上海市同濟大學一附中2024-2025學年數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．名同學參加班長和文娛委員的競選，每個職務只需人，其中甲不能當文娛委員，則共有（）種不同結果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．2．等差數(shù)列的前9項的和等于前4項的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．33．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達式是（）A． B．C． D．4．甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學競賽，四人在成績公布前作出如下預測：甲預測說：獲獎者在乙、丙、丁三人中；乙預測說：我不會獲獎，丙獲獎丙預測說：甲和丁中有一人獲獎；丁預測說：乙的猜測是對的成績公布后表明，四人的猜測中有兩人的預測與結果相符.另外兩人的預測與結果不相符，已知有兩人獲獎，則獲獎的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙5．已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則A．1 B． C． D．6．當生物死亡后，其體內原有的碳的含量大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學家發(fā)現(xiàn)一批魚化石，經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年7．已知雙曲線的一個焦點坐標為，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為()A． B． C． D．或8．設，，，……，，，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，若，則()A． B． C． D．10．在邊長為1的正中，，是邊的兩個三等分點（靠近于點），等于（）A． B． C． D．11．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．12．已知，則除以9所得的余數(shù)是A．2 B．3C．5 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，若方程有個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是______.14．已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則____15．當時，有，則__________.16．甲、乙設備生產(chǎn)某產(chǎn)品共500件，采用分層抽樣的方法從中抽取容量為30的樣本進行檢測.若樣本中有12件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則由乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為_______件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結論；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.18．（12分）同底的兩個正三棱錐內接于半徑為R的球，它們的側面與底面所成的角分別為求：（1）側面積的比；（2）體積的比；（3）角的最大值．19．（12分）已知正項數(shù)列{an}為等比數(shù)列，等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn（n∈N*），且滿足：S11=208，S9﹣S7=41，a1=b2，a1=b1．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）設Tn=a1b1+a2b2+…+anbn（n∈N*），求Tn；（1）設，是否存在正整數(shù)m，使得cm·cm+1·cm+2+8=1（cm+cm+1+cm+2）．20．（12分）第十二屆全國人名代表大會第五次會議和政協(xié)第十二屆全國委員會第五次會議（簡稱兩會）分別于2017年3月5日和3月3日在北京開幕，某高校學生會為了解該校學生對全國兩會的關注情況，隨機調查了該校200名學生，并將這200名學生分為對兩會“比較關注”與“不太關注”兩類，已知這200名學生中男生比女生多20人，對兩會“比較關注”的學生中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為，對兩會“不太關注”的學生中男生比女生少5人.（1）該校學生會從對兩會“比較關注”的學生中根據(jù)性別進行分層抽樣，從中抽取7人，再從這7人中隨機選出2人參與兩會宣傳活動，求這2人全是男生的概率.（2）根據(jù)題意建立列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異？附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）本小題滿分13分）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最?。?2．（10分）已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先安排甲以外的一人擔任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔任班長即可．【詳解】先從甲以外的三人中選一人當文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔任班長，有3種選法，故共有種不同結果．故選：B.本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應用,屬于基礎題.2、A【解析】

由等差數(shù)列的性質可得，然后再次利用等差數(shù)列的性質確定k的值即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質可知：,故，則，結合題意可知：.本題選擇A選項.本題主要考查等差數(shù)列的性質及其應用，屬于中等題.3、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的最值求得，根據(jù)函數(shù)的周期求得，根據(jù)函數(shù)圖像上一點的坐標求得，由此求得函數(shù)的解析式.【詳解】由題圖可知，且即，所以，將點的坐標代入函數(shù)，得，即，因為，所以，所以函數(shù)的表達式為．故選D.本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎題.4、B【解析】

從四人的描述語句中可以看出，乙、丁的表述要么同時與結果相符，要么同時與結果不符，再進行判斷【詳解】若乙、丁的預測成立，則甲、丙的預測不成立，推出矛盾．故乙、丙預測不成立時，推出獲獎的是乙和丁答案選B真假語句的判斷需要結合實際情況，作出合理假設，才可進行有效論證5、D【解析】分析：利用復數(shù)相等求出值，再由復數(shù)模的定義求得模．詳解：由已知，∴，∴．故選D．點睛：本題考查復數(shù)相等的概念的模的計算．解題時把等式兩邊的復數(shù)都化為形式，然后由復數(shù)相等的定義得出方程組，即可求得實數(shù)．6、C【解析】

根據(jù)實際問題，可抽象出，按對數(shù)運算求解.【詳解】設該生物生存的年代距今是第個5730年，到今天需滿足，解得：，萬年.故選C.本題考查了指數(shù)和對數(shù)運算的實際問題，考查了轉化與化歸和計算能力.7、A【解析】分析：先利用雙曲線的漸近線相互垂直得出該雙曲線為等軸雙曲線，再利用焦點位置確定雙曲線的類型，最后利用幾何元素間的等量關系進行求解.詳解：因為該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即，又雙曲線的一個焦點坐標為，所以，即，即該雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，要注意以下等價關系的應用：等軸雙曲線的離心率為，其兩條漸近線相互垂直.8、B【解析】

根據(jù)題意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），據(jù)此可得f2019（x）＝f3（x），即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，＝sinx，f1（x）＝＝cosx，f2（x）＝＝﹣sinx，f3（x）＝＝﹣cosx，f4（x）＝＝sinx，則有f1（x）＝f4（x），f2（x）＝f5（x），……則有fn+4（x）＝fn（x），則f2019（x）＝f3（x）＝﹣cosx；故選：B．本題考查導數(shù)的計算，涉及歸納推理的應用，關鍵是掌握導數(shù)的計算公式．9、A【解析】分析：先求出g（1）=a﹣1，再代入f[g（1）]=1，得到|a﹣1|=0，問題得以解決．詳解：∵f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），f[g（1）]=1，∴g（1）=a﹣1，∴f[g（1）]=f（a﹣1）=5|a﹣1|=1=50，∴|a﹣1|=0，∴a=1，故答案為：A．點睛：本題主要考查了指數(shù)的性質，和函數(shù)值的求出，屬于基礎題．10、C【解析】試題分析：如圖，，是邊的兩個三等分點，故選C.考點：平面向量數(shù)量積的運算11、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．12、D【解析】

根據(jù)組合數(shù)的性質，將化簡為，再展開即可得出結果.【詳解】，所以除以9的余數(shù)為1．選D.本題考查組合數(shù)的性質，考查二項式定理的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

根據(jù)和的圖象，可得當且僅當有四解時，符合題意．令，此時，，，，根據(jù)判別式可列出關于的不等式，進而可求的取值范圍.【詳解】解：，，可得在遞增，在遞減，則的圖象如下：當時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當時，函數(shù)的圖象如下：令，當時，方程只有一解，當且僅當有四解時，符合題意．此時四解，，，．則，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.本題考查了復合函數(shù)的零點問題，考查了數(shù)形結合的思想.14、【解析】分析：根據(jù)復數(shù)模的公式直接求解．詳解：，所以．點睛：復數(shù)，模的計算公式．15、1【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，復數(shù)相等的條件列式求解a值．【詳解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案為1．本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的分類，是基礎題．16、300【解析】

分層抽樣中，樣本容量與總體容量是成比例的．由此計算．【詳解】設乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為件，則，解得．故答案為：300.本題考查分層抽樣，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時結論，替換括號內部分即得證.【詳解】解：（1）觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：，，，，猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應各式右端為，所以，不等式的一般結論為：（2）證明：①當時顯然成立；②假設時結論成立，即：成立，當時，即當時結論也成立.由①②可知對任意，結論都成立.本題考查了歸納推理和數(shù)學歸納法，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）（3）【解析】

分別計算出其側面積，再計算比值。分別計算出其側體積，再計算比值。根據(jù)在單調遞增，通過計算的最大值，求出角的最大值。【詳解】解：（1）設O為球心，為正三棱錐底面ABC所在圓的圓心，兩個三棱錐的頂點分別為P,Q,取BC的中點D,則是側面與底面所成二面角的平面角，，同理=．，．:=．(2),這兩個三棱錐的底都是三角形，（3）設邊長為a,,則而當平面ABC通過球心O時，a最大為時，取最大值，這時也最大，最大值為.用已知數(shù)量表示所求量，再求比值。求角的最大值，可以根據(jù)單調性通過求其三角函數(shù)值的最值來求。19、（1）；（2）；（1）存在，m=2．【解析】分析：（1）先根據(jù)已知條件列方程求出b1=﹣2，d=1,得到等差數(shù)列{bn}的通項，再求出，即得等比數(shù)列{an}的通項.(2)利用錯位相減法求Tn.(1)對m分類討論，探究是否存在正整數(shù)m，使得cm·cm+1·cm+2+8=1（cm+cm+1+cm+2）．詳解：（1）等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn（n∈N*），且滿足：S11=208，S9﹣S7=41，即解得b7=16，公差為1，∴b1=﹣2，bn=1n﹣5，∵a1=b2=1，a1=b1=4，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴an=2n﹣1，n∈N*（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+（1n﹣5）2n﹣1，①∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+（1n﹣5）2n，②①﹣①得﹣Tn=﹣2+1（2+22+…+2n﹣1）﹣（1n﹣5）2n=（8﹣1n）2n﹣8，∴Tn=（1n﹣8）2n+8，n∈N*（1）∵設，當m=1時，c1?c2?c1+8=1×1×4+8=12，1（c1+c2+c1）=18，不相等，當m=2時，c2?c1?c4+8=1×4×7+8=16，1（c2+c1+c4）=16，成立，當m≥1且為奇數(shù)時，cm，cm+2為偶數(shù)，cm+1為奇數(shù)，∴cm?cm+1?cm+2+8為偶數(shù)，1（cm+cm+1+cm+2）為奇數(shù)，不成立，當m≥4且為偶數(shù)時，若cm?cm+1?cm+2+8=1（cm+cm+1+cm+2），則（1m﹣5）?2m?（1m+1）+8=1（1m﹣5+2m+1m+1），即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，∴（*）不成立，綜上所述m=2．點睛：（1）本題主要考查等差等比數(shù)列的通項的求法，考查錯位相減法求和，考查數(shù)列的綜合應用，意在考查對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力基本運算能力.(2)本題的難點是第1問，關鍵是對m分m=1,m=2,m≥1且為奇數(shù),m≥4且為偶數(shù)四種情況討論.20、（1）沒有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異；（2）．【解析】【試題分析】（1）可先設男生比較關注和不太關注的人分別為，則女生比較關注和不太關注的為，建立方程組，由此可得列聯(lián)表為：，然后運用計算公式算出，借助表中的參數(shù)可以斷定沒有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異；（2）先由分層抽樣的知識點算得：在男生和女生中分別抽取的人數(shù)為4人、3人，再運用古典概型的計算公