǎn)圖與線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10、C【解析】

在中，求出，，然后利用雙曲線的定義列式求解．【詳解】在中，因?yàn)?，所以，，，則由雙曲線的定義可得所以離心率，故選C.本題考查雙曲線的定義和離心率，解題的關(guān)鍵是求出，，屬于一般題．11、B【解析】

根據(jù)漸近線得到，得到離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，則，，.故選：.本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、B【解析】

先求出x的平均值，y的平均值，回歸直線方程一定過樣本的中心點(diǎn)（，），代入可得答案．【詳解】解：回歸直線方程一定過樣本的中心點(diǎn)（，），，∴樣本中心點(diǎn)是（1.5，4），則y與x的線性回歸方程y＝bx+a必過點(diǎn)（1.5，4），故選B．本題考查平均值的計(jì)算方法，回歸直線的性質(zhì)：回歸直線方程一定過樣本的中心點(diǎn)（，）．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：作出約束條件表示的可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y為，聯(lián)立，解得A（1，2），由圖可知，當(dāng)直線z＝x+2y過點(diǎn)（1，2）時(shí)，z取得最大值1．故答案為1．本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，是中檔題．14、6【解析】分析：根據(jù)分層抽樣的定義直接計(jì)算即可.詳解：設(shè)抽取男生的人數(shù)為，因?yàn)槟猩?，女生人，從該班的全體同學(xué)中抽取一個(gè)容量為的樣本，所以，取男生的人數(shù)為，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.分層抽樣適合總體中個(gè)體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個(gè)層次，抽取的比例相同.15、【解析】

由軸截面面積求得軸截面邊長(zhǎng)，從而得圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)．【詳解】設(shè)軸截面等邊三角形邊長(zhǎng)為，則，，∴．故答案為．本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題基礎(chǔ)．16、【解析】解：由已知得，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）12.【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程中即可；（2）聯(lián)立方程組先求出，點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求出，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求出的高，最后代入三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）點(diǎn)在拋物線上，將代入方程中，有，解得，拋物線的方程為.（2）如圖所示，由拋物線方程可知焦點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組，可解得，，所以，，所以，.本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系以及拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)包括兩點(diǎn)的之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見證明；（2）90°【解析】

（1）利用垂直于所在的平面，從而證得；（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出兩個(gè)面的法向量，，最后求法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的大小.【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，從而，，.設(shè)為平面的法向量，則令，所以，設(shè)為平面的法向量，則，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小為.證明線線垂直的一般思路：證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，所以根據(jù)題目所給的圖形，觀察并確定哪一條線垂直于哪一條線所在的平面，是證明的關(guān)鍵.19、【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，以及一元二次不等式的解的情況和判別式△的關(guān)系即可求出命題p，q為真命題時(shí)m的取值范圍．根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題得到p真q假或p假q真，求出這兩種情況下m的范圍并求并集即可．【詳解】若命題p為真，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x＝m，則m≤2；若命題q為真，當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式為－8x＋4>0，顯然不成立．當(dāng)m≠0時(shí)，則有解得1<m<4.由題意知，命題p，q一真一假，故或解得m≤1或2<m<4.（1）二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、二次不等式解集的端點(diǎn)值、一元二次方程的解是同一個(gè)量的不同表現(xiàn)形式．（2）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體．有關(guān)二次函數(shù)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．20、證明見解析．【解析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結(jié)論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡(jiǎn)后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號(hào)，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以為了證明只需證明展開得即因?yàn)槌闪?，所以成立即證明了【點(diǎn)睛】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.21、（1）分布列（見解析），Eξ=1.5；（2）.【解析】

試題分析：（1）因甲每次是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立，所以ξ服從二項(xiàng)分布，即，由期望或(二項(xiàng)分布)；（2）甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次：分為2類，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互獨(dú)立概率相乘.試題解析：甲射擊三次其集中次數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布：(1)P(ξ＝0)＝,P(ξ＝1)＝P(ξ＝2)＝,P(ξ＝3)＝ξ

0

1

2

3

P

ξ的概率分布如下表：Eξ＝，（2）甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次：分為2類，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互獨(dú)立概率相乘..考點(diǎn)：（1）二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算；（2）獨(dú)立事件概率計(jì)算