北京市西城區(qū)第14中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個數(shù)為，已知，則等于（）A． B． C． D．2．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．3．過點且與直線垂直的直線方程是（）A． B．C． D．4．已知變量，之間的一組數(shù)據(jù)如下表：13572345由散點圖可知變量，具有線性相關(guān)，則與的回歸直線必經(jīng)過點（）A． B． C． D．5．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．6．焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．7．一個算法的程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是A．求a，b，c三數(shù)中的最大數(shù) B．求a，b，c三數(shù)中的最小數(shù)C．將a，b，c按從小到大排列 D．將a，b，c按從大到小排列8．復(fù)數(shù)z滿足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i9．已知將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A． B． C． D．10．若集合，，則（）A． B． C． D．11．設(shè)，隨機變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小12．已知離散型隨機變量的分布列如下，則（）024A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖1，在棱長為的正方體中，P、Q是對角線上的點，若，則三棱錐的體積為________14．若的展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)的值為______.15．拋物線上的點到的距離與到其準(zhǔn)線距離之和的最小值是_____.16．已知向量，且，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，，（）．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項和為，證明：（）．19．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，.（1）求的取值范圍；（2）證明：20．（12分）已知,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.21．（12分）已知集合，.（1）若，，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，分別是棱的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望計算，即可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可得出，即所以故選C本題考查二項分布，屬于基礎(chǔ)題。2、B【解析】分析：先求曲線交點，再確定被積上下限，最后根據(jù)定積分求面積.詳解：因為，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點睛：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時，要分不同情況討論．3、B【解析】

先求出所求直線的斜率，再寫出直線的點斜式方程化簡整理即得解.【詳解】由題得直線的斜率為所以直線的方程為，即：故選B本題主要考查相互垂直的直線的斜率關(guān)系，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由表中數(shù)據(jù)求出平均數(shù)和即可得到結(jié)果.【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，，，則與的回歸直線必經(jīng)過點.故選：C．本題主要考查回歸分析的基本思想及應(yīng)用，理解并掌握回歸直線方程必經(jīng)過樣本中心點，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】分析：由已知可得水對應(yīng)的幾何體是一個以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h(yuǎn)=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點睛：本題考查的知識點是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．6、A【解析】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，則，則當(dāng)取得最大值時，必須取得最大值，此時直線與拋物線相切，可設(shè)切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選．點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離，拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化，如果問題中涉及拋物線上的點到焦點或到準(zhǔn)線的距離，那么用拋物線定義就能解決問題．本題就是將到焦點的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，將比值問題轉(zhuǎn)化成切線問題求解．7、B【解析】

根據(jù)框圖可知，當(dāng)a>b時，把b的值賦給a，此時a表示a、b中的小數(shù)；當(dāng)a>c時，將c的值賦給a，a表示a、c中的小數(shù)，所以輸出a表示的是a，b，c中的最小數(shù).【詳解】由程序框圖，可知若a>b，則將b的值賦給a，a表示a，b中的小數(shù)；再判斷a與c的大小，若a>c，則將c的值賦給a，則a表示a，c中的小數(shù)，結(jié)果輸出a，即a是a，b，c中的最小數(shù)．本題考查程序框圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在解題的過程中模擬程序框圖的運行過程，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】z=2i1-i=2i(1+i)本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9、B【解析】解析：因，故，因，故，則，所以，應(yīng)選答案B．10、A【解析】

分別化簡集合和，然后直接求解即可【詳解】∵，，∴.本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【詳解】，，，∴先增后減，因此選D.12、B【解析】

先計算，再根據(jù)公式計算得到【詳解】故答案選B本題考查了方差的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

棱錐的體積轉(zhuǎn)化為的體積，求出底面積與高，從而可得結(jié)果.【詳解】到平面的距離是面對角線的一半，即，到直線的距離即到直線的距離，，，棱錐的體積等于的體積，本題主要考查錐體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等積變換，將棱錐的底面積與高確定，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求出的展開式的通項，令的指數(shù)為0，求出常數(shù)項，建立的方程，即可求解.【詳解】依題意展開式的通項公式為.令，得，所以展開式中的常數(shù)項為，解得.故答案為：本題考查二項式定理，熟記二項展開式通項是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，根據(jù)定義把p到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為p到焦點的距離，再由拋物線的定義可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【詳解】解：∵拋物線y2＝4x，∴F（1，0），如圖：設(shè)p在準(zhǔn)線上的射影A″，依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PA″|＝|PF|，則點P到點A（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案為：．本題考查拋物線定義的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】由題意可得解得.【名師點睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的運算：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是【解析】

（Ⅰ）若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，根據(jù)二項分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4號容器的小球個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，算出對應(yīng)事件概率，利用離散型隨機變量分布列數(shù)學(xué)期望的公式可求得結(jié)果.【詳解】解：（Ⅰ）記“小球落入4號容器”為事件，若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號容器的概率.（Ⅱ）落入4號容器的小球個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列為：0123∴.本題主要考查二項分布及其數(shù)學(xué)期望的計算，較基礎(chǔ).18、(1)(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由數(shù)列遞推式結(jié)合，可得（），然后利用累積法求得數(shù)列通項公式；（2）把數(shù)列的通項公式代入()，然后利用裂項相消法求和，放縮得答案試題解析：（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，以上兩式相減，得，∴，∴，∴（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，∴（）．點睛：本題主要考查了這一常用等式，需注意的范圍，累乘法求通項公式以及數(shù)列求和，屬于高考中?？贾R點，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.19、(1)(2)見證明【解析】

（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)，討論的范圍確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后得到的范圍.（2）將，兩個零點代入函數(shù)，通過化簡得到：需證.轉(zhuǎn)化為不等式，設(shè)函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性求最值得到證明.【詳解】解；（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，恒成立，則在遞減，至多一零點當(dāng)時，解得，解得，所以在遞減.在遞增函數(shù)要有兩個零點，則最小值，解得經(jīng)檢驗，即，則在有一個零點.又，，令，，則恒成立.所以在單調(diào)遞增，即所以，即，則在必有一零點.所以時，函數(shù)有兩個零點，（2）因為，為的兩個零點，所以即，不妨礙，則即要證，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證，令，則，現(xiàn)在只需證設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，即所以本題考查了函數(shù)的零點問題，證明不等式，技巧強，綜合性大，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力.20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)均值不等式可以證明；（Ⅱ）根據(jù)均值不等式和已知條件的靈活應(yīng)用可以證明.【詳解】證明Ⅰ，b，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

Ⅱ，，，，，本題主要考查不等式的證明，均值不等式是常用工具，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).21、（1）；（2）【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可分別求得集合和集合；（1）由交集定義得到，分別在和兩種情況下構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（2）由并集定義得到，根據(jù)交集結(jié)果可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得：，滿足當(dāng)時，，解得：綜上所述：實數(shù)的取值范圍為（2），解得：實數(shù)的取值范圍為本題考查根據(jù)集合包含關(guān)系、交集結(jié)果求解參數(shù)范圍的問題，涉及到指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；易錯點是在根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)范圍時，忽略子集可能為空集的情況，造成范圍求解錯誤.22、（1）見解析（2）【解析】

（1）依據(jù)線面平行的判定定理，在面中尋找一條直線與平行，即可由線面平行的判定定理證出；(