甘肅省武威八中2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知函數(shù)的拐點(diǎn)是，則（）A． B． C． D．12．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．3．已知直線（t為參數(shù)）上兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值分別是，則（）A． B．C． D．4．已知．則（）A． B． C． D．5．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．36．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A．１ B． C．２ D．7．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．一次考試中，某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若，則該班數(shù)學(xué)成績的及格（成績達(dá)到分為及格）率可估計(jì)為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元世紀(jì)）所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)種計(jì)算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組人分工搜集整理種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人種、另兩人每人種計(jì)算器械，則不同的分配方法有（）A． B． C． D．11．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關(guān)于直線x=π12對稱 B．關(guān)于直線C．關(guān)于點(diǎn)π12，0對稱 D．12．一根細(xì)金屬絲下端掛著一個(gè)半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當(dāng)金屬球被拉出水面時(shí)，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．14．“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的__________條件．15．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為______.16．已知，若，i是虛數(shù)單位，則____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．18．（12分）已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；(Ⅲ)若?x1，x2∈(0,+∞)，且x119．（12分）已知正整數(shù),.(1)若的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和比二項(xiàng)式系數(shù)之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.20．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設(shè)，證明：．21．（12分）某海濕地如圖所示，A、B和C、D分別是以點(diǎn)O為中心在東西方向和南北方向設(shè)置的四個(gè)觀測點(diǎn)，它們到點(diǎn)O的距離均為公里，實(shí)線PQST是一條觀光長廊，其中，PQ段上的任意一點(diǎn)到觀測點(diǎn)C的距離比到觀測點(diǎn)D的距離都多8公里，QS段上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)O的距離都相等，ST段上的任意一點(diǎn)到觀測點(diǎn)A的距離比到觀測點(diǎn)B的距離都多8公里，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（1）求觀光長廊PQST所在的曲線的方程；（2）在觀光長廊的PQ段上，需建一服務(wù)站M，使其到觀測點(diǎn)A的距離最近，問如何設(shè)置服務(wù)站M的位置?22．（10分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，在該題中求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0，即可得到拐點(diǎn)，問題得以解決．【詳解】解：函數(shù)，，，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，已知函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，所以，即，故選：．本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)的定義，和拐點(diǎn)，根據(jù)新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，因此，的展開式中的系數(shù)為，故選：D.本題考查二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是充分利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、C【解析】試題分析：依題意，，由直線參數(shù)方程幾何意義得，選C．考點(diǎn)：直線參數(shù)方程幾何意義4、C【解析】

由二項(xiàng)式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結(jié)合最高次系數(shù)的值即可得結(jié)果.【詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．本題主要考查了二項(xiàng)式定理及利用賦值法求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)，屬于中檔題.5、C【解析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率相等即可得到的值。【詳解】因?yàn)?，所以線在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】，則，即，所以，故選B．7、C【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的．8、B【解析】

由題意得出正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，由正態(tài)密度曲線的對稱性得知所求概率為可得出結(jié)果.【詳解】由題意，得，又，所以，故選B.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率來計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、B【解析】

將函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)解，再利用換元法設(shè)，整理為，畫出函數(shù)圖形得到答案.【詳解】函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即有三個(gè)解整理得：設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.如圖所示：原式整理得到：圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，即二次方程有兩個(gè)解，一個(gè)小于0.一個(gè)在上或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，另一個(gè)零點(diǎn)在上，滿足條件.故答案為B本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程的解，再利用換元法簡化計(jì)算，本題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.10、A【解析】

本題涉及平均分組問題，先計(jì)算出分組的方法，然后乘以得出總的方法數(shù).【詳解】先將種計(jì)算器械分為三組，方法數(shù)有種，再排給個(gè)人，方法數(shù)有種，故選A.本小題主要考查簡單的排列組合問題，考查平均分組要注意的地方，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的對稱軸為：x=π故選：B．本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題12、D【解析】

利用等體積法求水面下降高度?！驹斀狻壳虻捏w積等于水下降的體積即，．答案：D．利用等體積法求水面下降高度。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝+1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝+1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）max＝f（﹣）＝，如圖所示：則0＜+1＜，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣2＜＜．故答案為（﹣2，）．本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．14、必要非充分【解析】

結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，先判斷充分條件，再判斷必要條件得解.【詳解】當(dāng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線有可能與雙曲線相切，也有可能相交（直線與雙曲線的漸近線平行），所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的非充分條件；直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要條件.所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件．故答案為：必要非充分本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】，

復(fù)數(shù)的實(shí)部為1．

故答案為：1．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于容易題．16、【解析】

由，得，由復(fù)數(shù)相等的條件得答案．【詳解】由，得，．故答案為：1．本題考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，從而，且僅當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，這與是的極大值點(diǎn)矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時(shí)，，故與符號相同.又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)..如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn).如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn).如果，則.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上，.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當(dāng)時(shí)構(gòu)造函數(shù)時(shí)關(guān)鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．18、（I）y=-2；（II）a≥1；（III）0≤a≤8.【解析】

(Ⅰ)求出f'(x),由f(1)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出f'(1)的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(Ⅱ)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2，即可求a的取值范圍；(Ⅲ)設(shè)g(x)=f(x)+2x，則g(x)=ax2-ax+lnx，對任意x1，x2∈(0,+∞)，x1【詳解】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2因?yàn)?，f(1)=-2，所以切線方程為

y=-2.(Ⅱ)函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=2ax-(a+2)+1令，即f'(x)=2ax2-(a+2)x+1x當(dāng)0<1a≤1，即a≥1時(shí)，f(x)所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2；當(dāng)1<1a<e時(shí)，f(x)在[1,e]當(dāng)1a≥e時(shí)，f(x)在所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2，不合題意.綜上可得

a≥1.(Ⅲ)設(shè)g(x)=f(x)+2x，則g(x)=ax2-ax+lnx，對任意x1，x2∈(0,+∞)，而g'(x)=2ax-a+1當(dāng)a=0時(shí)，g'(x)=1x>0，此時(shí)g(x)當(dāng)a≠0時(shí)，只需在(0,+∞)恒成立，因?yàn)閤∈(0,+∞)，只要2ax2-ax+1≥0，則需要對于函數(shù)y=2ax2-ax+1，過定點(diǎn)(0,1)，對稱軸綜上可得

0≤a≤8.本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.19、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和,結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式,可由題意列出方程,解方程即可求出的值(2)根據(jù)數(shù)列最大項(xiàng)的定義,可以列出不等式組,解這個(gè)不等式組即可求出的值.【詳解】(1)令,所以的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為：,二項(xiàng)式系數(shù)和為：,由題意可知：或(舍去),所以；(2)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：.因?yàn)槭侵械淖畲箜?xiàng),所以有：,因此或.本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)之和公式和展開式系數(shù)之和算法,考查了二項(xiàng)式展開式系數(shù)最大值問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）;（2）見解析【解析】

（1）使用零點(diǎn)分段法，討論，以及的范圍，然后取并集，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后使用三角不等式，可得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，．由，得無實(shí)數(shù)解當(dāng)時(shí)，．由，得當(dāng)時(shí)，．由，得綜上，（2），，即，即又，本題考查利用零點(diǎn)分段法求解絕對值不等式，還考查三角不等式的應(yīng)用，掌握零點(diǎn)分段的解法以及常用的一些不等式，比如：基本不等式，柯西不等式，屬基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】

（1）由題意知，QS的軌跡為圓的一部分，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，ST的軌跡為雙曲線的一部分，分別求出對應(yīng)的軌跡方程即可；（2）由題意設(shè)點(diǎn)M（x，y），計(jì)算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值與對應(yīng)的x、y的值．【詳解】解：（1）①由題意知，QS段上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)O的距離都相等，QS的軌跡為圓的一部分，其中r＝4，圓心坐標(biāo)為O，即x≥0、y≥0時(shí)，圓的方程為x2+y2＝16；②PQ段上的任意一點(diǎn)到觀測點(diǎn)C的距離比到觀測點(diǎn)D的距離都多8公里，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0時(shí)，雙曲線方程為1；③ST段上的任意一點(diǎn)到觀測點(diǎn)A的距離比到觀測點(diǎn)B的距離都多8公里，ST的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0時(shí)，雙曲線方程為1；綜上，x≥0、y≥0時(shí)，曲線方程為x2+y2＝16；x＜0、y＞0時(shí)，曲線方程為1；x＞0、y＜0時(shí)，曲線方程為1；[注]可合并為1；（2）由題意設(shè)點(diǎn)M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；則|MA|2y2x2+16＝232；當(dāng)且僅當(dāng)x＝﹣2時(shí)，|MA|取得最小值為4；此時(shí)y＝42；∴點(diǎn)M（﹣2，2）．本題考查了圓、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是利用定義求出雙曲線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．22、（1）見解析