江蘇省名校2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末預(yù)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝2．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種3．復數(shù)的虛部為（）A． B． C．1 D．-14．已知，則（）附：若，則，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.02285．命題若，則，是的逆命題，則（）A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假6．ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，則（）A． B． C． D．7．設(shè),，，則（）A． B． C． D．8．若復數(shù)滿足，則=（）．A． B． C． D．9．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)為()A． B． C． D．10．已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間A．17 B．12 C．32 D．2412．已知，集合，集合，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是（）A．6561 B．3363 C．2187 D．210二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是_____.14．二項式的展開式中常數(shù)項為______用數(shù)字表示．15．已知橢圓：的離心率為，三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別、、，且、、均不為.為坐標原點，若直線、、的斜率之和為，則______.16．期末考試結(jié)束后，某老師隨機抽取了本班五位同學的數(shù)學成績進行統(tǒng)計，五位同學平均每天學習數(shù)學的時間（分鐘）與數(shù)學成績之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：時間（分鐘）30407090120數(shù)學成績35488292通過分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學成績與學習數(shù)學的時間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為，則表格中的的值是___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題：對，函數(shù)總有意義；命題：函數(shù)在上是增函數(shù).若命題“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，為的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖1，等邊中，，是邊上的點（不與重合），過點作交于點，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點的位置；（2）證明：無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個定值．21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點，點在軸上，過點的直線交橢圓交于，兩點．①若直線的斜率為，且，求點的坐標；②設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．22．（10分）已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．(1)求的值及的最大值；(2)用數(shù)學歸納法證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由函數(shù)的奇偶性的定義和常見函數(shù)的單調(diào)性，即可得到符合題意的函數(shù)．【詳解】對于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定義域為R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，當x＜0時，由y＝2x，y＝﹣2﹣x遞增，可得在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞增，故A正確；y＝f（x）＝x2+1滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故B不滿足條件；y＝f（x）＝（）|x|滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故C不滿足題意；y為奇函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞減，故D不滿足題意．故選：A．本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.3、C【解析】

先化簡復數(shù)，即得復數(shù)的虛部.【詳解】由題得.所以復數(shù)的虛部為1.故選C本題主要考查復數(shù)的運算和虛部的概念，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由隨機變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，再利用原則，結(jié)合圖象得到.【詳解】因為，所以，所以，即，所以.選D．本題主要考查正態(tài)分布曲線及原則，考查正態(tài)分布曲線圖象的對稱性.5、C【解析】由題意，，所以，得，所以命題為假命題，又因為是的逆命題，所以命題：若，則為真命題，故選C.6、D【解析】

邊化角，再利用三角形內(nèi)角和等于180°，全部換成B角，解出即可【詳解】（）本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【詳解】,令，則因此當時，即在上單調(diào)遞減，因為，所以，選A.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.8、D【解析】

先解出復數(shù)，求得，然后計算其模長即可.【詳解】解：因為，所以所以所以故選D.本題考查了復數(shù)的綜合運算，復數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的運算法則得，即可求得其共軛復數(shù).【詳解】由題：，所以，所以的共軛復數(shù)為.故選：A此題考查求復數(shù)的共軛復數(shù)，關(guān)鍵在于準確求出復數(shù)Z，需要熟練掌握復數(shù)的運算法則，準確求解.10、D【解析】

根據(jù)所給的二項式，利用二項展開式的通項公式寫出第項，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【詳解】二項展開式通項為，令，得，由題意得，解得.故選：D.本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項展開式的通項，在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具．11、D【解析】

對函數(shù)求導，求出函數(shù)y=fx的極值點，分析函數(shù)的單調(diào)性，再將極值與端點函數(shù)值比較大小，找出其中最大的作為函數(shù)y=f【詳解】∵fx=x3-12x+8x-3,-2-2-2,222,3f+0-0+f↗極大值↘極小值↗所以，函數(shù)y=fx的極大值為f-2=24又f-3=17，f3=-1，因此，函數(shù)y=fx故選：D。本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在定區(qū)間上的最值，解題時嚴格按照導數(shù)求最值的基本步驟進行，考查計算能力，屬于中等題。12、C【解析】

由（1+x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a77x+a8x8，可得a0＝a8＝1，a2＝a6＝28，a4＝1．即可得集合有7個元素，利用函數(shù)定義可得從M到N的函數(shù)個數(shù)．【詳解】解：由，可得，，．∴，共7個元素，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是．故選：C．本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，及函數(shù)定義，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：，即，再分類討論求得的范圍，綜合可得結(jié)論．詳解：函數(shù)函數(shù)，

由，可得，其中，

下面對進行分類討論，

①時，，可以解得

②時，，可以解得綜上，即答案為.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．14、-160【解析】二項式的展開式的通項為，．令，可得，即展開式中常數(shù)項為．答案：15、【解析】

求出橢圓方程，設(shè)出的坐標，利用橢圓中的結(jié)論：，，，結(jié)合直線的斜率之和為進行運算.【詳解】因為橢圓的離心率為，所以，又，，，所以，，，所以.故答案為：-2解析幾何小題若能靈活利用一些二級結(jié)論，能使問題的求解更簡便，計算量更小，本題等三個結(jié)論均可利用設(shè)而不求點差法證出.16、63【解析】回歸方程過樣本中心點，則：，即：，解得：.點睛：(1)正確理解計算的公式和準確的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵．(2)回歸直線方程必過樣本點中心．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到為真時，的取值范圍；根據(jù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及基本不等式，我們可以求出為真時的取值范圍；而根據(jù)“”為真且命題“”為假，可得真假，或假真，求出這兩種情況下的的取值范圍再求并集即可．【詳解】解：當為真命題時，解得當為真命題時，在上恒成立，即對恒成立.又，當且僅當時等號成立，所以，所以.因為命題“”為真命題且命題“”為假命題，所以命題與命題一個為真一個為假當真假時，有解得當假真時，有解得綜上，實數(shù)的取值范圍是本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，復合命題的真假，屬于中檔題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）令，求導得單調(diào)性，進而得，從而得證；（Ⅱ）記求兩次導得在遞增，又，進而討論的正負，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最值.試題解析：（Ⅰ）令，由∴在遞減，在遞增，∴∴即成立．（Ⅱ）記，∴在恒成立，，∵，∴在遞增，又，∴①當時，成立，即在遞增，則，即成立；②當時，∵在遞增，且，∴必存在使得．則時，，即時，與在恒成立矛盾，故舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點建立空間直角坐標系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個平面法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖像即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，.因為四邊形是菱形且，為的中點，所以.因為平面，所以，又，所以平面，則.因為，所以.（2）以為原點建立空間直角坐標系（其中為與的交點），如圖所示，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.所以，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出圖1中點在靠近點的三等分點處；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能證明無論點D的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【詳解】解：（1）在圖2中，取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，∴，，，，故，，∵異面直線與垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴圖1中點在靠近點的三等分點處．（2）證明：平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則即，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則為鈍角，故，∴無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值．本題考查利用空間向量確定空間中點的位置以及二面角的余弦值的計算，考查運算能力求解能力和推理論證能力，是中檔題．21、（1）（2）①②存在，；【解析】

（1）根據(jù)橢圓離心率及過點，建立方程組，求解即可（2）①設(shè)直線的方程為：,聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式即可求出m,得到點的坐標②直線分斜率為0與不為0兩種情況討論，斜率為0時易得存在，斜率不為0時，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用恒成立，可化簡知存在定點.【詳解】（1）∵橢圓：的離心率為，且過點．∴，，∴橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，①設(shè)直線的方程為：．．．，．，解得.∴．②當直線的斜率為0時，，，.由可得，解得，即.當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為．由.，．由可得，，..，∴當時，上式恒成立，存在定點，使得恒成立．本題主要考查了橢圓的標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，定點問題，屬于難題.22、（1）；（2）見證明【解析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導函數(shù)判斷函數(shù)的增減