瀘州市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義運算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．2．曲線在處的切線與直線垂直，則（）A．-2 B．2 C．-1 D．13．在(x+1x2A．-32 B．-8 C．8 D．484．已知函數(shù)，，若方程在上有兩個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四6．已知高為3的正三棱柱ABC-A1B1C1的每個頂點都在球O的表面上，若球O的表面積為，則此正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為()A． B． C． D．187．過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，為坐標(biāo)原點，則的面積與的面積之比為A． B． C． D．28．已知，都是實數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）11．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．， C． D．，12．一工廠生產(chǎn)的100個產(chǎn)品中有90個一等品，10個二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個，則最多有一個二等品的概率為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為__________．14．函數(shù)的最小值為__________．15．以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是，則直線l被圓C截得的弦長為____________．16．在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,兩曲線與在區(qū)間上交點為.若兩曲線在點處的切線與軸分別相交于兩點,則線段的為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時，求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．18．（12分）“公益行”是由某公益慈善基金發(fā)起并主辦的一款將用戶的運動數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為公益步數(shù)的捐助公益項目的產(chǎn)品，捐助規(guī)則是滿10000步方可捐助且個人捐出10000步等價于捐出1元，現(xiàn)粗略統(tǒng)計該項目中其中200名的捐助情況表如下：捐款金額(單位：元)捐款人數(shù)4152261035(1)將捐款額在200元以上的人稱為“健康大使”，請在現(xiàn)有的“健康大使”中隨機(jī)抽取2人，求捐款額在之間人數(shù)的分布列；(2)為鼓勵更多的人來參加這項活動，該公司決定對捐款額在100元以上的用戶實行紅包獎勵，具體獎勵規(guī)則如下：捐款額在的獎勵紅包5元；捐款額在的獎勵紅包8元；捐款額在的獎勵紅包10元；捐款額大于250的獎勵紅包15元.已知該活動參與人數(shù)有40萬人，將頻率視為概率，試估計該公司要準(zhǔn)備的紅包總金額.19．（12分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.20．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：三個數(shù)中，至少有一個大于或等于.21．（12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，，△ABC的面積為，求a的值．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上存在兩點，滿足均與軸垂直，設(shè)與的面積之和記為．若，求的值；若對任意的，存在，使得成立，且實數(shù)使得數(shù)列為遞增數(shù)列，其中求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項中的圖象符合要求，故選A.2、B【解析】分析：先求導(dǎo)，然后根據(jù)切線斜率的求法得出切線斜率表達(dá)式，再結(jié)合斜率垂直關(guān)系列等式求解即可.詳解：由題可知：切線的斜率為：由切線與直線垂直，故，故選B.點睛：考查切線斜率的求法，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，正確求導(dǎo)是解題關(guān)鍵，注意此題導(dǎo)數(shù)求解時是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于中檔題.3、C【解析】

利用x-25的展開式通項，與x和1x2分別做乘法，分別求得x的系數(shù)，作和求得整體的【詳解】x-25展開式的通項為：與x相乘可得：x?當(dāng)r=5時得：C與1x2當(dāng)r=2時得：C∴x的系數(shù)為：-32+40=8本題正確選項：C本題考查二項式定理求解xn的系數(shù)的問題，關(guān)鍵在于能夠運用多項式相乘的運算法則，分別求出同次項的系數(shù)，合并同類項得到結(jié)果4、C【解析】

對的范圍分類，即可將“方程在上有兩個不等實根”轉(zhuǎn)化為“在內(nèi)有實數(shù)解，且方程的正根落在內(nèi)”，記，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理即可列不等式組，解得：，問題得解．【詳解】當(dāng)時，可化為：整理得：當(dāng)時，可化為：整理得：，此方程必有一正、一負(fù)根.要使得方程在上有兩個不等實根，則在內(nèi)有實數(shù)解，且方程的正根落在內(nèi).記，則，即：，解得：.故選C本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，還考查了計算能力及分析能力，屬于難題．5、D【解析】分析：首先化簡所給的復(fù)數(shù)，然后確定復(fù)數(shù)所在的象限即可.詳解：由題意可得：，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點位于第四象限，即復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點在第四象限.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6、C【解析】

根據(jù)體積算出球O的半徑r,再由幾何關(guān)系求出地面三角形的邊長，最后求出其體積即可?！驹斀狻恳驗榍騉的表面積為，所以球O的半徑又因高為3所以底面三角形的外接圓半徑為，邊長為3底面三角形面積為正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為本題考查正三棱柱的體積公式，考查了組合體問題，屬于中檔題。7、D【解析】

設(shè)點位于第一象限，點，并設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出，由拋物線的定義得出點的坐標(biāo)，可得出點的縱坐標(biāo)的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【詳解】設(shè)點位于第一象限，點，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理在直線與拋物線綜合問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用拋物線的定義以及韋達(dá)定理求點的坐標(biāo)，并將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。8、D【解析】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.9、C【解析】

先由求導(dǎo)公式求出，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而寫出切線方程．【詳解】，因為是偶函數(shù)，所以，即解得，所以，，則，所以切線方程為故選C本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求曲線上一點的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關(guān)系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導(dǎo)數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【詳解】設(shè)，則的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設(shè)過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關(guān)系應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程。11、D【解析】分析：結(jié)合函數(shù)的圖象求出成立的的取值范圍，即可得到結(jié)論．詳解：結(jié)合函數(shù)的圖象可知：和時，，又由，則，令，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，故選D．點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的四則運算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間，其中結(jié)合圖象，得到，進(jìn)而得到的解集是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力．12、B【解析】解：解：從這批產(chǎn)品中抽取4個，則事件總數(shù)為個，其中恰好有一個二等品的事件有個，根據(jù)古典概型的公式可知恰好有一個二等品的概率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在閉區(qū)間上，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后與進(jìn)行比較，求出最大值.【詳解】，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，即，，，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為3.本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最大值問題.解決此類問題的關(guān)鍵是在閉區(qū)間上先利用導(dǎo)數(shù)求出極值，然后求端點的函數(shù)值，最后進(jìn)行比較，求出最大值.14、3【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷單調(diào)性，再求出最小值即可．【詳解】∵，∴（），令，解得，令，解得即原函數(shù)在遞減，在遞增，故時取得最小值3，故答案為3.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、2【解析】分析：先求出直線的普通方程，再求出圓的直角坐標(biāo)方程，再利用公式求直線被圓C截得的弦長.詳解：由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=，故弦長=.故答案為2.點睛：（1）本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些問題的掌握水平.(2)求直線被圓截得的弦長常用公式.16、【解析】分析：求出點坐標(biāo)，然后分別求出和在A處切線方程，即可求出兩點坐標(biāo)詳解：由可得，所以又因為所以所以在A點處切線方程為：令解得，所以又因為所以所以在A點處切線方程為：令解得，所以所以線段BC的長度為點睛：熟練記憶導(dǎo)函數(shù)公式是解導(dǎo)數(shù)題的前提條件，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在曲線上某一點處的導(dǎo)數(shù)就等于該點處切線斜率，是解決曲線切線的關(guān)鍵，要靈活掌握.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當(dāng)時，最大體積為：；【解析】

（1）根據(jù)線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取中點，利用三線合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時的取值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長，即到四面體四個頂點距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設(shè)中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設(shè)正四面體棱長為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點，連接，，為中點且，令，，則設(shè)，，則令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取極大值，即為最大值：即當(dāng)時，取得最大值，最大值為：此時，即綜上所述，當(dāng)時，體積最大，最大值為：本題考查立體幾何中的幾何體特征判斷、直線與平面所成角的求解、三棱錐體積的最值的求解問題；求解三棱錐體積的最值問題，關(guān)鍵是要把底面面積和三棱錐的高均利用某一變量來進(jìn)行表示，從而將所求體積最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于此變量的函數(shù)最值問題的求解，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)或其他求解函數(shù)最值的方法求得結(jié)果.18、(1)答案見解析；(2)大約為63萬元.【解析】試題分析：(1)的所有情況是0，1，2，結(jié)合超幾何分布的概率公式即可求得分布列；(2)結(jié)合分布列考查平均值，據(jù)此可得該公司要準(zhǔn)備的紅包總額大約為63萬元.試題解析：(1)捐款額在之間人數(shù)的所有情況是0，1，2，，，，所以捐款額在之間人數(shù)的分布列為：012(2)設(shè)紅包金額為，可得的分布列為：0581015所以.又.故該公司要準(zhǔn)備的紅包總額大約為63萬元.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）先連接，，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；（2）先以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點.又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角為，則.本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于?？碱}型.20、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)結(jié)合不等式的特征，兩邊平方，用分析法證明不等式即可；(2)利用反證法，假設(shè)這三個數(shù)沒有一個大于或等于，然后結(jié)合題意找到矛盾即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）因為和都是正數(shù)，所以要證，只要證，展開得，只要證，只要證，因為成立，所以成立.（2）假設(shè)這三個數(shù)沒有一個大于或等于，即，上面不等式相加得（*）而，這與（*）式矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.點睛：一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件；二是應(yīng)用反證法證題時必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．所謂矛盾主要指：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與公認(rèn)的簡單